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浦东高中暑假补习班浦东新王牌机构 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 浦东高中暑假补习班浦东新王牌数学培训机构 等差数列 知识梳理 1、数差列的概念:如果一个数列从第二项起，_____________________________________, 那么这个数列叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即若(为常数)，a,a,ddn，1n则数列是等差数列，为公差。 d,,an a2、等差中项的概念:如果三个数成等差数列，则叫与的等差中项。容易知道ba,A,bA a，b. 在等差数列中，一定有成立. 2a,a，aA,n，1nn，22 3、等差数列的通项公式:. a,a，(n,1)dn1 (1)()nnna，a,1nn4、等差数列的前项和公式:;. SnadS,,，n1n225、等差数列的有关性质 ,a，a,a，a(1)在等差数列中，如果，那么. m，n,p，q(m,n,p,q,N)mnpq nd,0(2)从函数的角度来讲，如果公差不为零，则其通项是项数的一次函数，且当公差an nn,,d,0,,aa时，是递增的，当公差时，是递减的;前项和是项数的二次函数，Snnn d,0d,0SS且其常数项为零，当时，有最小值，当时，有最大值. nn 基础练习 一、填空 ,,aa,331、在等差数列中，已知，，则 . a,a,5n624 ,,aS,a,2,2n2、数列的通项，则它的前n项和_________________. nnn S,100,S,392S,_________3、设等差数列{a}的前n项和为S，若，则. nn81610 ,,aa，a，a,39a，a，a,27S,4、在等差数列中，已知，，则 . n1473699 a，a，a，？，a,1005、等差数列的公差为，若，则,2123100 1 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 a，a，a，？，a,____.36999 二、选择题 1、已知数列满足，且前3项的和，则等于( ) ,,aS,9a,a，2a3n，1n1n A.5 B.3 C.1 D. ,1 2、已知等差数列中，，则下列为定值的是( ) ,,aa，a,828n A. B. C. D. aaaa3564 3、已知数列的通项，则下列命题正确的是( ) ,,aa,2n,1nn 2?该数列是公差为2的等差数列 ?它的前n项和为 n?与的等差中项是 aaa624 A.仅?正确 B.仅??正确 C.???都正确 D.仅?正确 、等差数列的公差为，下列命题中不正确的是( ) 4d,,an cd2d,,a，aA.为等差数列，公差为 B.为等差数列，公差为 ,,can，1nn ,,112d,,C. a是等差数列，公差为 D.是等差数列，公差为 ,,2nadn,, 题型示例 2,,an例1、(1)已知数列的前项和为S,n，2n，判断此数列是否为等差数列, nn 2,,,,ana(2)若S,an，bn，c的前项和为，则是等差数列吗,证明你的判断. nnn 2 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 例2,,a、等差数列的公差为d，前n项和为，请根据已知条件求相应的未知量: Snn 15(1)，，，求n; d,,a,S,,51n66 (2) 若，且，求正整数k. S,72aa,,182kkk，1 ,,例3、等差数列a的前n和为，已知，. SS,12a,16nn38 (1)求通项及; aSnn ,,a,,,,(2)从中依次取出它的第2项，第四项，，第2n项，组成一个新的数列，求bbnnn？ 的通项及它的前n项和T. n ,,a例4、项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为80，偶数项之和为75，求此数列的中n 间项与项数( 3 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 22d,0例5、在等差数列中，公差，且，求它的前n项和取最大值时的n的,,aSa,ann111 值. ,,2例6.(2017年上海题)已知数列，，存在，使n,Nk,Nx,an，bn，cn 成等差数列的必要条件是( ) x,x,x100，k200，k300，k a,0b,0c,0a,2b，c,0A. B. C. D. 11例7. 已知数列中，，. ,,1a,0,,a1naa1,1,n，1n ,,a(1)求数列的通项; n S,1，，，，，，(2)设b,1,a1,an,2，，证明:. S,b，b，？，bnnnn，1n23n，1 4 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 例8、设等差数列的前n项和为，已知a,12，，. S,0S,0,,aS31312nn (1)求公差的取值范围;(2)指出中哪一个最大，并说明理由. S,S，？,Sd1212 {a}例9. 已知公差大于零的等差数列的前n项和为S，且满足:a,a,117，nn34 a{a}a，a,22((1)求数列的通项公式; nn25 Snb,{b}(2)若数列是等差数列，且，求非零常数c; nnn，c 64bn{b}T2T,3b,(3)若(2)中的的前n项和为，求证: nnnn,1(n，9)bn，1 5 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 bbb，，？，12n例10.数列与满足a，证明:为等差数列的充要条件为,,,,,,,,,ababnnnnnn 是等差数列. 2n,1例11.已知数列是一个首项为1，公差为的等差数列，，求的,,,,ab，，b,,1aannnnn，13 前项和. Snn 6 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 拓展练习 一、填空题 1.等差数列中，，，则公差. ,,aS,6a,8d,______34n 2、等差数列中，若，，则 ,,aS,21a，a,4a,______.2577n 3、等差数列中，若，，则 ,,aa，a，a,105a，a，a,9S,_______.1352466n S5a554、在等差数列中，若，则. ,,a,,_______.n9aS33 aaa，，？，12kb、若数列的通项公式，,，则 5a,4n，1b，b，？，b,_____.,,akn12nnk ,,1001406、一个凸多边形的内角成等差数列，最小值角的度数为，最大角的度数为，则这个凸多边形的边数为____________. S7n,3n,,,,,abSTn7、若与都是等差数列，它们的前项和分别为、，且，则nnnnTn，3na8,_____. b8 二、选择题 a,6Sna,,6,,,,aa1. 在等差数列中，，，的前项和为，则( ) n82nn 7 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 A. B. C. D. S,SS,SS,SS,S454565652、已知等差数列的公差为，且，若其前20项的和，则S,10Md,,d,0,a,daM201n 为( ) A.a，a B. C.a，d D.a，a a，2a51520714210 3、等差数列中，，从第十项起开始为正，则公差d的取值范围是( ) ,,aa,,24n1 888d,3A. B. C. D. ,d,3,d,3d,333 4、等差数列的前项和为，若，则下列结论: {}aSnSSS,,nn786 ?，?，? )( a,0a,0S,0其中正确的结论有( 7813. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 三、解答题 、一个等差数列前三项的和为34，后三项的和为146，所有项的和为390，求这个数列的1 项数n. 2,,a2、在数列,,中，它的前n项和，求数列的前n项和. aTS,6n,nnnnn 8 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 3x3、已知函数数列满足条件 a,f(a)(a,0).,,f(x),,an，1n1nx，3 ,,1(1)求证:数列是等差数列; ,,an,, 1(2)若，求通项. aa,n14 4、已知等差数列的前项和为. ,,aSnnn 32d,1k(1)若a,，公差，求满足的正整数; ，，S,S21kk2 2k(2)是否存在无穷等差数列，使得对一切正整数，都有成立,若存在，,,，，aS,S2nkk ;若不存在，说明理由. 求出所有的,,an 2a，1,,nnn5、设正项数列的前项的和为，且，求的通项，并求其前项,,S,,,aSa,,nnnn2,, S的和. n 9 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 ,6、已知数列与满足，. ,,n,Nb，，a,a,2b,b,,annn，1nn，1n (1)若，且，求的通项公式; b,3n，5a,1,,an1n ,(2)设的第项是最大项，即.求证:的第项是最大项. ，，a,an,N,,nbn,,a0n0nnn0 a,,A7(aaa,,,？aa,,？nnnn12nnn，，12 记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项 BbAB,,nnnn的最小项为，令( 2bb、ann,,，21ab (1)若数列的通项公式为，写出，并求数列的通项公,,,,12nnn式; abaa, (2)若数列递增，且是等差数列，求证:为等差数列. ,,,,,,nnnn，1 10 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 练习参考答案 一、填空题 n152d,11、;2、9;3、114;4、;5、;6【析】;，，，，100，140,n,2180,n,6n，4n112 175、. 3 二、选择题 13，，1、B;2、D;3、D;4、B【析】，，？S,a，a,13a,0. ？S,S,S？a,0,a,0131137786782三、解答题 a，a，a,34,n1231.，，则，，S,a，a,390，，,3a，a,180,a，a,60,n1n11nn2a，a，a,146nn,1n,2, n,13.. n,1n,2n,12、时，，时，，适合，则. a,S,S,,2n，7a,,2n，7a,S,5nnn,1n11 n2n,3n,4时，，，;时，，，，a,aT,5，7,2n,6n,na,0a,0nnnnn2 n2， ，，，，，，T,T,a，a，？，a,2T,a，a，？，a,2，9,5，7,2n,18,n，6nnnn3453122 2,6n,nn,3，，,. ？T,,n2,，，18,n，6nn,4, 111,，3.(1)，是等差数列; ,,anaa3n，1n 11n，113,4，n,1,，，(2)由(1)知， ？a,.na33n，11n 2223nn,1，，3kk,13kk,1，，，，，，2S,n，4.(1)，，解得k=4. ？k，,k，n,,222222，， 2242224322(2)设，， S,an，bn，，ak，bk,ak，bk,ak，2abk，bkn 2,a,aa,0a,1a,0,,,,或或20，解得， ab,,,,,b,0b,0b,1,,,,2b,b, 2a，1,,15、。 a,S,,a,1,,1112,, 11 方Y高二暑假数学 小班:新王牌 22，1，1aa,,,,nn,1时，。 ，，，，,a，aa,a,2,0n,2,,a,,,,nn,1nn,1n22,,,, 2若，，为等差数列，则. ,,aa,0a,a,2a,2n,1,S,nnnnnnn,1 4.(1)，，是等差数列，. ,,a，，？b,b,3？a,a,6？a,1，6n,1,6n,5nn，1nn，1nn(2)，则是常数列，，,,a,2b,a,2ba,2ba,2b,a,2bnnnn11n，1n，1nn ，，则，， ？a,a？b,b2b，a,2b,2b，a,2ba,2b，a,2bnnn11n11nnnn11000 的第项是最大项. ,,bnn0 aaa,,,2,7,16a5.因为数列单调递增，， ,,123n b,,,,275b,,,,7169 所以; 12 baan,,,,,41n,3 当时， nnn，1 baan,,,,,41b 数列的通项公式 ,,nnn，1n ,aaa,aaaa,,,,,？？d(2)数列递增，即，令数列公差为 ,,,,nnn，1123n bABaabaa,,,,,,, nnnnnnnn，，，，1112 ,bbaaaa,,,,,()(),,,,,,,()()aaaad ,,nnnnnn，，，，1121nnnn，，，211 b所以为等差数列. ,,n 12