6.2 二次型的标准型

nullnull§6.2 二次型的形null 由某个二次型通过非退化线性变换所得到的标准形定义只含有平方项的二次型称为标准形(或法式)：显然，标准形所对应的矩阵一定为对角阵；一、二次型的标准形与规范形特别地，称如下的二次型为规范形：对角阵所对应的二次型一定为标准形。称为该二次型的标准型。null化为标准型。目标将二次型因此上述目标变为：一、二次型的标准形与规范形null二、矩阵的则称 A 与 B 合同，称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的合同变换矩阵。若存在 n 阶可逆方阵 P ，使得或者称 A 合同于 B，目标null(会改变特征值)性质二、矩阵的合同(不改变秩)(不改变对称性) 二次型的秩二次型所对应的矩阵的秩称为该二次型的秩。null三、二次型的的基本问题 (略)换句话说，对 n 阶对称阵 A，总存在 n 阶可逆阵 P ，使得标准形(或规范型)。null三、二次型的的基本问题拉格朗日(Lagrange)配方法。行列对称初等变换法；常见的方法正交变换法。二次型能否经过非退化线性变换一定化为标准形?问题一 针对二次型 针对二次型所对应的对称阵null四、拉格朗日(Lagrange)配方法基本公式基本原理将二次型中含有某同一个变量的所有“项”放在一起，逐步减少非完全平方项中变量的个数。通过配方将这些项变成“完全平方项”，从而nullnullnullnullnullnull(4) 综合null五、行列对称初等变换法1. 初等矩阵的特点 可见，任何一个列初等矩阵的转置恰好是与之同类型的行初等矩阵。null五、行列对称初等变换法1. 初等矩阵的特点2. 原理与方法即是要寻找一系列使得原理 又由初等矩阵的特点可知，若 P i 是某个列初等矩阵,null五、行列对称初等变换法1. 初等矩阵的特点2. 原理与方法对矩阵 A 每作一次列初等变换，方法则对单位矩阵 I 也作一次同样的列初等变换，并同时对矩阵 A 作一次同类型的行初等变换。 具体操作如下列变换列变换行变换null00null00(主对角线上元素为零如何处理?)null