“牟合方盖”与中国古代球体积精确公式的探索

“牟合方盖”与中国古代球体积精确公式的探索 “牟合方盖”与中国古代球体积精确公式的 探索 2010年第7期中学数学研究45 “牟合方盖”与中国古代球体积精确公式的探索 陕西师范大学数学与信息科学学院(西安,710062)胡小妮 球体作为一种完美的几何体,不仅在天文学上 绽放着迷人的魅力,其本身蕴含的数学奥秘也吸引 数学家们孜孜以求地探索.其中球体积公式的推导 就历经了数学史上许多大数学家的不懈探求.在中 国古代数学史上,从古代最重要的一部数学经典 《九章算术》中错误的球体积公式V=的记载, 到东汉科学家张衡的V=?,再到数学家刘徽发 现错误并创造”牟合方盖”巧妙地给出计算球体积 的正确思路,最后在祖咂的努力下诞生出了如今广 为人知的球体积计算公式=?7rr,历经了四个多 世纪,这个古代几何学上的难题终于得到了解决. 1刘徽和古代几种错误的球体积公式的发现 据史料研究…,刘徽,中国古代数学家,魏,晋 间人,刘徽有两部传世着作,即《九章算术注》(简称 《九章注》)和《海岛算经》.在重实用轻理论的中国 古代数学界,刘徽可谓一位伟大的数学理论家,他潜 心研究《九章算术》并为其撰写注释文字.在理论 上,它创造了许多数学原理,严格证明,并应用于各 种算法中,从而形成了中国传统数学理论体系.他以 严肃,认真客观的精神,判别粗糙,错误的论述,创造 精细,正确的算法,以理服人,为后人树立了良好的 榜样和学风. 刘徽在在公元263年前后为《九章算术》作注 解时发现了V=球体积公式的错误.《九章算 术》卷四《少广》章第23,24题”开立圆术日:置积尺 数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸 径.”“立圆”“丸”都是占代对球体的称谓.开立圆 术就是通过已知球体积求出其直径的算法,即球径 : ,由此反推出球体积计算公式为:V V7 0 = ,d为球直径.刘徽在为其做注时分析了该公 作者系陕西师范大学数学与信息科学学院O8级研究生 式的不精确性. 东汉时期着名科学家张衡(78—139)也给出了 一 个球体积计算公式V=?,其误差比《九章算. 术》中给出的公式更大,刘徽指出张衡在取正方形 和内切圆面积之比时误差太大,批评其是为附会阴 阳奇偶而不顾实际之举_2J. 2刘徽和”牟合方盖” 为了求得球体积的精确公式,刘徽创造性地构 造了”牟合方盖”,巧妙地给出了球体体积计算的新 思路.这种计算球体体积的方法,在数学史上得到了 很高的评价.比如”牟合方盖”被列为世界数学名题 范畴;中国古代数学”关于’牟合方盖’及球体问 题的解决,实可与阿基米德的工作在方法的独创性 和结论的精确性上相媲美”_4J. 2.1”牟合方盖”的构造 “取立方綦八枚,皆令立方一寸,积之为立方二 寸.规之为圆困,径二寸,高二寸.又复横圆之,则其 形有似牟合方盖矣.” 用现代语言描述即:以棱长为一寸的立方体八 枚,合之则是棱长为二寸的立方体.又以过立方体中 之二正圆柱垂直相贯并内切于立方体之相应侧面, 如图1.则二内切于立方体的两垂直相贯的正圆柱 的共同部分,即刘徽所指之”牟合方盖”,如图2.从 语言角度来说,”牟”即相等,”盖”即伞;从外形看, 其像上下相合的两把伞,故取名为”牟合方盖”. 图1图2 2.2”牟合方盖”的功用 46中学数学研究2010年第7期 “牟合方盖”是一种特殊的立体,要发挥它的功 用,我们还必须知道一个原理,即”刘徽原理”.所谓 “刘徽原理”即”同高的两立体,在等高处各作一与 底平行的截面,其截面面积之比为一常数,则此二立 体体积之比也等于这一常数”.I3通过利用”刘徽原 理”可以导出”牟合方盖”和内切于其中的球体的 体积之比.用平面去截”牟合方盖”,”牟合方盖”的 截面是一个正方形,而与内切球的截面则是正方形 的内切圆.不难得到正方形与其内切圆面积之比为 4:7r,进而由”刘徽原理”可知:”牟合方盖”与其内 切球的体积之比为4:7r.即 :=477r 从而,如果能够计算出”牟合方盖”的体积就能 得到球体的体积计算公式.但是到此,刘徽说: “ …… 欲露形措意,惧失正理.敢不阙疑,以俟能言 者……”.刘徽没有给出”牟合方盖”的计算方 法,而是希望能有后来人解决这个问题. 3精确球体积公式的诞生一祖瞻的接力 而这个后来人的出现却是在遥远的200年之 后,他就是中国数学史上着名的祖冲之之子——祖 瞩.祖咂接过了刘徽的”火炬”,最终得到了球体的 体积公式.不过他是在刘徽的研究基础之上,利用 “牟合方盖”以及祖咂原理(对于两个等高立体,若 用平行于底面的任意平面截得的截面面积总相等, 则这个立体的体积也相等)证明了方盖差(立方之 内牟合方盖之外部分)与一个等底等高的正四棱锥 1 体积相等.最终导出了”牟合方盖”的?体积计算公. 式.具体说来:姐咂取了立方体与内切的”牟合方 盖”的来做研究.设在高为h处的一个平面截两个立 体,截面如图3阴影部分所示,与该立方体等底等高 的四棱锥的截面是正方形,其面积是,方盖差上 的截面是拐尺形,其面积计算如下: 图3 在RtAABO中,OB=r(为内接球的半径),AB =r一h,则可以得出 拐形面积=r.一AB=r一(r一h):h,显 然等于正四棱锥截面面积.从而由祖瞩原理可知,正 四棱锥体积与方盖差的体积相等.即方盖差的体积 为?r.从而可知=(F3一__1r)X8:r.再根DDD 据”刘徽原理”,由V牟:=4177”,可得= ?7rr.最终精确的球体积公式诞生了! 4”祖眶原理”与”刘祖原理” 人教版的数学教材在简单几何体的体积知识块 中曾经介绍过”祖咂原理”,但对于其一般j隋形的 “刘徽原理”就不见得有几个人知道了.但是不能否 认的是刘徽所做的贡献,所以许多数学史家认为不 应该将这个原理归功于祖咂一人,而应该将”祖咂 原理”冠名为”刘祖原理”更为妥当.值得一提的 是,西方有个与”刘徽原理”基本一致的原理叫”卡 瓦列里原理”,是由伽利略的学生卡瓦列里得出的, 不过这个要比刘徽整整晚了一千多年. 新课标对于简单儿何体的表面积和体积的计算 公式并没有要求学生掌握推导,甚至对于复杂的体 积公式不要求记忆j.所以一些课本中已经鲜见这 些经典的思想火花了,而是由一些现成的公式就掩 盖了前人的”火热思考”,但是从开拓学生视野和增 强民族自豪感的角度来讲,这不能不说是一种损失 啊!不过对于数学教师来讲,结合教学有意识地从数 学史中挖掘经典,不仅可以弥补些许损失,或许上出 的课会有别样的风味. 参考文献 [1]李仲来主编,中国数学史研究(白尚恕文集)[].北京:北京大 学出版集团.2008年7月. [2]席泽宗,科学技术史:科学思想卷[M].北京:科学出版社,2001. [3]高希尧,数海钩沉世界数学名题选辑[].西安:陕西科学技术 出版,1982. [4](美)H-伊夫斯着.欧阳绛译.数学史概论[M].太原:山西人民 出版社,1986. [5]数学课程标准研制组,普通高中数学课程标准(实验)解读 『M].南京:江苏出版社,2008.8.