椭圆四:面积问题椭圆四:有关面积问题
1.(2010一模)海淀
19.(本小题满分13分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,且,点(1,)
在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过的直线与椭圆相交于两点,且的面积为,求以为圆心
且与直线相切的圆的方程.
答案:
19.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,由题意可得:
椭圆C两焦点坐标分别为,. .……………1分
. .……………3分
又 , ...
椭圆四:有关面积问
1.(2010一模)海淀
19.(本小题满分13分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在轴上,左右焦点分别为,且,点(1,)
在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过的直线与椭圆相交于两点,且的面积为,求以为圆心
且与直线相切的圆的方程.
答案:
19.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为,由题意可得:
椭圆C两焦点坐标分别为,. .……………1分
. .……………3分
又 , ……………4分
故椭圆的方程为. .……………5分
(Ⅱ)当直线轴,计算得到:,
,不符合题意. .……………6分
当直线与轴不垂直时,设直线的方程为:,
由,消去y得 , .……………7分
显然成立,设,
则 .……………8分
又
即 , .……………9分
又圆的半径 .……………10分
所以
化简,得,
即,解得
所以,, .……………12分
故圆的方程为:. .……………13分
(Ⅱ)另解:设直线的方程为 ,
由,消去x得 ,恒成立,
设,则 ……………8分
所以
.……………9分
又圆的半径为, .……………10分
所以
,解得,
所以, ……………12分
故圆的方程为:. .……………13分
2.朝阳(2011一模理)
19.(本小题满分14分)
已知,为椭圆的左、右顶点,为其右焦点,是椭圆上异于,的动点,且面积的最大值为.
(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率;
(Ⅱ)直线与椭圆在点处的切线交于点,当直线绕点转动时,试判断以
为直径的圆与直线的位置关系,并加以证明.
答案:19.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由题意可设椭圆的方程为,.
由题意知
解得,.
故椭圆的方程为,离心率为.……6分
(Ⅱ)以为直径的圆与直线相切.
证明如下:由题意可设直线的方程为.
则点坐标为,中点的坐标为.
由得.
设点的坐标为,则.
所以,. ……………………………10分
因为点坐标为,
当时,点的坐标为,点的坐标为.
直线轴,此时以为直径的圆与直线相切.
当时,则直线的斜率.
所以直线的方程为.
点到直线的距离.
又因为 ,所以.
故以为直径的圆与直线相切.
综上得,当直线绕点转动时,以为直径的圆与直线相切.………14分
3.(2011顺义二模理19). (本小题满分14分)
已知椭圆C的左,右焦点坐标分别为,离心率是。椭圆C的左,右顶点分别记为A,B。点S是椭圆C上位于轴上方的动点,直线AS,BS与直线分别交于M,N两点。
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 求线段MN长度的最小值;
(3) 当线段MN的长度最小时,在椭圆C上的T满足:的面积为。试确定点T的个数。
解(1)因为,且,所以
所以椭圆C的方程为 …………………………………………….3分
(2 ) 易知椭圆C的左,右顶点坐标为,直线AS的斜率显然存在,且
故可设直线AS的方程为,从而
由得
设,则,得
从而,即
又,故直线BS的方程为
由得,所以
故
又,所以
当且仅当时,即时等号成立
所以时,线段MN的长度取最小值 ………………………………..9分
(3)由(2)知,当线段MN的长度取最小值时,
此时AS的方程为,,
O
所以,要使的面积为,
只需点T到直线AS的距离等于,
所以点T在平行于AS且与AS距离等于的直线上
设,则由,解得
1 当时,由得
由于,故直线与椭圆C有两个不同交点
②时,由得
由于,故直线与椭圆C没有交点
综上所求点T的个数是2. …
4.(2010寒假)东城
19.(本小题满分13分)
已知椭圆的中心在原点,一个焦点,且长轴长与短轴长的比是.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若椭圆在第一象限的一点的横坐标为,过点作倾斜角互补的两条不同的直线,分别交椭圆于另外两点,,求证:直线的斜率为定值;
(Ⅲ)求面积的最大值.
答案:
19.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)设椭圆的方程为.
由题意 ………………………………………………2分
解得 ,.
所以椭圆的方程为.………………………………………………4分
(Ⅱ)由题意知,两直线,的斜率必存在,设的斜率为,
则的直线方程为.
由得
.………………6分
设,,则
,
同理可得,
则,.
所以直线的斜率为定值. ……………………………………8分
(Ⅲ)设的直线方程为.
由得.
由,得.……………………………………10分
此时,.
到的距离为,
则
.
因为使判别式大于零,
所以当且仅当时取等号,
所以面积的最大值为.………………………………………………………13分
5. (2010一模)石景山
19.(本题满分14分)
已知椭圆的离心率为,长轴长为,直线交椭圆于不同的两点A、B。
(1)求椭圆的方程;
(2)求的值(O点为坐标原点);
(3)若坐标原点O到直线的距离为,求面积的最大值。
答案:
19.(本题满分14分)
解:(1)设椭圆的半焦距为c,
依题意
解得
由 2分
所求椭圆方程为 3分
(2)
设,
其坐标满足方程
消去并整理得
4分
则(*) 5分
故 6分
经检验满足式(*)式 8分
(3)由已知,
可得 9分
将代入椭圆方程,整理得
10分
11分
12分
当且仅当,
即时等号成立,
经检验,满足(*)式
当时,
综上可知13分
当|AB最大时,的面积最大值 14分
6.海淀(2011寒假)
19. (本小题满分14分)
已知点在抛物线上,点到抛物线的焦点F的距离为2,直线与抛物线交于两点.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)若以为直径的圆与轴相切,求该圆的方程;
(Ⅲ)若直线与轴负半轴相交,求面积的最大值.
答案:
19. (共14分)
解:(Ⅰ)抛物线 的准线为, .....................................1分
由抛物线定义和已知条件可知,
解得,故所求抛物线方程为. ......................................3分
(Ⅱ)联立,消并化简整理得.
依题意应有,解得. ..............................................4分
设,则, .............................................5分
设圆心,则应有.
因为以为直径的圆与轴相切,得到圆半径为, ........................6分
又
.
所以 , .........................................7分
解得. .........................................8分
所以,所以圆心为.
故所求圆的方程为. ............................................9分
方法二:
联立,消掉并化简整理得,
依题意应有,解得. ............................................4分
设,则 . .............................................5分
设圆心,则应有,
因为以为直径的圆与轴相切,得到圆半径为. .....................................6分
又
,
又,所以有, .............................................7分
解得, ..............................................8分
所以,所以圆心为.
故所求圆的方程为. .............................................9分
(Ⅲ)因为直线与轴负半轴相交,所以,
又与抛物线交于两点,由(Ⅱ)知,所以,...........................................10分
直线:整理得,
点到直线的距离 , .................................................11分
所以. ..................................................12分
令,,
,
+
0
-
极大
由上
可得最大值为 . ...............................................13分
所以当时,的面积取得最大值 . ...............................................14分
7.东城(2011一模理)
(19) (本小题共13分)
已知椭圆的离心率为,且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点.斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于,两点,线段的垂直平分线与轴相交于点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求的取值范围;
(Ⅲ)试用表示△的面积,并求面积的最大值.
答案:(19)(共13分)
解:(Ⅰ)依题意可得,,,
又,
可得.
所以椭圆方程为.
(Ⅱ)设直线的方程为,
由可得.
设,
则,.
可得.
设线段中点为,则点的坐标为,
由题意有,
可得.
可得,
又,
所以.
(Ⅲ)设椭圆上焦点为,
则.
,
由,可得.
所以.
又,
所以.
所以△的面积为().
设,
则.
可知在区间单调递增,在区间单调递减.
所以,当时,有最大值.
所以,当时,△的面积有最大值.
8.(2011西城二模理19.)(本小题满分14分)
已知椭圆的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,且以为直径的圆过椭圆的右顶点,
求面积的最大值.
解:(Ⅰ)因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为,
所以, ……………1分
又椭圆的离心率为,即,所以, ………………2分
所以,. ………………4分
所以,椭圆的方程为. ………………5分
(Ⅱ)方法一:不妨设的方程,则的方程为.
由得, ………………6分
设,,
因为,所以, ………………7分
同理可得, ………………8分
所以,, ………………10分
, ………………12分
设,
则, ………………13分
当且仅当时取等号,
所以面积的最大值为. ………………14分
方法二:不妨设直线的方程.
由 消去得, ………………6分
设,,
则有,. ① ………………7分
因为以为直径的圆过点,所以 .
由 ,
得 . ………………8分
将代入上式,
得 .
将 ① 代入上式,解得 或(舍). ………………10分
所以(此时直线经过定点,与椭圆有两个交点),
所以
. ……………12分
设,
则.
所以当时,取得最大值.
9.(2010寒假)崇文
(19)(本小题共14分)
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于,两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当直线的斜率为1时,求的面积;
(Ⅲ)在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形?
若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案:
19)(共14分)
解:(Ⅰ)由已知,椭圆方程可设为. ----------------1分
∵ 两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为2,
∴ .
所求椭圆方程为. ---------------- 4分
(Ⅱ)右焦点,直线的方程为.
设,
由 得 ,解得 .
∴ . ----------------9分
(Ⅲ)假设在线段上存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与轴不垂直,所以设直线的方程为.
由 可得.
∴.
.其中
以为邻边的平行四边形是菱形
.
∴. ----------------1 4分
10.丰台18.(本小题满分13分)
已知为平面直角坐标系的原点,过点的直线与圆交于两点.
(Ⅰ)若,求直线的方程;
(Ⅱ)若与的面积相等,求直线的斜率.
解:(Ⅰ)依题意,直线的斜率存在,
因为 直线过点,可设直线:.
因为 两点在圆上,所以 ,
因为 ,所以
所以 所以 到直线的距离等于.
所以 ,
得,
所以 直线的方程为或…………………6分
(Ⅱ)因为与的面积相等,所以,
设 ,,所以 ,.
所以 即 (*);
因为 ,两点在圆上,
所以 把(*)代入,得 ,
所以
所以 直线的斜率, 即………………………13分
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