普朗克公式的推导

普朗克的推导 Derivation of Planck’s law 首先，考虑一个边长为L的正方体盒子，里面充满了电磁辐射，能够发出形成受盒子大小限制的驻波。我们假设这些波不发生干涉，所以可以被划分为在三个笛卡尔坐标系方向上。 波长如下: 2,,= ,,, (,是非零自然数，i代笛卡尔坐标系的三个维度) , 根据量子力学，一个给定态的能量可以用如下表示: 1ℎ,222,,,,En=N+,+,+, ,,,,22; h代表普朗克常量，N代表这种这种态的个数，或是光子数，或是给定能量数。 重要的是，不像电子，无限数量的一种态或是光子，其给定的能量是存在的。其符合玻色爱因斯坦统计。 其次考虑光子气的统计力学: 为了推导光子气的能量密度，我们首先需要知道在给定温度下，一种光子气的能量状态 我们求助于统计力学，其揭示的公式如下: 可能和哪些物理量有关。 ?,,(,),,= ,,(,) 1 这里β代表的是热力学能量的倒数，即β=, Z(β)是一个因子，被称为分割数。 ,,? 其公式如下: 1??,,(,),,,Zβ=,= ,=0?,,1?, ℎ,ℎ,222 其中ε=,,+,+,=，即单个光子的能量 ,,,2,, 根据统计力学，一种给定态的平均能量(其和平均光子数有关)可表示为 , ;,,,,,=?= ,,, ,,?1 光子气的能量密度: 现在，我们有了给定态的平均能量的表达式，我们可以积分所有态的表达式，来寻找光子气的总能量，其可表示为: ??,U=,〈,〉,(,),,=,,(,),, ,,00,?1 g(ε)是指状态密度的函数，它给出了在单位能量间隔ε和ε+dε中，允许存在的态的个数。可表示为 38,,2,,gεdε=,,, 33ℎ, 所以单位体积的能量为: ?3,,8,,= ,,333,,,ℎ,,?10 被积函数是光谱能量密度，该式还可以用波长和频率表达 ???,=,,(,，,),,=,,(,,,),,=,,(,,,),, 3000, 黑体辐出度: 现在假设，黑体的一侧被挖了一个小孔，所有从这个小孔辐射出的辐射波都以光速前进。而且这些辐射出的波以2π的半球立体弧度均匀分配，并且有一半能量是朝外发射的 所以光谱辐出度可以被定义为单位波长的单位立体角的单位区域的辐射出的能量。 2,,1,,,,,2ℎ,1,,,,Uλ，T== ℎ,522,,,,,?,?1