求双曲线离心率举例

求双曲线离心率举例 双曲线的离心率 22xy1. 若双曲线,,1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则其离心率等于_______ 22ab 22xy，ABF,90:,2(双曲线,,1左顶点、右焦点分别是A、F，点B坐标是(0，b)，若 22ab 则双曲线的离心率是________ 22xy3(已知F、F是双曲线,,1的两个焦点，AB是经过焦点F且垂直于x轴的双曲线12122ab 的弦，若?AFB=90º，则双曲线的离心率为__________ 2 2222xyyx4(双曲线,,1的离心率为，双曲线,,1的离心率为，则 ee122222abba 11，, ______ ;的最小值为_______;的最小值为_____ e，ee,e121222ee12 22xy5(设双曲线,,1的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以22ab 为直径的圆恰过点F，则双曲线的离心率为_________ AB 6(已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A、B，这条准线的相应焦点为F，如果 ,ABF 是等边三角形，则双曲线的离心率为 _________ 247(双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为，则双曲线的离心率是_______. 7 22xya,0,b,0A(a,0)、B(0,b),,18. 双曲线 ( )的右焦点到过点的直线的距 F222ab 离等于双曲线虚半轴长的一半，则双曲线的离心率为________ 22xy(,0),(0,)ab0,,abl,,19. 双曲线()的半焦距为，直线过点两点，已知原c22ab 3cl点到直线的距离为，那么双曲线的离心率是_______ 4 //10(椭圆和双曲线有相同的中心和准线，椭圆焦点F、F三等分以双曲线焦点为端FF、12 12 /e点的线段，则双曲线的离心率与椭圆的离心率的比值是________ e 22xy060a,0,b,011(已知双曲线,,1 ( )的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的22ab 直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是_______ 22xyAb(0,)12(已知分别是双曲线,,1的左右焦点，，直线与双曲线的两条FAF,F11222ab PQ,PQFFFM,渐近线相交于两点，线段的中垂线与轴相交于，若，则Mx122双曲线的离心率是( ) 63A、 B、 C、 D、 2322 22xy13(双曲线,,1的两焦点是F、F，以FF为边作等边三角形，若双曲线恰好平分121222ab 三角形的另两边，求双曲线的离心率。 22xy,,100ab,，,14(己知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点，且，，22ab M1,3BD的中点为，求双曲线C的离心率; ，， ABCDAB,2CD15(如图，在梯形中，，，双曲线过C、D、E三点，且以A、AE,,EC 23B为焦点。当时，求双曲线离心率的取值范围 。 ,,,e34C D E A B 22xy,,,,1(0,0)ab16(过双曲线C:的右焦点F作双曲线C中斜率大于零的渐近线的22ab 垂线l，设l交C的左右两支于A、B两点。 A y ?求双曲线C的离心率的取值范围; e ?若垂足为，求证:在双曲线的右准线上; HHH 3?若||=||，求双曲线C离心率的值。 AHHBeB x O F 解答 一、填空题 22xy1. 已知双曲线,,1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则其离心率等于___ 22ab 22222224b,a，2ac，c2b,a，c， 4(c,a),a，2ac，c 52223c,2ac,5a,03e,2e,5,0(e，1)(3e,5),0 ，，取。 e,3 22xy2( 双曲线,,1的左顶点和右焦点分别是A、F，点B的坐标是(0，b)，若22ab ，ABF,90:,则双曲线的离心率是________ 2222b,acc,a，b由或由勾股定理可得:，代入，得:K,K,,1ABBF 5，12222c,ac,a,0ae,e,1,0e,1,解得e,，两边同除以，得:。 2 22xy3. 已知F、F是双曲线,,1的两个焦点，AB是经过焦点F且垂直于x轴的双曲线12122ab 的弦，若?AFB=90º，则双曲线的离心率为__________. 2 22bb2AF,FFA(,c,),2c,b,2ac易知:AB为通径，。令，则 ，112aa222222 c,a，b,a，2ac,化为:e,2e,1,0,(e,1),2,e,2，1 2222xyyx,,1,,14. 双曲线的离心率为e,双曲线的离心率为e, 则 122222abba 11，, ____1____, e+e 的最小值为 . e?e的最小值为__2 . 22121222ee12 2222abab，，11e,,e,，,由双曲线离心率定义知: , 故有1. 1222abee12 11a，b2ab2222e，e,a，b(，),a，b(),2ab(),22法一: ， 12ababab等号成立当且仅当; a,b,即e,2时 22a，b2abe,e,,,2，等号成立当且仅当 a,b,即e,2时12abab 11，,1,法二:不妨设，则问题相当于:求、的最小值。 x，yxye,x,1,e,y,11222xy 11112xy,212由均值不等式得: ，? ，等号成立，当且仅当,，,,,2222xyxyxy a,b, ，即 ，进而推出 即而 x,ye,e,2时。e,e1212 222222 ，? ，等号成立，x，y,22(x，y),x，y，2xy,xy，2xy,2，2,2,8 112222，,1,当且仅当(由去分母可得:) e,e,2时。x，y,xy1222xy 22xy5. 设双曲线,,1的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以22ab AB为直径的圆恰过点F，则双曲线的离心率为_________。 22aabaA,(,)设一准线为 ，则，AB与X轴交点为H，则由题设可得:ΔAHF为等xccc 2abaAH,HFc,,腰直角三角形，?,即 ，? a,b,？e,2cc 6. 已知双曲线的一条准线与渐近线的交点为A、B，这条准线的相应焦点为F，如果?ABF 是等边三角形，则双曲线的离心率为 _________(2) ab AH100c，AHF,30,如6题图，易知 ，tan30， ,,b,3a,e,22FHa3c,c 3557( 双曲线的两条渐近线的夹角为2arctan则双曲线的离心率是_______.( or ) 344 2239535bc,aa,,,,,e,或,,e,依题有: 2416443aba 22xya,0,b,0A(a,0)、B(0,b),,18(双曲线 ( )的右焦点到过点的直线的距F222ab 离等于双曲线虚半轴长的一半，则双曲线的离心率e等于________ (e =2 ) xybx，ay,ab,0直线AB方程:，即，， ，,1,(a,0,b,0)F(c,0)2ab bc,abc,a1bc,2a,e,2 ，,， ,222c2b，a 22xy9. 双曲线,,1(00,b>0)的右焦点F作双曲线C中斜率大于零的渐近线22ab A 的垂线L，设L交C的左右两支于A、B两点。 y ?求双曲线C的离心率e的取值范围. ?若垂足为H，求证:H在双曲线的右准线上。 H B ?若|AH|=3|HB|，求离心率的值。 ex O F 解:?所给双曲线C的斜率大于零的渐近线方程为 b，故可设直线L的方程为 y,x,即bx,ay,0a ax，by，m,0.又L过焦点F(c，0)，? m,,ac ax，by,ac,0?L的方程为 22xy联立 ,,1 22ab ax，by,ac,0 ， 44242224消去y，得: (b,a)x，2acx,a(ac，b),0 2224,a(ac，b)xx,,0因L与C左右支各交于一点A、B，则 1244b,a 442222b,a,0b,a,0?，? ，即 c,2a,0,？e,2 2aabax，by,ac,0bx,ay,0P(,)? 联立 L方程 : 与渐近线方程:得， cc 2a,?P点在右准线 上 xc 2x，3xa12AH,3HB,,,3? ?，?点,分AB所成的比 ，? c1，3 2a4xx ?„„„„„„(1)， ，3,12c 42ac又 x，x, „„„„(2), 1244a,b 由(1)、(2)解得 222222a(a，2b)a(a,2b)x, ， x, 122222c(a,b)c(a,b) 44422242224a(ac，b)a(a,4b)a(ac，b)又 ，? xx,,1244222244a,bc(a,b)a,b 2c2222222b,4ac,a，b,5a,？e,,5,e,5化简得:，? 2a