论文:正比例和反比例的意义
正比例和反比例的意义
执教人:望京新城南湖中园
张胜利
教学内容:北京市义务教育课程改革实验教材 第12册 P52—P56
教学目标:
1(通过对具体情境中数量关系的分析,使学生明白数量之间存在一定关系,进而理解正、
反比例的意义,并能进行简单判断。
2(通过对具体情境中数量的分析,培养学生观察、比较、分析、抽象、概括能力,以及判断推理能力。
4(使学生进一步受到事物是相互联系的、对立统一的辩证唯物主义观点的启蒙教育,初步渗透函数思想。
教学重点:
正确理解正、反比例的意义。
教学难点:
建立正、反比例意义的概念。
教学准备:
表格
教学过程:
一、 提供素材,感受相关联的两种量的变化趋势:
1(借助课件演示,体会宽不变,长与面积的变化趋势。
(1)师:前些天我们学习了比和比例的一些知识,今天运用比和比例的知识进一步研究数
量关系。
(2)课件演示:看屏幕,网格中每个方格是1平方厘 米。
仔细观察, 长是几,面积是几,填在表一 中。
(一名学生在黑板上填写)
继续观察,把表格填写完整。
表一:
长(厘米) ……
面积(平方厘米) ……
(3)提问:通过对图形的观察和填表,你能发现点什么,
预设:长变大了,面积也变大了。
1
(4)结合表中数据,你能具体说说吗,
长不断扩大2倍,面积也不断扩大2倍。
(5)长不断扩大,面积就不断扩大吗,/长扩大几倍,面积就一定扩大几倍吗,
预设:在宽一定的情况下。/宽不变的情况下。
(6)谁能完整地说说刚才是怎么变化的,有什么特点,
预设:在宽不变的情况下,长扩大几倍,面积也随着扩大几倍。 (7)那你的意思是说,面积随着长的不断变化而变化。我们就用这样的箭头表示他们的变
化趋势。(加手势)
(8)如果从这边看呢,(手势从右往左指)
(在宽不变的情况下,长缩小几倍,面积也随着缩小几倍。)
(9)刚才你们说宽不变,你们能把发现的规律,用关系式表示出来吗,在纸上写写。
(板书:宽 不变)
板书: 面积/长=宽(不变)
预设:如果出现:长×宽=面积 追问:刚才你们说宽不变,我怎么看不出宽不变
呀,
2(借助课件演示,体会面积不变,长与宽的变化。
(1)过渡:变是看的见的,而不变是我们发现的,刚刚我们正是在这种变与不变的探索中发
现的规律。下面我们继续看大屏幕。
(2)课件演示:请大家再仔细观察,把你这回看到的填在表二中。谁愿意到黑板上来填。 表二:
宽(厘米) ……
长(厘米) ……
(3)提问:这次你又发现了怎样的变化,有什么特点,
(长缩小,宽反而扩大。)
(4)结合表中数据,你能具体说说吗,
预设:长缩小几倍,宽反而扩大几倍。
(5)长缩小几倍,宽就一定扩大几倍吗,(面积不变)
(6)谁能完整地说说刚才是怎么变化的,有什么特点,
(面积不变的情况下,长扩大几倍,宽反而缩小几倍。)
(7)如果从这边看呢,
预设:面积不变的情况下,长缩小几倍,宽反而扩大几倍。
(8)你能把观察到的趋势,在表中画出来吗,(一人画到黑板上)
(9)现在你还能把你们发现的规律像这样(指表一)用关系式在纸上表示出来吗,赶紧写写。
(贴黑板上)
2
板书: 长×宽 =面积(不变)
3(简单小结,梳理
。
师:刚才我们研究了2个表格,发现一个量变化,另一个量也变化,但是他们的变化趋势
却不一样。一会儿老师还有4个不完整的表格给大家,还要用研究这2个表格的方法
继续研究。
提问:大家回想一下,我们刚才是怎样对这两个表格进行研究的,
(教师边指着表格别按照下面的提示语进行,这时语速要慢。) 二、深化相两种关联的量之间的变化规律,揭示相关联的量的含义。 (一)出示自学提示,提出合作要求:
1(师:拿出手中的这张纸,边填表边思考:[课件出示]
自学提示:?表中反映了哪几个数量,
?哪些数量变化了,怎么变的,
?为什么会有这样的变化,
?用箭头表示他们的变化趋势。
?怎样用关系式表示这种变化。
2(提出要求:总共4个表格呢,请组长分配好每个组员的学习任务,然后结合自学提示
好好研究研究,看哪个小组能完成的最好,开始吧。 (二)小组合作,探究规律:
(三)汇报交流,研讨表格数量关系:
1(表三:一辆车行驶同一段路,速度和时间变化情况表 速度 5 10 40 ……
(千米/时)
4 1 ……
时间(时) 0.5
(纸条贴黑板上,小组结合实投的表格汇报)
(1)你根据什么填的表,(路程不变)
板书:不变
监控:你是从哪看出路程不变的呢,
(2)在路程不变的前提下,速度和时间之间有什么关系,
预设:速度变化时间也随着变化;
监控:在路程不变的情况下,速度和时间有什么变化规律,
(在路程不变的前提下,速度扩大或缩小多少倍,时间反而缩小或扩大多少倍。)
怎样用关系式表示这种变化规律,
板书: 速度×时间=路程(不变)
3
(3)师:在路程不变的前提下,速度和时间之间有着密切的联系,是不是任意两种量都有这
样的特点呢,接下来我们继续研究。
2(表四:六(1)班上周出勤人数和缺勤人数变化情况表 出勤人数29 27 25 20 ……
(人)
缺勤人数1 3 6 10 ……
(人)
(1)你根据什么填的表,
预设:总人数不变。 板书:不变
监控:你是从哪看出总人数不变的呢,
(2)在总人数不变的前提下,出勤人数和缺勤人数之间有什么关系,
出勤人数变化缺勤人数也随着变化;
监控:在总人数不变的情况下,出勤人数和缺勤人数有什么变化规律,
(在总人数不变的前提下,出勤人数不断减少,缺勤人数不断增加。)
怎样用关系式表示这种变化规律,
板书:出勤人数+缺勤人数 =总人数(不变) 3(表五:购买同一种布,数量和总价变化情况表
数量(米) 1 4 8 ……
总价(元) 4 8 16 32 ……
(1)你根据什么填的表,
预设:单价不变。(板书:不变)
监控:你是怎么知道单价不变的呢,
(2)在单价不变的前提下,总价和数量之间有什么关系,
数量变化总价也随着变化;
在单价不变的前提下,数量扩大或缩小相同的倍数,总价也扩大或缩小相同的倍数。
4
板书:总价/数量=单价(不变)
4(表六:小明的年龄与他父亲的年龄变化情况表
小明(岁) 5 7 8 ……
父亲(岁) 30 31 33 ……
(1)你根据什么填的表,
预设:年龄差不变。(板书:不变)
监控:你是怎么知道年龄差不变的,
(2)在年龄差不变的前提下,小明年龄和父亲年龄之间有什么关系, 小明年龄变化父亲年龄也随着变化;
在年龄差不变的前提下,小明年龄和父亲年龄不断增长。
板书:父亲年龄―小明年龄=年龄差
5(整体观察,明确概念:
(1)提问:刚才我们研究了这么多组数量,每组中的两种量,都有什么特点, (2)师:像这样一种量变化另一种量也随着变化,具备这个规律的两种量叫两种相关联的
量。什么是两种相关联的量,
(3)小结:
刚才我们研究了两种相关联的量,一种量变化另一种量也随着发生变化,那它们
在变化的过程中有什么特点,接下来我们深入的研究一下。
三、深入探讨两种相关联的量的变化规律,揭示正、反比例的意义。
(一)揭示正比例的意义。
1(小组合作,尝试分类:
(1)提出要求:前面6组量都是一种量变化,另一种量也随着变化,那它们的变化趋势一
样吗,你们能给它们分分类吗,小组合作试着分一分。 (2)小组合作,进行分类:(表一、表五和表六为一类;表二、表三和表四为另一类。) (3)汇报交流:
监控:你是怎么分的,怎么想到这样分的,
2(再次分类,体会正比例关系:
这组的变化特点完全一样吗,有什么区别,你能根据变化特点的不同再来分分类吗, 3(揭示正比例概念:
(1)这组中的两种量有什么共同特点,
(2)小结:
师:像这样两种相关联的量,像表一中的两种量长和面积,一种量变化另一种量也随
着变化;通过计算这两种量相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量
5
就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。(板书)
师:如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的比值(不变),正比例的
关系我们可以这样表示:x/y=k(不变) (板书)
4(通过前面的研究你能说说哪两种量成正比例吗,
(二)揭示反比例的意义。
1(我们再来看看这组,他们有什么共同特点,有什么区别,
2(怎样分类,
3(这组有什么特点,
小结:结合刚才我们
正比例的经验,你有什么想法,(学生试着说)
师:像这样两种相关联的量,就像表二中的宽和长,一种量变化另一种量也随着变化;
并且这两种量相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关
系叫做反比例关系。(板书)
师:如果用字母x和y表示两种相关联的量,用k表示它们的积(不变),反比例的关系
我们可以这样表示:xy=k(不变) (板书)
4(通过前面的研究你能说说哪两种量成反比例吗,
5(这些既不成正比例也不成反比例的量,我们说它们不成比例。这几组量为什么不成比例, 小结:
刚刚我们一起研究了正、反比例的意义,分析了两种量变化的特点,下面我们来应用所学的知识来解决一些问
。
四、辨析理解深化正、反比例的意义。
1(正方形的边长和面积的变化情况表
边长(米) 1 2 3 4 … …
面积(平方米) 1 4 9 16 … …
路程(千米) (1) 认真观察,边长和面积这两种量有什么关系,
600 (2) 你们认为它们是什么比例关系,
500 (3) 不成比例。 400
预设:尽管他们的变化趋势都是一致的,但也是有所区别的。 300
200 比值不一样,乘积也不一样。不成比例。
100
0
过渡:其时正、反比例我们还可以用图象来表示它们的变化。
2 4 6 8 10 12 2(课件演示,了解正比例图像: 时间(时) 师:图中路程和时间是两种相关联的量,成正比例关系。横轴表示时间,纵轴表示路程。。
(学生找出两种量对应的两个数的点,课件描点出图像)
6
3(那你们想想要是成反比例关系图像长什么样儿呢,
出示反比例图像。
五、全课总结:
今天我们一起研究了正、反比例的意义,探讨了两种数量的变化趋势和变化规律。通过今天的研究你有什么收获,
板书:
正、反比例的意义
相关联的量
正比例关系 反比例关系 长(厘米)
总价/数量=单价(不变) 长×宽=面积 (不变) 面积(平方厘米)
面积/ 长=宽 (不变) 速度×时间=路程(不变)
y/x=k (不变) xy=k (不变) 宽(厘米)
长(厘米)
不成比例
出勤人数,缺勤人数=总人数(不变)
父亲年龄-小明年龄=年龄差(不变)
7
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