求向量组的秩与极大无关组求向量组的秩与极大无关组
对于具体给出的向量组,求秩与极大无关组的常用方法如下.
方法1 将向量组排成矩阵:
(列向量组时)或(行向量组时) (*) 并求的秩,则即是该向量组的秩;再在原矩阵中找非零的阶子式,则包含的个列(或行)向量即是的列(或行)向量组的一个极大无关组.
方法2 将列(或行)向量组排成矩阵如(*)式,并用初等行(或列)变换化为行(或列)阶梯形矩阵(或),则(或)中非零行(或列)的个数即等于向量组的秩,且是该向量组的一个极大无关组,其中
是(或)中各非零行(或列)的第1个非零元素所在的列(或行)...
求向量组的秩与极大无关组
对于具体给出的向量组,求秩与极大无关组的常用方法如下.
方法1 将向量组排成矩阵:
(列向量组时)或(行向量组时) (*) 并求的秩,则即是该向量组的秩;再在原矩阵中找非零的阶子式,则包含的个列(或行)向量即是的列(或行)向量组的一个极大无关组.
方法2 将列(或行)向量组排成矩阵如(*)式,并用初等行(或列)变换化为行(或列)阶梯形矩阵(或),则(或)中非零行(或列)的个数即等于向量组的秩,且是该向量组的一个极大无关组,其中
是(或)中各非零行(或列)的第1个非零元素所在的列(或行).
方法3 当向量组中向量个数较少时,也可采用逐个选录法:即在向量组中任取一个非零向量作为,再取一个与的对应分量不成比例的向量作为,又取一个不能由和线性
出的向量作为,继续进行下去便可求得向量组的极大无关组.
对于抽象的向量组,求秩与极大无关组常利用一些有关的结论,如“若向量组(?)可由向量组(?)线性表示,则(?)的秩不超过(?)的秩”,“等价向量组有相同的秩”,“秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组”等.
例1 求向量组,,,,
的秩与一个极大无关组.
解 法1
,所以向量组的秩为3;又中位于1,2,4行及1,2,4列的3阶子式
故是向量组的一个极大无关组(可知;均可作为极大无关组).
法2 由于的第1,2,4个行向量构成的向量组线性无关,故是向量组的一个极大无关组.
例2 求向量组,,,的秩和一个极大无关组.
解
(1) 当且时,,故向量组的秩为3,且是一个极大无关组;
(2) 当时,,故向量组的秩为3,且是一个极大无关组;
(3) 当时,若,则,此时向量组的秩为2,且是一个极大无关组.若,则 ,此时向量组的秩为3,且是一个极大无关组.
例3 设向量组的秩为.又设
,, 求向量组的秩.
解 法1 由于,且
所以
故向量组与等价,从而的秩为.
法2 将看做列向量,则有
其中
可求得,即可逆,从而可由线性表示,故这两个向量组等价,即它们有相同的秩.
例4 设向量组(?):和向量组(?):的秩分别为和,而向量组(?):的秩为.证明:.
证 若和中至少有一个为零,显然有,结论成立.若和都不为零,不妨设向量组(?)的极大无关组为,向量组(?)的极大无关组为,由于向量组可以由它的极大无关组线性表示,所以向量组(?)可以由,线性表示,故
的秩
本文档为【求向量组的秩与极大无关组】,请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑,
图片更改请在作品中右键图片并更换,文字修改请直接点击文字进行修改,也可以新增和删除文档中的内容。
[版权声明] 本站所有资料为用户分享产生,若发现您的权利被侵害,请联系客服邮件isharekefu@iask.cn,我们尽快处理。
本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权,请谨慎使用。
网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传,仅限个人学习分享使用,禁止用于任何广告和商用目的。