求双曲线离心率举例
双曲线的离心率
22xy1. 若双曲线,,1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则其离心率等于_______ 22ab
22xy,ABF,90:,2(双曲线,,1左顶点、右焦点分别是A、F,点B坐标是(0,b),若 22ab
则双曲线的离心率是________
22xy3(已知F、F是双曲线,,1的两个焦点,AB是经过焦点F且垂直于x轴的双曲线12122ab
的弦,若?AFB=90º,则双曲线的离心率为__________ 2
2222xyyx4(双曲线,,1的离心率为,双曲线,,1的离心率为,则 ee122222abba
11,, ______ ;的最小值为_______;的最小值为_____ e,ee,e121222ee12
22xy5(设双曲线,,1的一条准线与两条渐近线交于A、B两点,相应的焦点为F,若以22ab
为直径的圆恰过点F,则双曲线的离心率为_________ AB
6(已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A、B,这条准线的相应焦点为F,如果 ,ABF
是等边三角形,则双曲线的离心率为 _________
247(双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为,则双曲线的离心率是_______. 7
22xya,0,b,0A(a,0)、B(0,b),,18. 双曲线 ( )的右焦点到过点的直线的距 F222ab
离等于双曲线虚半轴长的一半,则双曲线的离心率为________
22xy(,0),(0,)ab0,,abl,,19. 双曲线()的半焦距为,直线过点两点,已知原c22ab
3cl点到直线的距离为,那么双曲线的离心率是_______ 4
//10(椭圆和双曲线有相同的中心和准线,椭圆焦点F、F三等分以双曲线焦点为端FF、12 12
/e点的线段,则双曲线的离心率与椭圆的离心率的比值是________ e
22xy060a,0,b,011(已知双曲线,,1 ( )的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的22ab
直线与双曲线的右支有且仅有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是_______
22xyAb(0,)12(已知分别是双曲线,,1的左右焦点,,直线与双曲线的两条FAF,F11222ab
PQ,PQFFFM,渐近线相交于两点,线段的中垂线与轴相交于,若,则Mx122双曲线的离心率是( )
63A、 B、 C、 D、 2322
22xy13(双曲线,,1的两焦点是F、F,以FF为边作等边三角形,若双曲线恰好平分121222ab
三角形的另两边,求双曲线的离心率。
22xy,,100ab,,,14(己知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点,且,,22ab
M1,3BD的中点为,求双曲线C的离心率; ,,
ABCDAB,2CD15(如图,在梯形中,,,双曲线过C、D、E三点,且以A、AE,,EC
23B为焦点。当时,求双曲线离心率的取值范围 。 ,,,e34C D E
A B
22xy,,,,1(0,0)ab16(过双曲线C:的右焦点F作双曲线C中斜率大于零的渐近线的22ab
垂线l,设l交C的左右两支于A、B两点。 A y ?求双曲线C的离心率的取值范围; e
?若垂足为,求证:在双曲线的右准线上; HHH 3?若||=||,求双曲线C离心率的值。 AHHBeB
x O F
解答
一、填空题
22xy1. 已知双曲线,,1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则其离心率等于___ 22ab
22222224b,a,2ac,c2b,a,c, 4(c,a),a,2ac,c
52223c,2ac,5a,03e,2e,5,0(e,1)(3e,5),0 ,,取。 e,3
22xy2( 双曲线,,1的左顶点和右焦点分别是A、F,点B的坐标是(0,b),若22ab
,ABF,90:,则双曲线的离心率是________
2222b,acc,a,b由或由勾股定理可得:,代入,得:K,K,,1ABBF
5,12222c,ac,a,0ae,e,1,0e,1,解得e,,两边同除以,得:。 2
22xy3. 已知F、F是双曲线,,1的两个焦点,AB是经过焦点F且垂直于x轴的双曲线12122ab
的弦,若?AFB=90º,则双曲线的离心率为__________. 2
22bb2AF,FFA(,c,),2c,b,2ac易知:AB为通径,。令,则 ,112aa222222 c,a,b,a,2ac,化为:e,2e,1,0,(e,1),2,e,2,1
2222xyyx,,1,,14. 双曲线的离心率为e,双曲线的离心率为e, 则 122222abba
11,, ____1____, e+e 的最小值为 . e?e的最小值为__2 . 22121222ee12
2222abab,,11e,,e,,,由双曲线离心率定义知: , 故有1. 1222abee12
11a,b2ab2222e,e,a,b(,),a,b(),2ab(),22法一: , 12ababab等号成立当且仅当; a,b,即e,2时
22a,b2abe,e,,,2,等号成立当且仅当 a,b,即e,2时12abab
11,,1,法二:不妨设,则问题相当于:求、的最小值。 x,yxye,x,1,e,y,11222xy
11112xy,212由均值不等式得: ,? ,等号成立,当且仅当,,,,,2222xyxyxy
a,b, ,即 ,进而推出 即而 x,ye,e,2时。e,e1212
222222 ,? ,等号成立,x,y,22(x,y),x,y,2xy,xy,2xy,2,2,2,8
112222,,1,当且仅当(由去分母可得:) e,e,2时。x,y,xy1222xy
22xy5. 设双曲线,,1的一条准线与两条渐近线交于A、B两点,相应的焦点为F,若以22ab
AB为直径的圆恰过点F,则双曲线的离心率为_________。
22aabaA,(,)设一准线为 ,则,AB与X轴交点为H,则由题设可得:ΔAHF为等xccc
2abaAH,HFc,,腰直角三角形,?,即 ,? a,b,?e,2cc
6. 已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A、B,这条准线的相应焦点为F,如果?ABF
是等边三角形,则双曲线的离心率为 _________(2)
ab
AH100c,AHF,30,如6题图,易知 ,tan30, ,,b,3a,e,22FHa3c,c
3557( 双曲线的两条渐近线的夹角为2arctan则双曲线的离心率是_______.( or ) 344
2239535bc,aa,,,,,e,或,,e,依题有: 2416443aba
22xya,0,b,0A(a,0)、B(0,b),,18(双曲线 ( )的右焦点到过点的直线的距F222ab
离等于双曲线虚半轴长的一半,则双曲线的离心率e等于________ (e =2 )
xybx,ay,ab,0直线AB方程:,即,, ,,1,(a,0,b,0)F(c,0)2ab
bc,abc,a1bc,2a,e,2 ,,, ,222c2b,a
22xy9. 双曲线,,1(0
0,b>0)的右焦点F作双曲线C中斜率大于零的渐近线22ab
A 的垂线L,设L交C的左右两支于A、B两点。 y ?求双曲线C的离心率e的取值范围.
?若垂足为H,求证:H在双曲线的右准线上。 H
B ?若|AH|=3|HB|,求离心率的值。 ex O F 解:?所给双曲线C的斜率大于零的渐近线方程为
b,故可设直线L的方程为 y,x,即bx,ay,0a
ax,by,m,0.又L过焦点F(c,0),? m,,ac
ax,by,ac,0?L的方程为
22xy联立 ,,1 22ab
ax,by,ac,0 ,
44242224消去y,得: (b,a)x,2acx,a(ac,b),0
2224,a(ac,b)xx,,0因L与C左右支各交于一点A、B,则 1244b,a
442222b,a,0b,a,0?,? ,即 c,2a,0,?e,2
2aabax,by,ac,0bx,ay,0P(,)? 联立 L方程 : 与渐近线方程:得, cc
2a,?P点在右准线 上 xc
2x,3xa12AH,3HB,,,3? ?,?点,分AB所成的比 ,? c1,3
2a4xx ?„„„„„„(1), ,3,12c
42ac又 x,x, „„„„(2), 1244a,b
由(1)、(2)解得
222222a(a,2b)a(a,2b)x, , x, 122222c(a,b)c(a,b)
44422242224a(ac,b)a(a,4b)a(ac,b)又 ,? xx,,1244222244a,bc(a,b)a,b
2c2222222b,4ac,a,b,5a,?e,,5,e,5化简得:,? 2a