直梁弯曲（有图）

直梁弯曲（有图） 课四 直梁弯曲 图4-1 图4-2 梁是水平方向的长条形承重构件，它是土木工程中应用极为广泛的一种构件。如图4-1所示建筑中的框架梁承受楼板的荷载，如图4-2所示的桥梁承受车辆的荷载，它们都属于梁。梁在荷载作用下会产生怎样的变形和内力,怎样才能保证梁安全可靠地工作,让我们带着这些问题进行本课题的学习。 4.1 梁的形式 一、梁在荷载作用下的变形 观察与思考: 如图4-3所示的跳板承受跳水运动员的荷载，如图 4-4所示的火车轮轴承受车厢的荷载，如图4-5所示的挑 梁承受阳台的荷载，这些构件在荷载作用下产生怎样的 变形,它们所受荷载的作用方向有什么特点, 图4-3 图4-4 图4-5 1 图4-3~图4-5中的构件受垂直于其轴线方向的荷载作用，构件轴线由直线变成曲线，产生弯曲变形，图4-1中的框架梁和图4-2中的桥梁在荷载作用下也都会产生弯曲变形。 二、梁的形式 以弯曲变形为主的构件称为受弯构件，梁是土木工程中最常见的受弯构件之一。轴线是直线的梁称为直梁。土木工程中的梁实际结构很复杂，完全根据实际结构进行计算很困难，有时甚至不可能。工程中常将实际结构进行简化，抓住基本特点，略去次要细节，用一个简化的图形来代替实际结构，这种图形称为计算简图。计算简图既能反映实际结构的主要性能，又便于计算，它是一种理想的力学模型。根据支座的约束情况，工程中常见的简单梁有以下三种形式: 1(简支梁 桥梁支承在桥墩上～其两一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座的梁。图4-2中桥梁的 端均不能产生垂直向下的计算简图如图4-6a所示，属于简支梁。 移动～但在桥梁弯曲变形2(外伸梁 时～两端能够产生转动,梁身的一端或两端伸出支座的简支梁。图4-4中的火车轮轴的计 整个桥梁不能在水平方向算简图如图4-6b所示，属于外伸梁。 移动～但在温度变化时～3(悬臂梁 梁端能够产生热胀冷缩。一端是固定端，另一端是自由端的梁。图4-5中阳台挑梁的计算 所以桥梁一端设置为固定简图如图4-6c所示，属于悬臂梁。 铰支座～另一端设置为可 动铰支座。桥梁用其轴线 代替～从而得到如图4-6a 所示的计算简图。 图4-6 4.2 梁的内力——剪力和弯矩 观察与思考: 轴向拉(压)杆的内力是什么，计算内力的基本方法是 什么，其计算思路是怎样的,如图4-7a所示的简支梁，其 1—1横截面处的内力是什么,如何计算, (a) (b) (c) 图4-7 2 一、剪力与弯矩的概念 揭示梁内力的方法仍然是截面法。如图4-7b所示，假想截取梁的左段为研究对象，由于整根梁处于平衡状态，所以梁的左段也处于平衡状态，必然在1—1截面处有两种内力，即与横截面相切的内力Fs，称为剪力;使梁产生弯曲变形的内力M，称为弯矩。 二、剪力与弯矩的正负号 用截面法将梁假想截成两段后，在截开的截面上，梁的左段和右段的内力是作用力与反作用力关系(图4-7b、c)，它们总是大小相等，方向相反。但是对任一截面而言，不论研究左段或是右段，截面上的内力应当有相同的符号。 1(剪力的符号 截面上的剪力Fs使所考虑的脱离体有顺时针方向转动的趋势时规定为正号，是正剪力(图4-8a);反之规定为负号，是负剪力(图4-8b)。 2(弯矩的符号 截面上的弯矩使所考虑的脱离体产生向下凸变形(下部受拉、上部受压)时规定为正号，是正弯矩(图4-9a);产生向上凸变形(上 记住Fs、M部受拉，下部受压)时规定为负号，是负弯矩(图4-9b)。 的正方向规 定。 左段: 右段: 图4-8 图4-9 3 *三、用截面法计算梁指定截面的内力 用截面法计算梁指定截面内力的步骤如下: (1)计算支座反力。 (2)画出截取梁段(左段或右段)的受力图。除画出作用在截取梁段上的一切外力(含支座反力)外，在截开的截面上还应画上相应的正剪力与正弯矩。 (3)建立平衡方程并求解内力。利用投影方程求解剪力,F,0y ,Mc,0Fs;利用力矩方程求解弯矩M，式中C点为截开截面的形心。 例4-1 简支梁如图4-7a所示。已知F=10kN，试计算1—1截面处的剪力与弯矩。 F解:(1)计算支座反力。根据对称性 F,F,,5KN(,)RARB2 (2)计算1-1截面处的内力 取左段为研究对象(图4-7b)，列平衡方程并求解剪力Fs与弯矩M。 由 ,F,0,F,Fs,0YRA 得 Fs,F,5KNRA ,Mc,0,由 ,F，2m，M,0RA 得 M,F，2m,5KN，2m,10KN,mRA 取右段为研究对象(图4-7c)，列平衡方程并求解Fs与弯矩M。 由 ,F,0,Fs,F，F,0YRB 得 Fs,F,F,10KN,5KN,56KNRB ,Mc,0,由 ,M,F，2m，F，6m,0RB 得 M,,F，2m，F，6mRB ,,10KN，2m，5KN，6m,10KN,m 选取左段或右段为研究对象，1-1截面处的内力数值和正负号均相同。 *四、剪力和弯矩的计算规律 从截面法计算剪力和弯矩的过程可知:通过建立投影平衡方程和力矩平衡方程分别计算剪力和弯矩，过程繁琐。在掌握截面法计算内力的基础上，可直接利用外力计算内力，内力的计算规律是: 1、剪力和弯矩的数值 梁上任一横截面的剪力，其数值等于该横截面一侧所有外力沿横截面方向投影的代数和。梁上任一横截面的弯矩，其数值等于该横截面一侧所有外力对横截面形心力矩的代数和。 2、剪力和弯矩的正负号 以取梁左段(或右段)时内力的正方向(图4-7b、c)为对比标 4 准，凡外力投影的方向与剪力正方向相反者取正号、相同者取负号， 记住: 即“左上右下剪力正”。凡外力对该横截面形心的力矩转向与弯矩方 计算梁的内向相反者取正号，相同者取负号，取“左顺右逆弯矩正”。 力。 例4-2 如图4-10a所示悬臂梁。已知q=3kN/m，F=5KN，试计,1,Fs、M的正方向规定, ,2,“同向为负、反向为正”算距固定端A为1m处横截面上的内力。 八字口诀。 (a) (b) 图4-10 解:将梁在距A点1m处截开，取右段为研究对象，可省去求固定端A处的支座反力，如图4-10b所示 Fs=q×2m+F=3KN/m×2m+5KN=11KN M=-q×2m×1m-F×2m=-3KN/m×2m×1m-5KN×2m=-16KN?m 4.3 梁的内力图——剪力图与弯矩图 一、剪力图和弯矩图的概念 在工程中，为了计算梁的强度和刚度问题，除了要计算指定截面的剪力和弯矩外，更需了解剪力和弯矩沿梁轴线方向的分布情况，从而知道剪力和弯矩的最大值及其所在横截面的位置。这种形象地示剪力和弯矩沿梁轴线变化情况的图形，分别称为剪力图和弯矩图，即梁的内力图。 在绘制梁的内力图时，用平行于梁轴的横坐标(x轴)表示梁横混凝土抗拉强度低～钢筋抗 截面的位置;垂直于梁轴的纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩。拉强度高～故在钢筋混凝土 梁受拉一侧配置受力钢筋。 在土木工程中，习惯上正剪力画在x轴的上方，负剪力画在x轴的下方(画剪力图时要求标出正负号);而把弯矩图画在受拉侧(即正弯矩画在x轴的下方，负弯矩画在x轴的上方，由于弯矩图画在梁的受拉侧，故弯矩图的正负号，可标可不标)。将弯矩图画在梁轴线受拉一侧的目的，是便于在混凝土梁中配置钢筋，即混凝土梁的受力钢筋基本上配置在梁的受拉一侧。 5 二、内力图的规律 1、简支梁在简单荷截作用下的内力图 绘制梁的内力图的基本方法是:先建立剪力方程和弯矩方程，再根据剪力和弯矩的函数关系，采用描点法得到相应的剪力图和弯矩 图。这种方法很繁杂，不易掌握，此处不作介绍。下表(表4-1)中作为结论给出的简支梁在简单荷载作用下的内力图，读者可用截面 法计算指定截面内力的方法加以验证。 表4-1 简支梁在简单荷截作用下的内力图 荷载图 剪力图 (F图) s 弯矩图 (M图) 2(表4-2 直梁在简单荷载作用下的内力特征图 无荷载区 集中荷载 向下均布荷集中力偶 q=0 梁上荷作用处 载区 作用处 载情况 作用处 水平直线 作用处突变 下倾斜直线 无变化 剪力特 征图 F=0 Q 6 下倾上倾斜水平直作用处折成向下凸的抛斜直作用处突变 直线 线 尖角 物线 线 弯矩特 征图形 M=0 或M,0 或M,0 3(内力图的规律 综合分析表4-1中简支梁的特定内力图和表4-2中直梁的一般内 力特征图，依据荷载、剪力、弯矩之间的内在关系，归纳总结出内 力图的规律。 (1)无荷载区:剪力图为零线，弯矩图为平行线;剪力图为平 行线，弯矩图为斜直线。 (2)集中力作用处:剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的 大小，突变的方向与集中力方向相同;弯矩图折成尖，尖角方向与 集中力方向相同。 (3)集中力偶作用处:弯矩图突变，突变的绝对值等于力偶矩记住: 大小，突变的方向为顺时针力偶向下降，逆时针力偶向上升;剪力梁的两端无图无变化。 集中力偶作 (4)均布荷载区:当作用方向向下的均布荷载时，剪力图为下用～弯矩必倾斜直线，变化的绝对值等于均布荷载的合力;弯矩图为向下凸的为零。 抛物线。 (5)剪力与弯矩的关系:当剪力图为正时，弯矩图为斜向右下 方;当剪力图为负时，弯矩图为斜向右上方;剪力为零的截面，弯 矩有极值;梁后截面弯矩等于前截面弯矩加上前后截面间剪力图的 “面积”。 这种从特定梁的内力图的讨 对于内力图规律第(5)条需要指出的是:因为剪力图有正有负，论～探究内力图的一般规律～所以前后截面间剪力图的“面积”亦有正有负，两者正负号相同。 并用该规律简捷绘制梁的内 三、内力图的绘制 力图的方法～体现了人们分 观察与思考: 析问题、解决问题的一种科 如图4-11所示，试根据内力图的规律，判别下列各梁学方法。 的剪力图和弯矩图是否正确，若有错，请说明原因。 荷载图 Fs图 M图 (a) (b) 7 荷载图 Fs图 M图 (a) (b) 图4-11 记住: 1、内力图绘制步骤及其要点——五步绘图法 绘制梁的内 (1)求支座反力 力图。 (2)找控制截面。梁的起、止截面，均布荷载的起、止截面， 集中力(包括中间的支座反力)及集中力偶作用截面，剪力为零的 截面。 ,1,绘制Fs图:看荷载图～ (3)绘制剪力图。利用内力图的规律，看荷载图，跟集中力、跟力走, 均布荷载走。 ,2,绘制M图:看力偶～跟 (4)绘制弯矩图。利用内力图的规律，看荷载图中有无集中力剪力图走。 偶(梁的两端无集中力偶作用，弯矩必为零;梁的截面处有集中力 偶作用，按内力图规律第(3)条绘制)，跟剪力图走。 (5)检查校对。剪力图、弯矩图自行封闭，绘图正确，否则绘 图错误。 2、内力图的绘制 例4-3如图4-12a所示，已知F=5KN，q=4KN/m，试绘制梁的内 力图。 荷载图 (a) Fs图 (单位:KN) (b) M图 (单位:KN?m) (c) 图4-12 解(1)求支座反力。根据对称性得 1 F,F,5KN，，4KN/m，6m,17KN(,)RBRC2 8 (2)绘制剪力图(图4-12b)。看荷载图，跟集中力、均布荷载走 ABCD路A点 B点 BC区 C点 D点 径 区 区 F=5K=17KN =17KN Fq=4KN/m FF=5KN RBRcN 荷q=0 q=0 载 ,,,,() () () () ,() 0 12KN 5KN 5KN 12KN Fs? ? ? ,,,, 图 -12KN -5KN -5KN -12KN 0 =FF左右scsB=FF右右sBsAF-q×6m F=F+F=F-F FF右右左右右ssAscscRc scsc-5 +F5 RB =-F= =-12KN+17KN =5KN-5KN 计=-12KN-4KKN =-5KN+17KN -5KN =5KN =0 算 N/m×6m KN=12KN =-12KN (3)绘制弯矩图(图4-12c)。无力偶，跟剪力图走 控制弯矩控制值 M图 截面 AB区 A点 M=0(无力偶，必为零) A -10KN?m M=M+F×2m 右BASAB点 0 =-5KN×2m=-10KN?m BC区 -10KN?m 10KN?m M,M，1/2F，3mEBSB右 E点 ,,10KN,m，1/2，12KN，3m,8KN,m 8KN?m M,M，1/2F，3mCESC右 C点 CD区 ,8KN,m，(,1/5，12KN，3m),,10KN,m10KN?m M,M，F，2mDCSC右 D点 ,,10KN,m，5KN，2m,0 (无力偶，必为零) 0 (4)Fs、M图均自行封闭，绘图正确。 ,1,正对称:图形按对称轴 通过观察图4-12可以发现:因为该外伸梁结构的几何形状、受对折后重合。 到的竖向荷载均左右相同，具有对称性，所以弯矩图在对称位置的,2,反对称:图形按对称轴弯矩数值和符号相等，具有对称性(工程上把这种对称称为正对称);对折后方向相反。 剪力图在对称位置的剪力数值相等、符号相反，也具有对称性(工,3,具有对称性的梁:弯矩 图正对称～剪力图反对称。 9 ,4,利用对称性～可以简化 计算。 程上把这种对称称为反对称)。土木工程结构中广泛使用对称结构，一方面符合人们对称美的审美要求，另一方面不仅可以简化计算， 而且也体现了结构受力的合理性。 例4-4如图4-13a所示，已知F=10KN，q=3KN/m，试绘制梁的内力图。 解:(1)求支座反力 F=q×2m+F AY 荷载图 =3KN/m×2m+10KN ,(a) =16KN() MA=q×2m×1m+F×2m 2Fs图 =3KN/M×2m+10KN×2m (单位:KN) =26KN?m (b) M图 (单位:KN?m) (c) 图4-13 (2)绘制Fs图(图4-13b)。看荷载图，跟集中力、均布荷载走 路径 A点 AB区 B点 F=16KN q=3KN/m F=10KN AY 荷载 ,,,() () () 16KN 10KN 16KN Fs图 ? ,, 10KN 0 0 =F-q×2m F左右SBSAFF=F-F 右右左SASBSBFs计算 =16KN-3KN/m×2m =F=16KN =10KN-10KN=0 AY=10KN (3)绘制M图(图4-13C)。有力偶，跟剪力图走 控制截面 弯矩控制值 M图 A点 -26KN?m A点 M=-M=-26KN?m 右, AA 0 10 1AB区 M,M，，(F，F)，2mBA右SA右SB左-26KN?m 2 1B点 ,,26KN,m，，(16KN，10KN)，2m,0 2 (无力偶，必为零) 0 (4)Fs、M图均自行封闭，绘图正确。 观察与思考: 在图4-13a中，若A端改为自由端，作用力F，B端改 为固定端，其它条件均不变，它们的Fs图、M图有何关系, 请读者自行完成。 4.4 梁的正应力及其强度条件 一、梁的正应力 观察与思考: 如图4-14a所示为一根矩形截面简支橡胶梁，在梁的中 部CD段侧面画上一系列与梁轴平行的纵向线及垂直于梁轴 的横向线(图4-14b)，构成许多小方格。然后在梁的C、D 处各作用一个集中力F，试观察梁发生弯曲变形后各纵向线和横向线 的变化情况。 (a) (b) (c) (e) (d) 图4-14 11 1、正应力分布规律 通过观察(图4-14c)可以发现:各横向线仍为直线，但倾斜了一个角度;各纵向线弯成曲线，梁的下部纵向线伸长，上部纵向线缩短。据此可以作出如下分析与假设:梁的各横向线所代表的横截面，在变形前是平面，变形后仍为平面(平面假设);纵向线的伸长与缩短，表明了梁内各点分别受到纵向拉伸或压缩。由梁下部的受拉而伸长逐渐过渡到梁上部受压而缩短，于是梁内必定有一即不伸长也不缩短的层，这一不受拉、不受压、长度不变的层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴(图4-14d)。中性轴通过截面的形心并与竖向对称轴垂直。 综合上述梁弯曲实验分析和理论推算，梁的正应力分布规律是:梁的正应力沿截面高度成线性分布(“K”形分布，图4-14e)，中性轴处正应力为零，上、下边缘处正应力最大。 2、正应力计算 土木工程中，在解决梁的强度计算问题时，对矩形、圆形等具有上下对称的截面梁，关注的是梁的最大正应力发生在何处,其值有多大,梁发生弯曲变形时，最大弯矩Mmax所在的截面是危险截面，该截面上距中性轴最远边缘处的正应力最大，是危险点。根据理论计算，梁的最大正应力计算公式是 Mmax (式4-1) ,,maxWz 式4-1中Wz称为抗弯截面系数，它是衡量截面抗弯能力的一个 32bhaWz,几何量。图4-13中矩形截面的Wz,，正方形截面的，圆66 3,d3333,Wz形截面的，常用单位是米(m)或毫米(mm)。 32 (a) (b) (c) 图4-15 例4-5 如图4-16a所示，矩形截面简支梁受到均布荷载作用， 2已知截面尺寸b×h=200×400mm，跨度L=6m，q=4KN/m，试计算梁上的最大正应力。 分析:计算最大正应力的思路为 (1)绘制弯矩图，找出 Mmax 12 (2)按公式计算Wz。 (3)按式4-1计算最大正应力。计 算过程中，必须注意各量单位统一 (a) 问题。一般情况下，若单位采 Mmax 用牛顿?毫米(N?mm)、Wz单位 33采用毫米(mm)、则单位是兆 ,max 帕(MPa)。 (b) 图4-16 解:(1)绘制M图(图4-16b)，发生在跨中截面。 Mxma 1122 M,ql,，4，6KN,m,18KN,mmax88 (2)计算Wz 1122363 Mz,bh,，200，400mm,5.33，10mm66 (3)计算 ,max 6M18，10max,,,Mpa,3.38MPa max6Wz5.33，10 二、梁的正应力强度条件 1、正应力强度条件 为保证梁安全工作，梁内的最大正应力不超过的许用应力，这就是梁的强度条件。当材料的抗拉与抗压能力相同时，正应力强度条件可表达为 Mmax (式4-2) ,,,[,]maxWz *当材料的抗拉与抗压能力不同时，常将梁的截面做成上、下与中性轴不对称的形式，例如T形截面铸铁梁(图4-17a)。对于非对称T形截面梁，其正应力分布规律如图4-17b所示，正应力强度应同时满足抗拉和抗压强度条件要求。 (a) (b) 图4-17 2、正应力强度条件的应用 根据正应力强度条件可解决工程中有关强度方面的三类问题: 13 (1)校核强度。在已知梁的截面尺寸、材料及所受荷载情况下，对梁作正应力强度校核，即 Mmax ,,,[,]maxWz (2)选择截面。在已知梁的材料及荷载时，可根据强度确定抗弯截面系数，即 MmaxWz, [,] 再根据梁的截面形状进一步确定截面的具体尺寸。 (3)计算许用荷载。在已知梁的材料及截面尺寸时，先根据强度条件计算此梁能承受的最大弯矩，即 M,Wz[,]max 与荷载的关系计算出许用荷载。 再根据Mmax 例4-6如图4-18所示，桥式起重机的大梁采用36b工字钢制成。已知梁长L=12m，当钢梁、电动葫芦及钢丝绳的自重均不计时，若 [,]该起重机的最大起重荷载F=40KN，型钢的许用应力=160MPa，试校核大梁的强度。 (b) (a) (c) 图4-18 分析:根据4-18a桥式起重机大梁的结构分析，可将大梁简化为当梁上作用移动荷载时～先 简支梁。当最大起重荷载F作用于简支梁跨中截面C处(图4-18b)判别该移动荷载作用于何 时，对结构产生最不利影响，此时大梁弯矩达到最大值。 处～梁的弯矩将达到最大值～ 此时梁处于最不利状态。 解:(1)绘制M图(图4-17c)，计算Mmax 11 M,FL,，40KN，12m,120KN,mmax443(2)查型钢表:36b工字钢的Wz=919cm 14 (3)利用式4-2校核强度 6M120，10N,mmmax[,],,,,130.58MPa, max33Wz919，10mm 经校核该大梁满足强度要求。 上例中起重机大梁的最大正应力小于型钢的许用应力，能保证大 记住: 梁安全工作。但从节约型钢或者发掘起重潜力方面来考虑，还有待 三类强度问题～其于进一步研究。 解题思路均为: *例4-7上例中，在其它条件不变的情况下，试问:(1)当起重 ,1,绘制M图～计机的最大起重荷载F=40KN时，选择大梁的工字钢型号。(2)当大梁 , 算Mmax采用36b工字钢型号时，该起重机的许用最大起重荷载多大, ,2,按公式或查表解:(1)当起重机的最大起重荷载F=40KN时， 得到W, z6M120，103533max,3,代入强度条件Wz,,mm,7.5，10mm,750cm ,[]160求解。 3大梁可选用32c工字钢(Wz=760.47cm)。 (2)当大梁采用36b工字钢时， 1FLMFLmax4由 ,,,,,[,]maxWzWz4Wz 443得 =49.01KN F,Wz[,],，919，10，160N3L12，10 该起重机的许用最大起重荷载F=49.01KN。 4.5 梁的变形 梁在荷载作用下，为了保证梁能正常工作，除了应满足强度要求外，还需要满足刚度要求，即梁的最大变形不得超过某一容许值，否则会影响正常使用。例如楼板梁变形过大时，会使下面的灰层开裂、脱落;桥梁的变形过大，在车辆行驶时会引起很大的振动等等。 一、挠度的的概念 如图4-19所示，简支梁在跨中 集中力F作用下产生弯曲变形，每 个横截面都发生了相应的移动和转 动。横截面形心在垂直于梁轴线方 向的位移称为挠度，用y表示， 并规定向下为正;横截面绕中性轴 转动的角度称为转角，用,表示， 并规定顺时针的转角为正。 图4-19 *二、最大挠度所在位置及其影响因素 1、最大挠度及其所在位置 工程中，梁的变形大小可用挠度来衡量。在梁的挠度计算中，通常不需要计算梁每个截面的挠度值，只要求出梁的最大挠度并确定其所在的位置。表4-3为简单荷载作用下梁的最大挠度及其作用位 15 置，当梁上有几个或几种荷载同时作用时，可利用叠加法计算。 表4-3 简单荷载作用下梁的最大挠度及其作用位置 序号 支承、荷载情况和最大挠度及其作用位置 最大挠度y max 3FL1 y, max48EI 45ql2 y, max384EI 3FL3 y, max3EI 4ql4 y, max8EI 2、最大挠度的影响因素 观察表4-3中各梁的最大挠度计算公式可以发现:梁的最大挠度与荷载作用方式、梁的跨度L、抗弯刚度EI和支承情况有关。以上各因素可概括为 nL荷载y,， (式4-3) maxEI系数 要减少梁的最大挠度(提高刚度)，可通过改善荷载作用方式(如用均布荷载代替集中荷载)、减少梁的跨度L(此方法最有效)和增大梁的抗弯刚度EI(如增大梁横截面的截面二次矩I)等来实现。 4.6 直梁弯曲在工程中的应用 一、弯矩图在工程中应用 1、工程案例4-1 某六层宿舍楼，建成两年后其六层阳台上方的雨蓬折断而倾覆(图4-20)。 16 图4-20 原因分析:在土木工程中，梁板两端通常支承在梁或墙上。在垂直荷载作用下，梁板内将产生正弯矩，即其下部受拉、上部受压，因而受力钢筋必须配置在下部，如衅4-21a所示。但悬挑构件(如挑梁、雨蓬、阳台等)不同，在垂直荷载作用下，梁板内将产生负弯矩，即其下部受压、上部受拉，因而受拉钢筋必须配置在上部，如图4-21b所示。造成悬挑构件折断的原因:一是不懂悬挑构件的受力原理，把受力钢筋放在下部，受力钢筋不起作用，必然折断。二是虽然知道受力原理，把受力钢筋放在上部，但因支垫不妥，施工时浇混凝土的工人把上部的受力钢筋踩了下去或被浇筑的混凝土压到了下面(图4-20)，受力钢筋的作用大大降低，造成折断。经分析，本案例雨蓬折断而倾覆是第二种原因所致。 梁板结构图 计算简图 Fs图 (a) (b) 图4-21 3、工程案例4-2 预制梁的吊装是装配式桥梁施工中的关键性工序。施工中常用吊装情况如图4-22(a)、(b)所示，先将吊索与钢管连接，再将钢管通过钢索在最佳吊点处把桥梁吊起。 17 (a) (b) (c) (d) (e) 图4-22 原因分析:桥梁在使用过程中是按受弯构件来设计的，如果不用钢管而直接通过吊索将桥梁吊起(图4-22c)，桥梁在吊装过程中不仅要发生弯曲变形，而且在吊索水平分力作用下将产生压缩变形，该压缩变形可能导致桥梁损坏，所以在吊装过程中先将吊索与钢管连接。最佳吊点A、B位置(图4-22d)主要按桥梁吊装时的稳定与合理受力来确定，合理受力是指其吊点位置在距桥梁端部一定范围内而不能内移，否则吊点A、B处由于受到过大的负弯矩(图4-22e)而产生破坏。 二、提高梁的抗弯强度的措施 工程中设计梁时，为了提高梁的抗弯强度，一方面要求在材料用量一定的情况下，使梁能承受较大荷载，另一方面要求在承受一定荷载的情况下，尽可能节约材料，达到既安全又经济的目的。 观察与思考: 请读者按下列实验要求动手做一做，想一想。 取两张大小、厚度都相同的硬纸片和若干支粉笔，如 图4-23a、b所示改变硬纸片的截面形状，并分别在两张硬 纸片中间处小心加上粉笔，观察它们的抗弯能力;取一根约15cm左右的塑料直尺，如图4-23a、c所示进行“平放”与“立放”，分别在直尺中间处用手指给它一个竖直向下的作用力F，观察它们的抗弯能力;取二根约15cm左右的相同的塑料直尺和二支相同的圆笔套，如图4-23a、d所示，分别在直尺的中间处用手指给它一个竖直向下的作用力F，观察它们的抗弯能力。 18 (a) (b) (c) (d) 图4-23 一般情况下，梁的抗弯强度是由梁的最大正应力决定的，提,max高梁的抗弯强度的途径主要有提高梁的抗弯截面系数Wz和降低最 。 大弯矩Mmax 1、选择合理的截面形状。 梁的合理截面，应该在梁的截面积相同(材料用量相同)的情况下，使得抗弯截面系数最大。表4-4为截面积相同的几种截面的抗弯截面系数比较。 表4-4 截面积相同的几种截面抗弯截面系数比较 截面 形式 Wz 5.58 2.59 2.24 1.45 1 0.97 Wzo 注:?图中的空心截面的壁厚相等，矩形截面按h=1.5b来计算 ?Wz、Wzo分别是工字形、圆形截面的抗弯截面系数 从表中可以看出:工字形截面和空心截面梁的抗弯能力强，因此工字形和空心截面是提高梁抗弯强度的合理截面。根据梁的正应力分布规律，离中性轴较远处正应力很大，而在中性轴附近处正应力很小，为了充分发挥材料的作用，应减少在中性轴附近处的材料用量，而把大部分材料布置在距中性轴较远处。 19 工程中，梁的截面常采用矩形、工字形、箱形和T形截面形式。 例如起重机大梁、桥梁等常采用T字形、箱形截面(图4-24)。 图4-24 2、合理布置梁上荷载 在条件许可时，集中荷载变成分布荷载(图4-25)、集中荷载分 散并靠近支座布置(图4-26)、改变支座位置以减少梁的跨度(图 4-27)，均可降低弯矩的最大值，从而提高梁的抗弯强度。 图4-25 图4-26 图4-27 图4-28 3、采用变截面梁 工程上常采用形状简单而接近等强度梁(每一截面上的最大正应工程实际中～梁的截面形状力都刚好等于或略小于材料许用应力的梁)的变截面梁，例如阳台、的设计～不仅要考虑节约材 料～而且还要考虑施工难易 程度～综合多种因素达到既 20 安全又经济的目的。 雨蓬的挑梁、鱼腹式吊车梁(图4-28)等。因为按正应力强度条件设计梁的截面时，是根据危险截面上的最大弯矩来计算的，而梁的其它截面上，弯矩值通常小于最大弯矩。因此为了充分发挥材料的潜力，应按各截面的弯矩大小来确定梁的截面尺寸，这种梁的截面随梁轴位置不同而发生改变的梁叫做变截面梁。 *三、动荷载作用对受弯构件的影响 前面研究的受弯构件上作用的荷载都是静荷载，即在施加荷载时，由零缓慢增加到最终值并在以后保持不变或变化很小的荷载，如自重荷载、土压力等。工程实际中还存在着动荷载作用，即由于构件在荷载作用下有明显的加速度，这种荷载称为动荷载，如起重机吊重物加速上升时，吊绳对重物的拉力;打桩时重锤对桩的冲击荷载等等。 动荷载的破坏作用是十分惊人的。如2000年9月11日恐怖袭击造成美国纽约世贸大楼倒塌;2008年5月12日中国四川汶川大地震造成汶川县八个镇被夷为平地，房屋、桥梁等严重损坏坍塌，这些都是结构在受到威力巨大的动荷载作用下造成土木工程灾难的典型案例。 1、工程案例4-3 某桥式起重机(图4-29)驾驶员由于加班而疲劳过度，在构件超速前进时突然紧急刹车，导致吊索断裂、吊车梁受损、地面作业人员伤亡的严重事故。 原因分析:由于构件超速 前进时突然紧急刹车，构件将 产生激烈摆动，吊索、吊车梁 将受到巨大的冲击荷载作用， 导致吊索受拉而断裂、吊车梁 受弯而损坏，继而造成地面作 业人员伤亡的严重事故。因 此，在工程施工过程中，要严 格遵守操作规程，避免构件在 垂直上吊、水平移动时，由于 紧急刹车或突然加速造成的 人为工程事故。 图4-29 2、工程案例4-4 某中学教学楼工程，主体为三层混合结构。工程于1982年施工，当铺设屋面预应力圆孔板时，不慎有一块预应力圆孔板从屋面滑下，造成下面楼面预应力圆孔板均被砸断的工程事故。 原因分析:预应力圆孔板属于受弯构件，由预应力钢丝与混凝土组成，预应力钢丝张拉后其塑性降低，混凝土属于脆性材料。当它受到巨大的冲击荷载作用时，弯矩将突然增大而被砸断。因此在工程施工时，要加强安全教育，严防高空坠物事故发生。 21 本课题介绍了弯曲变形、梁的内力、正应力及其强度条件、变形和直梁弯 曲在工程中的应用，是本课程的重点内容。 一、弯曲变形 1、弯曲变形:当构件受到垂直于其轴线方向的荷载作用时，构件的轴线 由直线变成曲线。 2、三种简单直梁:简支梁、外伸梁、悬臂梁。 二、梁的内力 1、内力组成:剪力Fs、弯矩M 2、内力正负号规定:剪力使脱离体有顺时针转动趋势为正，反之为负; 弯距使脱离体产生向下凸变形为正，反之为负。 3、内力的计算:运用截面法和计算规律计算内力。 4、内力图的绘制:理解内力图规律并运用内力图规律简捷绘制内力图。 三、梁的正应力 1、正应力分布规律:沿梁的截面高度成线性分布(“K”形分布)，中性轴 处正应力为零，上、下边端处正应力最大。 Mmax2、最大正应力: ,,maxWz 23bh,d矩形截面、圆形截面,、型钢查表 Wz,Wz632 3、危险截面、危险点:最大弯矩的截面为危险截面，危险截面上应力最 大的点为危险点。 四、梁的正应力强度条件 Mmax1、强度条件: ,,,[,]maxWz 2、强度条件的应用:解决校核强度、选择截面和计算许用荷载三类工程 问题。 五、梁的变形 1、挠度:梁的横截面的形心在沿垂直于梁轴方向的位移。 nL荷载y,，2、最大挠度: maxEI系数 22 思考题 4-1 弯曲变形的受力特点和变形特点各是什么, 4-2 剪力与弯矩的正负号是怎样规定的,与力的投影和力矩的正负号规定有何区别, 4-3 两根跨度相同，荷载相同的简支梁，在下列情况下，其内力、正应力、挠度是否相同, (1)材料相同，截面形状、尺寸不同; (2)材料不同，截面形状、尺寸相同。 4-4 梁横截面上的正应力如何分布,与轴向拉(压)变形杆件横截面上的正应力与分布有何区别, 4-5 梁的最大挠度一定发生在集中力作用处吗, 4-6 判别下列各梁的内力图是否正确，如有错误加以改正(图4-30)。 荷载图 F图 s M图 (a) (b) 荷载图 F图 s M图 (c) (d) 图4-30 23 4-7 为什么单杠易在中间折断，而游泳池的跳水板易在根部断裂, 4-8 把两根截面尺寸均为a×2a的预制钢砼小梁组合成一根使用，上下叠放还是侧立并放合理些(图4-31), 图4-31 4-9 为什么钢梁做成工字形截面，而铸铁梁做成T形截面,桥梁多采 用T形或箱形截面, 4-10 在工程施工中，架子工在上脚手架时要走通道，不能从高处往下跳，但在打桩时，却要求重锤从一定高度落下，试用力学知识加以说明。 4-11 标准双杠如图4-32所示，试运用力学知识回答下列问题: (1)两根坚直立柱支撑为什么不放在双杆的两端而要内移, (2)一重量为G的运动员在双杠上什么位置时，双杠将产生最大正弯矩和最大负弯矩, (3)最大正弯矩和最大负弯矩发生在什么位置,其值大小各为多少, (4)双杠为什么要用具有较好弹性的塑性材料制成, 4-12 如图4-33所示，为什么将超重的货物置于有多个轮子的大型平板车上，能安全通过承载力较小的桥梁, 图4-32 图4-33 24 练习题 4-1 已知F=10KN，q=4KN/m，Me=8KN?m，试计算图示各梁指定截面的内力。 (a) (b) (c) (d) 题4-1图 4-2 应用内力图的规律，绘制下列各梁的内力图。已知F=10KN，q=2KN/m，Me=12KN?m。 (a) (b) 25 (c) (d) (e) (f) 题4-2图 4-3 试求图示各梁的最大正应力。 (a) (b) (c) (d) 题4-3图 26 4-4 如图所示为某跳水用跳板，已知运动员弹跳时作用在跳板端的荷载F=2.2KN，板的截面为矩形，b×h=100×500，材料的许用应力[]=7MPa，试,校核跳板的正应力强度条件是否满足, 4-5 某悬臂梁由两根不等边角钢2?140×90×10组成，受到的荷载F=6KN，已知材料的许用应力[]=160MPa，试校核梁的正应力强度条件。 , 题4-4图 题4-5图 4-6 矩形截面简支梁，作用满跨均布荷载q=3KN/m，已知跨度L=4m，截 2面尺寸b×h=120×240mm，材料的许用应力[]=7MPa，试校核该梁的强度并, 计算该梁能承受的最大荷载q。 max 4-7 支承在墙上的木梁承受由地板传来的荷载如图所示，若地板上的均 2布面荷载q′=2.5KN/m，木梁的间距a=1.4m，跨度l=5m，木材的许用弯曲应力[]=12MPa，木梁的截面为矩形，b×h=140×200。(1)画出木梁的力学计, 算简图;(2)校核木梁的正应力强度条件。 4-8 圆形截面木梁，受荷情况如图所示。已知L=3m，F=3KN，q=3KN/m，木材的许用弯曲应力[]=10MPa，试选择此梁的直径d。 , 题4-7图 题4-8图 27