加餐试题

加餐试 时，有三个相异实根，现给出下列命题： fxk()0,,04,,k （1）, fx()40,,和fx()0,有一个相同的实根， 实根；当1. 已知: fxxxxxxxxx()12320081232008,,，,，,，，,，，，，，，，，，（2）,和有一个相同的实根 fx()0,fx()0, 若x，则的范围是 . fx(2)20082009,，y （3）fx()30，,的任一实根大于fx()10,,的任一实根 11x,或.解析：， |||(2009)|2009.(1,2,3,2008)xixii,，,,,,x,,4 2（4）的任一实根小于的任一实根 fx()50，,fx()20,,2 ？, fxxxxxxxxx()12320081232008,,，,，,，，,，，，，，，，，，20082009，,其中错误命题的个数是 。 X2 1 1. 解析：由图可得只有（3）是错误的. 11当且仅当x,时，等号成立，所以由得，得或. fx(2)20082009,，|2|1x,||1x,x,,O 22x x6. 已知函22xfxxx()|2|,，fxbfxc()()0，，,数，若关于的方程有7个不同的实数解，则、b 1a,c的大小关系为 ..解析：二次方程有两个正实根，故bc,,0,0. bc,2.设 aaft(),，，是大于的常数，的最小值是16，则的值等____． 0＜＜t0cos1costt,21,1a1ax,1,/2x9.解析：令7. 设定义域为gx()0,,，,cos(0,1)tx,,，则，由得ftgx()(),，,fxbfxc()()0，，,|1|x,的函数fx(), ，若关于的方程有三个不R22,xx1,xx(1),x,1,1,111//222x,x,(,1)gx()0,,gx()0,x,(0,)，且时，时，，所以同的实数解xxx，，,xxx、、，则 。5. 解析：二次方程只有1一个根，123123a，1a，1a，1222即fxxxxxxx()10,1,2,5.,,,,,？，，, 1231231aftgaaaaa()()116,2150,3,9.,,，，,？，,,,？,即 min18. 已知a,b(a,b)为正整数，实数的最大值为40，则x,y满足x，y,4(x，a，y，b),若x，ya，11, a，12满足条件的数对（a，b）的个数为 。5. 解析： ()16(2()()xyxyabxayb，,，，，，，，1x23.设函数()ln(1)3,[,](0)，若函数的最大值是M，最小值是m，则fxxexxttt,，,，,,,fx()22,，，，？,，，，？，,32(),4032(40),10xyababab，故（a，b）只能为：（1，9）、（2，8）、 ，,（3，7）、（4、6）（5，5）. wxckt@126.com y x/x[,],tt6.解析：fxexttfx()ln(1)0([,]),(),，,,,,？在上为单调递增函数，则1x9. 设集合B,{(x,y)|y,,|x|，b},A,{(x,y)|y,|x,2|}, e，12b tA:B,,,若(x,y),A:B,且x，3y的最大值为9,则的值b111e，222ttMmftfttettttet，,，,,，,，,,，,,,，,()()ln(1)3ln3ln66. t是 . 3. 解析：如图直线zxy,，3过点1 22e 2 O x 时取最大值，所以039,3.，,,bb (0,)b4.如图所示，在宽2公里的河岸有A、B两个城市，它们的直线距 10. 已知点在直线上，点在直线xy，,,210QA P离为10公里，A城到河岸的垂直距离|AA|=5公里，B城到河岸的1yy Mxy(,)yx,，2上，中点为，且，则xy，，,230PQ垂直距离|BB|=1公里，现在选址建桥（河两岸近似看作两条平行1xC 1 A直线，且桥垂直于河岸），使得从A到B的路程最短，则最短路程11M 的取值范围为 .(,),,为 公里. 25C 1 B1 51解析：M点位于如图的射线上，结果显然可得.。(,), O x 262，ABADBD,,,10,8,6.解析：如图，所以将两D 33B 11. 已知平面上的向量PA、PB满足 2222河宽先看着是0时，，故最短路ABADBD,,，,(2)62PAPB，,4PCPAPB,，2AB,2PC,，设向量，则 222PAPBPCPAPB,？,，,||4||||程为的最小值是 . 2。解析： 262，公里. 2323||44,||2.PAPC，,, 5. 设fxxbxcxd(),，，，fxk()0,,，又是一个常数，已知当或时，只有一个k,0k,4k 1Ta，,,32nn,，11xx,(1,),，,fxxxxxgxk()38ln,(),，,,,，，若对任意的12n为奇数,24xT,{}aTa,的通项公式，记，ann,,,211,2,3，,n，，n11e，nTaa，，,xnnn,1n为偶数,e,1，12218.已知两个函数,2112. 已知等差数列2fxgx()(),都有，则实数的取值范围是 .： k,,.k12T,TTaaTa,，，,，2（），那么 . 32nn，.解析： n,2,3,2n221122nnnnnn,，,5 222(1)(2)nn,，19．随机地向半圆*2x()(0,xayaya,，,,为正的常数）内投掷一点，则原点与该点的连线与轴 ，？,,,,,？,，,,，,，aTTnnnNTnTnn,61(2,),6(1)32.nnnn，,1222222,11的夹角小于.的概率为 .： ，13. 定义在实数集R上的函数g(x),Ax，B(A,B为常数），如果存在函数，使得f(x)f(x),g(x)24, n20．对于正整数nyxx,,(1)a，设曲线在处的切线与轴的交点的纵坐标为，则数列x,2yx对一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数. g(x)f(x)n an，1n下列说法正确的有： .（写出所有正确说法的序号）?? nS{}22.,的前项的和= .： nn，14 7 10 13 16„ ? 对给定的函数f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个； 21．如图是1934年东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现的 7 12 17 22 27„ x“正方形筛子”，则该“正方形筛子”中位于第20行的第20个 ? f(x),eg(x),ex为函数的一个承托函数； 10 17 24 31 38„ 数是 .：840. 13 22 31 40 49„ x22.对一切实数，令? 函数不存在承托函数； f(x),x为不大于的最大整数，则函数 fxx()[],[]x16 27 38 49 60„ 2x，x，1n*11称为高斯函数或取整函数.若n{}aS为数列的前项和，则= . (),,afnNS,,n2009nn? 函数，若函数g(x)的图象恰为f(x)在点处的切线，则P(1,,)f(x),,210125x,4x，11：201000. g(x)为函数f(x)的一个承托函数. 22214. 已知方程(5121)(5121)(5121)0xmxxmxxmx，，，，,,,，，,的10个根组成一个首项125xy,，2100,?,1,为1的等比数列，则xy，,260,?1． 在平面区域内有一个圆，向该区域内随机投点，将点落在圆内的概率最大时的mmm，，,,,，,_____.－1023. 解析：aa,？,1,， ,125110512,270xy,,?,11,圆记为?M． 10mmm，，,,,，11252 ,,，，，,,,？，，，,,aaammm2,1023.1210125（1）试求出?M的方程； y 915122y 1,（2）设过点P（0，3）作?M的两条切线，切点分别记2 22为A，B；又过P作?N：xx-2y+10=0 15．+y-4x+y+4=0的两条切线，,AB,23AC,3B ,ABC在直角中，已知，，C M ,切点分别记为C，D．试确定的值，使AB?CD． ,M，ACB,90,ABC，点是内任意一点，则P A 2222x-y-7=0 （1）设?M的方程为(x-a)+(y-b)=r(r＞0)，则点(a，3,AM,3的概率是 ? .：. O b)在所给区域的内部． 9x x D C ,A ab,，210,,r,B D O x+2y-6=0 ,SN 3,5扇形CAD2解析：,，,:？,,,BACP60,. ab，,26,S9ABC33, 于是有,r,, （未能去掉绝对值，每（图1） （图2） 5,2,,，，27ab 16．因受台风影响，某路边一树干的上半截被台风吹断后，折成与地面成45?角，树干的下半截也,r.,5倾斜与地面成75?角，树尖着地处与树干底部相距15米，则折断点到树干底部的长为 米. , ：56. 个给2分） ax，122 解得 a=3，b=4，r=17.已知函数ff(2)(3),fx()(2,),，,fxaR()(),,,则“”是“在区间上单调递增”的 5，所求方程为(x-3)+(y-4)=5． x，2 λ 条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）.：充要. 3,,12（2）当且仅当PM?PN时，AB?CD． 因3k,,,，故，解得=6． k,,PNPM23 216为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，CA,1,0B3,4ABDPP，，，，，所以，由此可得 ,cos,CE,CF,,||||1716PCMC?,,,,39且||410CD,. 2.已知以点16则,CE,CF(1)求直线的最大值为. 的方程； CD9?求圆的方程； Py,0,,?设点在圆上，试问使?的面积等于8的点共有几个？证明你的结论. QQABQP,4. 已知可行域的外接圆C与x轴交于点A、A，椭圆C以线段AA为长轴，xy,，,320,解：?直线的斜率 ，中点坐标为 ， 12112k,11,2ABAB,，， ,?直线3230,xy，,,方程为 CDyx,,,,21即x+y-3=0，，, ?设圆心2，则由在上得： ? ab，,,30CDPab,P，，离心率e,． 222又直径||410CD,？,||210PA？，，,(1)40ab,,，又 PAPB,,24 （1）求圆C及椭圆C的方程； 122? ? abab，,,,,24270 （2）设椭圆C的右焦点为F，点P为圆C上异于A、A的动点，过原点O作直线PF的垂线交112a,,3a,5直线x,22于点Q，判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明． ,,由??解得或?圆心 或 P,3,6P5,2,，，，，解：(1)由题意可知，可行域是以M(1,3)AA(2,0),(2,0),及点为顶点的三角形， b,,2b,6122222?圆的方程为 或 （9分） ?xy，，,,3640xy,，，,5240PAMAM,,AAM，，，，，，，，，?为直角三角形，?外接圆C以原点O为圆心， 1212 222 ? AB,，,4442 ， 22线段Ae,xy，,4c,2A为直径，故其方程为． ?2a=4，?a=2． 又，?，可得122? 当?22面积为时 ，点到直线的距离为 。 QAB8QAB22xyb,2，,1．?所求椭圆C的方程是． 又圆心r,2104222210，,42到直线的距离为，圆的半径 且 1ABPP42?圆上共有两个点使 ?的面积为 . QQAB822（2）直线PQ与圆C相切．设yx,,4Pxyx(,)(2),,，则． 000003．已知平面直角坐标系A(6,23),B(8,0)中O是坐标原点，，圆是的外接圆，过点C,OABxoy当时，，?OPPQ,； P(2,,2),Q(22,0),k,k,,1x,2OPPQ0（2，6）的直线43被圆所截得的弦长为 l yx,2（1）求圆00的方程及直线的方程； Cl当时，k,,？k,, x,2PFOQ022yx,2（2）设圆(x,4,7cos,)，(y,7sin,),1的方程，，过圆上任意一点作圆(,,R)NNCP00 22x,4x,2CECF,的两条切线PE,PF，切点为，求的最大值. E,F00?直线OQ的方程为．因此，点Q的坐标为． yx,,(22,,x)yy解：因为A(6,23),B(8,0)，所以为以为斜边的直角三角形， ,OABOB00222,4x所以圆(x,4)，y,16： C0,,y0222,4，(22,)yxyxxx（2）1）斜率不存在时，?00000043：被圆截得弦长为，所以：适合 x,2x,2ll ,,,,,,kPQy22,(,22)(,22)xyxyx 2）斜率存在时，设0y,6,k(x,2)kx,y，6,2k,0： 即 l00000 ?当k,0x,0OPPQ,时，，； PQ04k，6,2k因为被圆截得弦长为43，所以圆心到直线距离为2，所以,2. y201，k当k,kkOPPQ,,,1,x,0时候，，?． OPPQOP0x044？l:y,6,,(x,2),即4x，3y,26,0？k,, 综上，当x,,2OPPQ,时候，，故直线PQ始终与圆C相切． 033 当纵上，=6时，P点在圆N外，故=6即为所求的满足条件的解．（本验证，不写，不扣分） ,,4x，3y,26,0：或 x,2l ,5．已知数列,,a（3）解：设满足 a,a,1(n,N)，则 ，,ECFa2nn，1n2CECFCECF,,,,||||cos216cos232cos16,,,． 5（1）若aa,，求； n1x44在,,,cos中，，由圆的几何性质得 Rt?PCE,,（2）是否存在a，n(a,R,n,N)n,n(n,N)aa和n||||PCPC，使当时，恒为常数.若存在求，01010n10 否则说明理由 ,,，，,,a,a,(k,k，1),(k,N),aS，求的前项的和（用表示） k,a3k1n3k、f(,),sin,,cos,，设 ,,,,,,,0,，则 12121,,4，，1,,n,2k（3）若,51315 ，，，，， ,f(,),f(,),sin,,sin,，cos,,cos,, 对于函数411121221解：（1）？，，时，，其中k,N a,,a,,a,,a,,？a,n,2a,n12341,444443, ,n,2k，1， sin,,sin,,cos,,cos,？1221,4, ,，，a1,a1,,,nn ，，，，函数在0,上单调递增. ？f,,f,,？f(,)(2)因为存在11121a,1a,a，所以当时 a,a,1,,,,n，n1nn，1n4，，a1,a1,，,nn, 6644?若（2）a,1,a,a,1,.a,a0,a,1，则 ，，，，,2sin,，cos,,sin,，cos,？ 原式左边 213211 111,2242244422此时只需：故存在 a,1,a,a,？a,.a,,a,(n,N)，，，，，，,2sin,，cos,sin,,sin,,cos,，cos,,sin,，cos,,1,sin2,,cos2,. 21111n222 ,24422222?若b,[m,m，1),m,Na,b,1，不妨设， 又，，，，2,f(),,f(),cos,,sin,cos,,sin,？原式右边. . ，，？,cos,,sin,,cos2,164 a,b,m,[0,1)？a,1,a,1,(b,m),a,b,m m，1m，2m，1m，1,，，（3）当0,时，函数在上单调递增， f(,)n,11111,,,4 ？a,m，,n,m，1时，a,,(m,N)？b,m，，，1n222 ,,,,?若a,c,0,a,,c，1,(l,l，1]不妨设,N 易知 c,(,l,,l，1],l12？f,0，，的最大值为，最小值为f0,,1. f(,),,1114,,1？a,a,1,,c,？,a,,c,(l,1), ？c,,l，.32l，22当？，，时，f,,1， 函数f(,)的最大、最小值均为1. n,22211,？a,,l，l,Nn,l，则a, .(),2,1n,，，22当f(,)0,时，函数在上为单调递增. n,33,,4，，11故存在三组a和n：a,时,n,1；a,m，时,n,m，1； 10101022,,,？，，f,0 f(,)的最大值为，最小值为f0,,1. ,,3331,4,,,Na,,m，时,n,m，2；其中m 102 ,,1，，2(3) 当 当a,a,(k,k，1),(k,N),a,a,1,a,a,2,？,时，易知 0,时，函数在上单调递减， f(,),1,sin2,n,41234,,42，，a,a,(k,1);a,a,k,(0,1)a,1,a,k，1,aa,1,a,a,k ，，kk，1k，2k，1k，3k，2 1,,,a,1,a,k，1,aa,a,k,a,k，1,a …..， k，4k，33k,13k？，，f, f(,)的最大值为f0,1，最小值为. ,,44442,,？S,a，a，？，a，a，a，a，a，？，a，a 3k12kk，1k，2k，3k，43k,13k 下面讨论正整数的情形： n,51，k,1,a，(a,1)，(a,2)，？，a,(k,1)，k,ka，k,(k,1) 2,，，当2n、,,,0,,,,,为奇数时，对任意且 1212,,k34，，,,，k(a，) 22nnnn，，，，f(,),f(,),sin,,sin,，cos,,cos,？ ， 121221nn,nnn6. 设函数n，其中为正整数. ,,,,f,，,,,()sin(1)cos,0n4以及 0,sin,,sin,,1,0,cos,,cos,,1， 1221（1）判断函数f(,)、f(,)的单调性，并就f(,)的情形证明你的结论； 131nnnn4422sin,,sin,,cos,,cos,？f(,),f(,) ，从而 . （2）证明：，，，，2f(,),f(,),cos,,sin,cos,,sin,； 1221n1n264 （3）对于任意给定的正整数n，求函数f(,)的最大值和最小值. n,,，，,,？0,f,0，，f(,)f(,)f0,,1 在上为单调递增，则的最大值为，最小值为. ,,nnn4,,,，，44,,[解] （1），，f(,)、f(,)0,在上均为单调递增的函数. 13,,4，，nn22当f(,),sin,，cos,,sin,，cos,,1,f(0)n为偶数时，一方面有 . nn 2，有 l,2Smm,，fxx,2是C函数，且使得都成立，此时． an,2(0,1,2,,)nm=，，fn 22l,22l,222综上所述，S的最大值为． mm，，，，，2f(,),f(,),cos,,sin,cos,,sin,,0， f2l2l,2另一方面，由于对任意正整数可证（?）假设mn,mnT,0,,fmfn,是R上的C函数．若存在且，使得. fx，，，，，,，，,111,, . f,f,？f,f？(),(),,(),,,,nnn,22nn,nm24,1,1,,若fmfn,nxx,，,,,1，记，，，则，且． xm,xmT,，,,,101,,,，，，，，，12122222T 那么,，,，,,,fmfmTfm1 fnfxxfxfx,，,,，,,,,,11n，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，1212,1,,,,？ 函数的最大值为，最小值为. f(,)f(0),1f,2,,,,nnn这与fmfn,矛盾. ，，，，42,,,, ,nm若fmfn,，记，，也可得到矛盾． xn,xnT,,,,,1，，，，综上所述，当n为奇数时，函数的最大值为，最小值为. f(,)120,1nT ?0,T在上是常数函数，又因为是周期为T的函数，所以在R上是常数函数，fxfxfx，,n，，，，，，1,, 当n为偶数时，函数的最大值为，最小值为. f(,)21,,n这与的最小正周期为T矛盾. fx，，2,, 所以不是R上的C函数． fx，，7. 设xx,是定义在D上的函数，若对任何实数以及D中的任意两数，恒有fx,,0,1，，，，122,8．数列a,1,a,2a,n，3n(n,N),,a， nn1，1n，则称为定义在D上的C函数. fxxfxfx,,,,，,,，,11fx，，，，，，，，，，，，12122（1）是否存在常数,,,，,，使得数列a，,n，,n是等比数列，若存在，求 ,、,1n2（?）试判断函数，中哪些是各自定义域上的C函数，并说明理由； fxx,,0fxx,，，，，，，21的值，若不存在，说明理由。 x 1（?）已知是R上的C函数，m是给定的正整数，设，且（2）设 fxafnnm,,,0,1,2,,，，，，b,，S,b，b，b，？，b nnn123nn,1a，n,2nSaaa,，，，Saam,,0,2，记. 对于满足条件的任意函数，试求的最大值； fx，，fm12f0m65n 证明：n,2时,S, n（?）若是定义域为R的函数，且最小正周期为，试证明不是R上的C函数. fxfxT，，，，(n，1)(2n，1)3 2解：（?）xx,是C函数，证明如下：对任意实数及， fxx,,,0,1，，，，222121(?)解:设 a,2a,n，3n可化为a，,(n，1)，,(n，1),2(a，,n，,n) n，nn，n11222有,，,,,,,,,,xxxx11 fxxfxfx,,,,，,,,,11,,,1，，，，，，，，，，，，，，,，，12121212,,,1,,22 即a,2a，,n，(,,2,)n,,,,22 故 解得,,,2,3,,n，n1. ,,,,,,,10xx,,,,,，,,,,,,,1121xxxx，，，，，，，，，，121212,,1,,,,,,,0,2即.?是C函数. fxxfxfx,,,,，,,，,11fxx,，，，，，，，，，，，，112122222 ？a,2a,n，3n可化为a,(n，1)，(n，1),2(a,n，n)a,1，1,0 且 n，nn，n1111不是C函数，证明如下： fxx,,0，，，，22故存在,,,,,1,,,1使得数列a，,n，,n是等比数列 xn 122n,1n,12取 (2) 证明 ？a,n，n,(a,1，1),2a,2，n,n 得 x,,3x,,1，，,,，则 fxxfxfx,,,,，,,,,11，，，，，，，，，，n1n1212122111111故 ,,b， ， ？b,,,,11111nnn,122111,,,,,,,,，，,fff2310． ，，，，，，，,an2nn2nn,n,n，222624221即,,,,,,.?fxx,,0不是C函数. fxxfxfx,,,,，,,，,11，，，，，，，，，，，，，，21212,,,,,,x111111,,,,,, 时？？n,2,S,b，b，b，，b,1，,，,，，,n123nn355711,,,,,,（?） 对任意xm,x,0，取，，. ,,,0,10,,nm,,12nn,，,,,,,,m222222,,,,,, aam,,0,2？是R上的C函数， ，且 fxafn,，，，，0m215n. ,1，,,1n33?n，. ,，,22mnafnfxxfxfx,,，,,，,,,,,11，，，，，，，，，，，，n12122m 2那么. Saaammm,，，，,，，，，,，212，，12fm n226n2b2(1)nnnnn，,，n，1 S,(n,2)nb,,.当时,. ,,,1n,3n222(n，1)(2n，1)nbnnn(1)21，，，n6n1245415证 当现证 而,,,,n,2时S,b，b,1，,,令nn12,,2888(n，1)(2n，1)3，554544又？？，minmin. 的最大值是. b,,bbb,,,2,1,t,,,,123n299n91111,,故时成立. 时由 n,3,b,,,,n,2n2n(n，1)nn，1nax10已知函数将的图象向右平移两个单位，得到图象． ()2.yfx,()ygx,()fx,,1n1111111x ,1,,？(1)()()？()S,b，b，b，，b,,，,，,，，,2n123nn，1n，1223341nn， (?) 求函数n6n6ygx,()的解析式； 且, . ？S,,2n，1,6得1,nn，1(n，1)(2n，1)2n，1(?) 若函数与函数ygx,()图象关于直线y,1对称，求函数解析式； yhx,()yhx,()2*9.已知数列{anN,}各项均为正数，S为其前n项的和.对于任意的，都有. 41Sa,，，，nnnn1(?) 设mm,，27,已知fx()的最小值是，且求实数 Fxfxhx()()(),,，（1）求数列的通项公式. a,,na （2）令b,20,a{b}，问数列的前多少项和最大？ a的取值范围． nnn n*a（3）若x,22,tSnN,对于任意的恒成立，求实数的最大值. tn解：(1)由题设，gx(),,fx(2),,2． x,222解(1)44(1),1.Saaa,,，？, (1分) 1111xx,,1(2)设(,)()xyygx在,(,)()xyyhx在,的图象上，的图象上，则， ,1122yy,,2,1当时,, 44411aSSaa,,,，,，n,2，，，，nnnnn,,11ax,2 ？,,,,2(),2()ygxygx即()22,,，． hx22x,2？,,aa2,又{a}各项均为正数,. ？，,,2aaaa，，n2nn,111nnnn,,x21a111x,2x (3)由题设，()？,,an21.？数列是等差数列, aFx,,，22,，＝()2(41)2,，,，a ,,xnnx,2x2a2a42 nnn a,0(2)tb(212n)t,,{tb}b,20,a,21,2n ,数列的前n项和为 nnnn111x?当时，有,，，而，， 2a,0,0410a,,,0,023n233n1，xT19t17t15t(212n)t,tT019t17t15t(212n)t,,，，，，,,，，，，，, nna42 m,，27,？,Fx()2，这与Fx()的最小值矛盾； 23nn1，23nn1，(t1)T19t2(ttt)(212n)t,,,，，，，，,,,，，，，，，,21t2(tttt)(212n)t n111?当,时，有，， Fx()在上是增函数，故不存在最小值； 0,,a,0410a,,R2当T20nn,,时, t1,a4n4 11n?当Fx()时，有,，，此时在上是减函数，故不存在最小值； a,4,0410a,,R2t(t1),n1，当a4(t1)T21t(212n)t,,,，，,时, t1,nt1,(4)(41),,aa111?当Fx()22,，,,,a4时，有，，． ,0410a,,n2n1，，4a21t(212n)t(2n19)t2t,，,,a44T,,， n2t1(t1),,4(41)aa,(4)(41),,aax当且仅当2,22，m,Fx()时取得等号，取最小值 4,a4a2(3) Sn,, n (4)(41)7,,aa1,,,,,a2n,,,,12,,44a12n*若又,2？,,a2,tSnN,t,min对于任意的恒成立,则. m,，27,,及,,a4，得 . n,,2112n4,,,,,,a4,,a4,,,4,4 11．如图所示，海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km，B、C的距离为100km.从A到C，先乘 ,15,23为出发的，,,BAD(0,),a2,21,aaaqqq,，,，,即解得：，则有. 314232方向角，T为从A到C所需要的总时间. ,,15船，船速为25km/h；在点D处登陆后，再乘汽车，车速为50km/h.设3（1）?试用 (?)若删去（?）若删去将T表示出来； sin,cos,,aaaaqq,2,21,.则有即解得：,，,，q= 32132?确定的值，使得从A到C所花的总时间T最少. ,B D C 1515,,,（2）设所以,，当T最少时，试确定的值. ADACABR,，,,,,,(,qq,,,的可能值为. q11212 ,2250A ?结论：解：（1）?因为AB=50，所以不可能成立. n,5 ADBD,,,50tan,,cos,(?)当aaaaa,,,,a时，由（1）的结论知：中被删去的项只能是， n,5123453ADCD22sin,,,3则. 故. T,，,，,,，,2tan2,(0,),,DC,,10050tan,,2aaa,，21qq,，,,2142550coscos3,,则，矛盾，故不可能； 即解得,q=1n,5,,232aaa,，21qq,，,,,,,,coscos(2sin)(sin)2sin1,,,,,,,425/,?因为. T,,22（?）当coscos,,aaa,,,时，从任意删去一项后，必有愿数列中的连续三项，则有（1）的结论知，n,612n,/新数列不可能是等差数列. 当2sin10,0,,,,T时，，所以T(),单调递减； ,,(0,)综上地 ，6不可能成立. n,5 ,,/当2sin10,0,,,,T时，所以单调递增. ,(,)T(),,3213．已知函数fxaxbxxcabcRa()(,,0).,，,，,,且 63 ,1故（1）若,时，T取得最小值，即总时间最少. 为奇函数. ,afx,,()且63 ?写出的单调区间； fx()（2）因为,,,,1BCD,,三点共线，且，所以， ADACAB,，,,2112?在fx()的图象上求两点，使得以这两点为切点的切线恰好互相垂直，且切点的横坐标都在区间则BC 而BD与同向，所以 ADACABADABACABBC,，,？,,,,,,,,(1).().1111[2,2],上. ,5033||BD.,,,,,,BD，当T最少时， ，所以 ,,（2）若存在实数xxxx,(),fxfx()(),，满足，试探究：是否存在实数abc,,，使得函数fx()11121212663||BCxx，1212．设xaaan,,,(3),在处的切线恰好平行于轴，若存在，请求出一组这样的abc,,；若不存在，请说明理由. 是公比为qq(1),的等比数列. 12n2（1）求证：该数列中任意连续三项（按原来的顺序）均不能构成等差数列； 解：（1）因为fx()fxfx()(),,,为奇函数，所以对恒成立. xR,（2）当时，在此数列中添上某一项后，得到的新数列是等差数列，试求的可能值； n,3q132323（3）当即时，若将此数列中某一项删去，得到的新数列是等差数列. n,4,，，，,,,，,axbxxcaxbxxc对恒成立，所以，从而fxxx().,, xR,bc,,03?当时，求的可能值； n,4q/2?由fxxxx()10,11,,,,,解得或，所以fx()的增区间为(,1)(1,),,,，,. ?试探究：n是否可能？若可能，求出的所有可能值；若不可能，请说明理由. n,5//2?设所求的两点为fxfx()()1,,,，根据题意得，(,()),(,())(,[2,2]xfxxfxxx,,（1）证明：假设aaatn,,(12),,,2aaa,，21qq,，成等差数列，则，得，解得： 12112212ttt，，12ttt，，12 2222q,1q,1.这与已知条件矛盾.故原命题成立. 即(1)(1)1xx,,,,，又， xxxx,[2,2],1,1[1,1],,,,,,得121212222（2）解：当aaqaq,,时，原数列为，则有4个位置可添上一项，由（1）的结论知所添之n,3111x,0,,,,xx,,,,,1111x,,21,,,,111故或解得或.. ,,,,项不能在最前面，也不能在最后面. 22xx,,,20xx,,,,,1111,,,,,,,,2222aaq，aaq，1221111(?)当新数列为为aaqaq,,,时，由2,aqaqq,，,得； 1111122222故所求两点的坐标为(0,0),(2,)(0,0),(2,).,,或 2233aqaqaqaq，，21111（?）当新数列为aaqaqaqaq,,,2,2时，由得,，,. （2）不存在实数abc,,满足意. 11111223232事实上，由axaxxcaxbxxc，,，,，,，fxfx()(),，得， 111222121所以的可能值为qq,,,2. q3322所以axxxxxxxx()()()0,，,,,,,又因为，则 212121212 2222（3）解：? 当时，由（1）的结论知，被删去的一项既不是第一项也不是第四项. n,4axxxxbxxbxxaxxxx()()10,()1()，，，，,,，,,,，，即， 112212121122 nnnnn,,1111222nn,,xxxxxx，，，3a，，，,，,,，CxxCxx(1)()()(1)CxxCxx(1)(1)()，,，，,，，= /222nnnn121212 fabxxxxbxx()3()2()1()()1,，,,，，，，,112212而2224,ynnnnnnnn,,,,,,11112212 CxxCxCxCxxCxx(1)()().(1)(1)()(1)()，,，,,，，，,，，，,，则nnnnn3aaaaa2222222,x=， ,，,,,,xxxxxx(),，，,，，(2)()xxxxaxxxx4,y111nn,,n,1Cxnx(1)(1).，,，(),x. 当无限趋于0时，无限趋于 ,xnxx，xx，/1212,x因为xaxxf,,,,00,()0且所以，则函数fx()在处的切线不可能平行于轴，12/1n,22由导数的定义，fxnx()(1).,， 故不存在abc,,满足要求.nnnnn122//12321, （2）(1)1,()[(1)]23，,，，，，？,，,，，，，xCxCxCfxxCCxCxnCx nnnnnnn{}aanaaaa,,，，，,2,2.当时，14．数列中， /1123211nnnn,,,n1121nn,又fxnxCCxCxnCxnx()(1).23(1),，？，，，，,，， nnnn（1）求数列{}a的通项公式； n1231nn,当xCCCnCn,，，，,，1232.时，有 nnnn1111nnnn，,1/1（2）设数列{}cca,log，，，，,2满足：，证明：； (3)设gxnxnxgxnnxnnx()(1)(1)(1)4,()(1)(1)(1)(1),，,，，,,，，,，，,则 nnn2cccccccc1223341nn，n,1/nnxxxgx(1)(1),1,()0.，，,,当时 1111（3）对于（2），若nnn，1，，，，,，kn(1)(1)(1)(1)1对一切恒成立，求实nNn,,且2[()](1)2(1)24(1)240.gxgnnn,,，,，,,,,,？gx()在[1,)，,上是单调递增函数，又 mincccc234nnn，1？,,，,，，，当时，xnnxnx1,2(1)(1)(1)4. 数的取值范围. k 解：（1）aaaaaSaSSnSS，，，，,？,,,,,,(2),2， 1231111nnnnnnnn,,,, nn,1S,，,222？{}SSa,,2是以为首项，2为公比的等比数列，则. nn11 2, 1n,,n,1n,12当aS,,2,San,,,2,2时，时，又na,,,？,1222,时，. n,1nn,1,11nn,12,2n,, 1, 1n,,1111（2）n,,,,时2,，因为， ca,,log,nn2ccnnnn,,(1)1nn,,1,2,nn，111111111111则，，，，,，，，，,，,，,1(1)() ccccccccnn，，，,111223(1)2231223341nn， 11111 ()()22.,，，,,,,341nnn, 11111（3）设，，，，，(1)(1)(1)(1)fn()=， ccccn，1234n 111111则，，，，,，，(1)(1)(1)(1)(1)fn(1)，,. cccccn，22341nn， 3(1)n，fnnnn(1)11(1)1，，，，,，，,,,？，,(1)1,(1)().fnfn 21fnc()nnn，，22nn(2)，n， 22323于是nfn()是关于的单调增函数，则 [()](2),.fnfk,,,,所以min333 n*15.(附加题)已知函数fxxnNn()(1)(,2),，,,且. /（1）应用稻树定义求fx()； 1231nn,（2）证明：CCCnCn，，，，,，232； nnnn nn，1（3）当nxnx(1)(1)(1)4.，,，，，xn,,1,2时，证明： nnnnn11222,,解：（1）,,，,,,，，,,，,，，，,，，,yfxxfxxxxxCxxCxx()()(1)(1)(1)(1)(1)() nn