平面向量的内积

平面向量的内积 ,,,,,,1. 若，則，其中u,(x,y),v,(x,y)u,v,|u||v|cos,,xx，yy,11221212 ,,為的夾角。 u,v OAxyOBxy,,(,),(,)2. 三角形面積公式：，則 1122 xy1111222?面積=。 ||||()||OAOBOAOB,,,OABxy2222 36 ,,3. 科西不等式：設為任意兩向量，則 u,v ,,,,， |u,v|,|u||v| ,,且等號成立的充要條件為。 u//v a,b,c,d,R4. 科西不等式：設，則 22222(ac，bd),(a，b)(c，d)， 且等號成立的充要條件為。 a:c,b:d 37 重要例題： ,,,,a,(,1,2),b,(1,x)x例1. 設，且與的夾角為，求。 b150:a ,,,,a,(1,3),b,(,1,1)|a，tb|例2. 設，當？時，為最小。 t, OAmOBnOC,,,,,(2,),(,1),(5,1)ABC,,例3. 設，若三點共線，且 OAOB,(,)mn,，求？ 38 ,,,,,,,類1. 設u,(5,3),v,(,1,2),w,(1,,4)，求(1)(u，2v),(,2v，3w)=？ ,,,,(2u,v),(4v，5w),(2)？ ,,a,(1,2),b,(2,,1)類2. 求下列各向量的夾角？(1)， ,,,,a,(6,2),b,(2,,1)a,(1,2),b,(2,,3)(2)，(3)。 ,(3,1,3，1)類3. 求與向量成夾角的單位向量。 4 OAOBOCOBBCOA,,,,,(2,3),(1,1),,//ODOAOC，,類4. 設，且， 39 求。 OD ,4,1Ans: 1.(1)-97,(2)-37，2. (1),(2),(3)，3. 90:45:cos65 111431,13(,),(,)，4. 。 (,),222255 BC,CA,ABD(2,1),E(6,4),F(,1,3)例4. 設中，的中點分別為，求,ABC (1)面積。(2)的坐標為 。 A,ABC 40 OAOB,,(4,1),(2,3),例5. SPOPOAOB,,，,,，,{|,0,0,||||1},,,,,,，求面積。 S 33||2,||3ABAC,,類1. 設中，若，的面積為，則,ABC,ABC2ABAC,, 。 ABBDCD,,,,,,,(1,2),(4,3),(1,4)類2. 四邊形中，，求四邊ABCD 41 形面積。 類3. ，A(4,6),B(,14,3),C(7,,3) SPAPxAByACxy,,，,,,,,,,{|,13,41}，求的面積？ S Ans: 1. ，2. 9，3. 2052。 ,3 2222x，y2x，yx,y,R3x，2y,7例6. 設，且，試求(1)的最小值，(2)的 最小值。 42 222x，3y類1. 設x,y,R，且3x，y,5，試求的最小值。 22類2. 設，則的最小值為？ 3a，2b2a，3b,1 6150Ans: 1.，2.。 3529 43 22xyxy，,，,,42810例7. 若，且，求的最大值與最小x,y,Rxy，，21值及此時的。 xy, 223x，2y,1x,y,R2x,y類1. 設，且，則的最大值為 。 2222a，b,4,c，d,9類2. 設，求的最大與最小值。 adbc， 116a,b類3. 若為正數，且，則的最小值為 ，此時a，b,5，ab 44 。 (a,b), ,,,,22a,(x,2),b,(1,y)x，y,5類4. 設，，若，則的最小值x,y,Ra,b 為？ ,,,,|a|,2,|b|,3類5. 已知，則的最大值與最小值為多少？ a,b 45 111313Ans: 1. ，2. 最大,最小，3. ，4. –5，5. 6,-6。 5,a,1,b,4,622 例8. 求的最大值與最小值。 5cos,，3sin, f(x),3sinx，4cosxf(x)類1. 設，則當 時，有最大tanx,值 。 46 Ans: 3/4，5。 5. 正射影： ,,,,uv,,,,v(1)設，則在上的正射影為。 v,0uv,2v|| ,,u,v,,,,|u|,cos,(2) 在上的分量為。 uv,|v| ,,|u,v|,,(3) 在上的正射影長為。 uv,|v| uv,2()vu,(4)對於的對稱向量為 uv2||v 47 AB例9. A(,3,1)，B(2,5)，C(4,,6)，則 (1)在AC上之正射影 AC為 ，(2)在AC上投影點為 ，(3)與的BB 距離為 。 ,,例10. 設u,(2,3)，直線的方程式為2x,y，3,0，求在上的正射LLu影。 48 類1. 若?的三頂點坐標為A(2,5),B(5,1),C(3,7)，為線段BC上的PABC 68APAB一點，且向量在向量的正射影向量為，試求的坐(,,)P2525標。(84.社) AB類2. 已知A(2,3),B(7,2)，求在直線2x,y，1,0上的正射影長？ ,,,,,,a,(2,,3),b,(3,4)類3. 設，則(1)在上的正射影為？(2)在上的bbaa正射影長為？ 49 類4. 設，則點在直線上的投影點為？ P(8,9),Q(,2,4),R(1,8)PQR m,類5. 平面向量在直線上的正射影為，則？ (2,2)y,xOP,(,1,m) 52281824356Ans: 1. ，2. ，3.(1),(2)，4. (4,12)，5. 5。 (,)(,,,)515525255 ,ax，by，c,0n,(a,b)6. 直線的一個法向量為，一個方向向量為 ,v,(b,,a)。 50 7. 兩直線的夾角：設L:ax，by，c,0,L:ax，by，c,0為平面11112222 上的兩直線，nabnab,,(,),(,)為此兩直線法向量的夾角，則,111222 ,，nnaabb121212。 cos,,,2222||||nn12abab，，1122 重要例題： L:x,2y，3,0,L:x，3y,5,0例11. 求直線的夾角。 12 ,P(1,,2)v,(2,3)例12. 求過點，方向向量為的直線方程式。 51 例13. 設一直線過點P(0,3)且與直線3x，4y,12,0的夾角為，求LL45: 的方程式。 22273320xxyyxy,，，，,,類1. 求兩直線的夾角。 52 x,,1，2tx,2,t,,類2. 求直線，的夾角。 L:,t,RL:,t,R,,12y,5，ty,t,, 3x,y，1,0類3. 求過且與夾角的直線方程式。 (1,2)30: 3,1類4. 求過P(1,,2)且與直線L:x，3y，1,0夾角為的直線方程cos5式。 11,1,1or,,coscos45:or135:Ans: 1. ，2. ，3. 1010 53 x,3y,1，23,0orx,1，4.。 3x，y,1,0,9x,13y,35,0 P(x,y)8. 點到直線的距離：平面上一點與直線的距L:ax，by，c,000 |ax，by，c|00離為。 d(P,L),22a，b ax，by，c,0ax，by，c',09. 兩平行線的距離：兩平行線與的距離為 |c,c'|。 22a，b 54 10. 兩直線交角的角平分線可利用點到直線的距離公式求得。 例14. 設，，求(1)到的距離，(2)在上的P(2,3)Lxy:3420，，,PLPL 正射影，(3)關於的對稱點。 PL A(3,1),xy，,,270類1. 求對之對稱點坐標。 APBP，AB(3,1),(2,1),Lxy:2340,，,類2. 設，在上求一點，使得為P最小。 55 2719119(,)Ans: 1. ，2. 。 (,)8455 25例15. 求過(1,1)且與(2,3),,相距的直線方程式。 Ans: 2321113xyorxy，,，, 56 類1. 設一圓的圓心在原點，半徑為2，下列直線何者與此圓相切： 3x，y，4,0x，35y,12,0y,3x,4,0(A)(B)(C)(D) 35x，y,6,035x,y,4,0(E)。 AB類2. 坐標平面上，，直線，若與交A(1,2),B(,1,1)L:x，2y,3,0L於點，則AP:PB, 。 P 22類3. 設滿足，則的最小值為 。 3x，4y,1(x,1)，(y,2)x,y Ans: 1. (A)(B)(C)，2. 1:1，3. 2。 x,2y，3,02x,4y，1,0例16. 求兩平行線與的距離。 57 類1. 與直線平行，且距離為4的直線方程式為 。 2x，y,7,0 2x，y,7,45,0Ans: 1. 。 2x,y，3,0x,2y，5,0例17. 兩直線與所交鈍角之角平分線方程式 為 。 58 類1. 求兩直線L:12x，5y,6與L:3x,4y,5的角平分線方程式。 12 類2. 求過點且與二直線L:3x,4y,7,L:12x,5y，5,0夾等P(4,5)12角的直線方程式。 21x，77y，35,0,99x,27y,95,0Ans: 1. ，2. 9x,7y,1,0,7x，9y,73,0。 L:2x，y,12,0L:2x,y，4,0例18. 已知三直線，，12 L:x,2y,4,0圍成一三角形，則此三角形： 3 59 (1)內心坐標 ，內切圓面積 。 (2)外心坐標 ，內接圓半徑 。 (3)垂心坐標 ，重心坐標 。 L:2x,9y，16,0,L:9x,2y,5,0,L:7x，6y,59,0類1. 設三直123 線圍成三角形，求此三角形的內心坐標 。 Ans: 1. (3,4)。 60 61 62 63 64 65 66 67