排列组合公式以及排列组合计算公式word版

排列组合公式/排列组合计算公式 排列 P------和顺序有关 组合 C -------不牵涉到顺序的问题 排列分顺序,组合不分 例如 把 5 本不同的分给 3 个人,有几 种分法. "排列" 把 5 本书分给 3 个人,有几种分法 "组合" 1．排列及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的一个排列；从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示. p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定 0!=1). 2．组合及计算公式 从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素 的一个组合；从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示. c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从 n 个元素中取出 r 个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!. n 个元素被分成 k 类，每类的个数分别是 n1,n2,...nk 这 n 个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!). k 类元素,每类的个数无限,从中取出 m 个元素的组合数为 c(m+k-1,m). 排列（Pnm(n 为下标，m 为上标)） Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个 n 分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n 为下标 1 为上标）=n 组合（Cnm(n 为下标，m 为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个 n 分别为上标和下标） =1 ； Cn1（n 为下标 1 为上标）=n；Cnm=Cnn-m 2008-07-08 13:30 公式 P 是指排列，从 N 个元素取 R 个进行排列。 公式 C 是指组合，从 N 个元素取 R 个，不进行排列。 N-元素的总个数 R 参与选择的元素个数 ！-阶乘 ，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1 从 N 倒数 r 个，表达式应该为 n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1); 因为从 n 到（n-r+1)个数为 n－（n-r+1)＝r 举例： Q1: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？ A1:123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排 列 P”计算范畴。     上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现 988,997 之类的组 合， 我们可以这么看，百位数有 9 种可能，十位数则应该有 9-1 种可能，个位 数则应该只有 9-1-1 种可能，最终共有 9*8*7 个三位数。计算公式＝P（3，9) ＝9*8*7,(从 9 倒数 3 个的乘积） Q2:有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”， 可以组合成多少个“三国联盟”？ A2:213 组合和 312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即 可。即不要求顺序的，属于“组合 C”计算范畴。 上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最 终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、组合的概念和公式典型例题 例1设有 3 名学生和 4 个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每 名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？ 解（1）由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的 人数，因此共有 种不同方法． （2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此 共有 种不同方法． 点评 由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算． 例 2 排成一行，其中 不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？ 解 依题意，符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共 3 类，每一类中不同 排法可采用画“树图”的方式逐一排出： ∴ 符合题意的不同排法共有 9 种． 点评 按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是 一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型． 例３ 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果． （1）高三年级学生会有 11 人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了 一次手，共握了多少次手？ （2）高二年级数学课外小组共 10 人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不 同的选法？②从中选 2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？ （3）有 2，3，5，7，11，13，17，19 八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多 少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？ （4）有 8 盆花：①从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中 选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？ 分析 （1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺 序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无 关，所以是组合问题．其他类似分析． （1）①是排列问题，共用了 封信；②是组合问题，共需握手 （次）． （2）①是排列问题，共有 （种）不同的选法；②是组合问题，共有 种不同的选法． （3）①是排列问题，共有 种不同的商；②是组合问题，共有 种不同的积． （4）①是排列问题，共有 种不同的选法；②是组合问题，共有 种不同的选法． 例４ 证明 证明 ． 左式 右式． ∴ 等式成立． 点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质 ，可使 变形过程得以简化． 例5 化简 ． 解法一 原式 解法二 原式 点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的 两个性质，都使变形过程得以简化． 例6 解方程：（1） ；（2） ． 解 （1）原方程 解得 ． （2）原方程可变为 ∵ ，， ∴ 原方程可化为 ． 即 ，解得 第六章 一、考纲要求 排列组合、二项式定理 1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题. 2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质， 并能用它们解决一些简单的问题. 3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题. 二、知识结构 三、、能力点提示 (一)加法原理乘法原理 说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、 组合中有关问题提供了理论根据. 例 1 5 位高中毕业生，准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报 名方法共有多少种? 解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所报名，因而每个学生 都有 3 种不同的 报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有 3×3×3×3×3=3 (种) (二)排列、排列数公式 说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究 的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比 较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查. 例 2 由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000 的 偶数共有() A.60 个 B.48 个 C.36 个 D.24 个 1 5 解 因为要求是偶数，个位数只能是 2 或 4 的排法有 P 2；小于 50 000 的五位                       1数，万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有 P 3;在首末两位数排定后，     3131中间 3 个位数的排法有 P 3，得 P 3P 3P 2＝36(个) 由此可知此题应选 C. 例 3 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个 数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种? 解： 将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填 法有 3 种，即 214 3，3142，4123；同样将数字 1 填入第 3 方格，也对应着 3 种填法；将数字 1 填入第 4 方格，也对应 3 种填法，因此共有填法为 3P 3=9(种). 例四 例五可能有问题，等思考 1 三)组合、组合数公式、组合数的两个性质 说明 历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上 都是由选择题或填空题考查. 例 4 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型与乙型电 视机各 1 台，则不同的取法共有() A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种 解： 抽出的 3 台电视机中甲型 1 台乙型 2 台的取法有 C14·C25 种；甲型 2 台乙     21型 1 台的取法有 C 4·C 5 种 根据加法原理可得总的取法有 C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 ) 可知此题应选 C. 例 5 甲、 丙、乙、 丁四个公司承包 8 项工程，甲公司承包 3 项，乙公司承包 1 项， 丙、丁公司各承包 2 项，问共有多少种承包方式? 解： 甲公司从 8 项工程中选出 3 项工程的方式 C 8 种； 1 3 乙公司从甲公司挑选后余下的 5 项工程中选出 1 项工程的方式有 C 5 种； 丙公司从甲乙两公司挑选后余下的 4 项工程中选出 2 项工程的方式有 C 4 种； 丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的 2 项工程中选出 2 项工程的方式有 2C 2 种. 根据乘法原理可得承包方式的种数有 C 8×C 5×C 4×C 2= ×1=1680(种). (四)二项式定理、二项展开式的性质 3 1 2 2 2 说明 二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的 基础知识 ，从 1985 年至 1998 年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二 项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题. 例6 在(x- ) 的展开式中，x 的系数是( 6 10 6 ) D.9C 10 4 A.-27C 10 解 因T B.27C 10 4 C.-9C 10 6 设(x- )10 的展开式中第γ+1 项含 x6， γ+1 =C γ 10 x 10-γ (- ) ，10-γ=6,γ=4 4 4 4 γ 于是展开式中第 5 项含 x 6，第 5 项系数是 C 10(- ) =9C 10 故此题应选 D. 例7 于 (x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的 x２的系数等 解：此题可视为首项为 x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前 5 项的和，则其和为 在(x-1) 中含 x 的项是 C 6x (-1) =-20x ，因此展开式中 x 的系数是-2 0. (五)综合例题赏析 例8 A.1 解：A. 例 9 2 名医生和 4 名护士被分配到 2 所学校为学生体检，每校分配 1 名医生和 2 名护士，不同的分配方法共有() A.6 种 B.12 种 2 6 3 3 3 3 3 2 若(2x+ ) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x ，则(a0+a2+a4) -(a1+a3) 的值为( B.-1 C.0 D.2 4 2 3 4 2 2 ) C.18 种 2 D.24 种 解 分医生的方法有 P 2＝2 种，分护士方法有 C 4=6 种，所以共有 6×2＝12 种不 同的分配方法。 应选 B. 例 10 从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其 中至少要有甲型与乙 型电视机各 1 台，则不同取法共有(). A.140 种 B.84 种 C.70 种 D.35 种 解：取出的 3 台电视机中，甲型电视机分为恰有一台和恰有二台两种情形. ∵C 4·+C 5·C 4=5×6+10×4=70. ∴应选 C. 例 11 某小组共有 10 名学生，其中女生 3 名，现选举 2 名代表，至少有 1 名女 生当选的不同选法有() A.27 种 B.48 种 C.21 种 D.24 种 2 2 1 解：分恰有 1 名女生和恰有 2 名女生代表两类： ∵C 3·C 7+C 3=3×7+3=24， ∴应选 D. 例 12 由数学 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的 六位数，其中个位数字 小于十位数字的共有(). A.210 个 C.464 个 B.300 个 D.600 个 1 1 1 2 解：先考虑可组成无限制条件的六位数有多少个?应有 P 5·P 55=600 个. 由对称性，个位数小于十位数的六位数和个位数大于十位数的六位数各占一半. ∴有 ×600=300 个符合题设的六位数. 应选 B. 例 13 A.70 个 C.58 个 以一个正方体的顶点为顶点的 四面体共有( B.64 个 D.52 个 ). 解：如图，正方体有 8 个顶点，任取 4 个的组合数为 C48=70 个. 其中共面四点分 3 类：构成侧面的有 6 组；构成垂直底面的对角面的有 2 组；形 如(ADB1C1 )的有 4 组. ∴能形成四面体的有 70-6-2-4=58(组) 应选 C. 例 14 如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱 锥的棱所在的 12 条直线 中，异面直线共有(). A.12 对 C.36 对 解：设正六棱锥为 O—ABCDEF. 任取一侧棱 OA(C 6)则 OA 与 BC、CD、DE、EF 均形成异面直线对. ∴共有 C 6×4=24 对异面直线. 应选 B. 例 15 共 正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中三个点 为顶点的三角形 个(以数字作答). 3 1 1 B.24 对 D.48 对 解：7 点中任取 3 个则有 C 7=35 组. 其中三点共线的有 3 组(正六边形有 3 条直径). ∴三角形个数为 35-3=32 个. 例 16 设含有 10 个元素的集合的全部子集数为 S，其中由 3 个元素组成的子集 数为 T，则 的值为。 解 10 个元素的集合的全部子集数有： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 S＝C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 10+C 010=2 10=1024 其中，含 3 个元素的子集数有 T=C 10=120 故= 例 17   例 17在 50 件产品 n 中有 4 件是次品，从中任意抽了 5 件 ，至少 有 3 件是次品的抽法共 种(用数字作答). 解：“至少 3 件次品”即“有 3 件次品”或“有 4 件次品”. ∴C 4·C 46+C 4·C 46=4186(种) 例 18 有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人承担，乙、 丙各需 1 人承担，从 10 人中选派 4 人承担这三项任务，不同的选法共有(). 3 2 4 1 3 A.1260 种 C.2520 种 B.2025 种 D.5040 种 2 解：先从 10 人中选 2 个承担任务甲(C 10) 再从剩余 8 人中选 1 人承担任务乙(C1 8) 又从剩余 7 人中选 1 人承担任务乙(C 7) ∴有 C 10·C 8C 7=2520(种). 应选 C. 例 19 A.7 个 集合｛1，2，3｝子集总共有( B.8 个 C.6 个 ). D.5 个 2 1 1 1 解 三个元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一个，由一个元素组成的 子集数 C 3，由二个元素组成的子集数 C 3。 由 3 个元素组成的子集数 C 3。由加法原理可得集合子集的总个数是 C13+C23+C33+1=3+3+1+1＝8 故此题应选 B. 例 20 假设在 200 件产品中有 3 件是次品，现在从中任意抽取 5 件，其中至少 有两件次品的抽法有(). A.C 3C 197 种 C.C 200-C 197 5 5 2 3 3 1 2 B.C 3C 197 +C 3C 197 D.C 200-C 5 1 3 2 3 3 2 C 197 2 3 4 解：5 件中恰有二件为次品的抽法为 C 3C 197， 5 件中恰三件为次品的抽法为 C33C2197， ∴至少有两件次品的抽法为 C 3C 197+C 3C 197. 应选 B. 例 21 两排座位，第一排有 3 个座位，第二排有 5 个座位，若 8 名学生入座(每 人一个座位)，则不同座法的总数是(). 2 3 3 2 A.C 8C 8 5 3 B.P 2C 8C 8 1 5 3 C.P 8P 8 5 3