振动(机械振动)物体在平衡位置附近往返运动

振动(机械振动)物体在平衡位置附近往返运动 第七章 振动 振动(机械振动):物体在平衡位置附近往返运动。 波是振动的传播。 振动和波动是横跨物理学不同领域的一种非常普遍而重要的运动形式 。 7.1 简谐振动的动力学特征 我们结合具体例子谈简谐振动的动力学特征 即、 (1) 在怎样的力(或力矩)的作用下物体做简谐振动。 (2) 根据力(或力矩)和运动的关系，求出简谐振动的动力学方程。 1、简谐振动 概念:质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动叫简谐振动。 平衡位置:质点在某位置所受的力(或沿运动方向受的力)等于零时，此位置称平衡位 置 。 线性回复力:若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移(线位移或角位移)成正 比，且指向平衡位置，则此力称线性回复力。 f=,λx (λ为正常数) x (1) 我们以弹簧振子这种典型简谐振动例子来研究问。 装置如图所示，在理想情况下，x很小时，力f与x之间成线性关系。 x 即 f=, kx k是弹簧劲度系数 x 以m 滑块质量，根据牛顿第二质量 22 m*dx/dt=- kx 2 令 k/m=ω 上式可写作 0 222 dx/dt=-ωx 0222 或 dx/dt+ωx=0 0222 间谐振动的动力学方程: dx/dt+ωx=0 0 (2) 我们再来看另一典型例子单摆 装置如图,不可伸长轻线悬挂一小球，将小球视作质点;相对于悬线铅垂位 置的角位移 θ很小。 小球切向力 f=,mgsinθ t 35 ? sinθ=θ-θ/3～+θ/5～-„„„ ? sinθ?θ 则 f=,mgθ f是线性回复力，所以 t t 单摆做简谐振动: 22 由牛顿第二定律: m*d(lθ)/dt=,mgθ 22 dθ/dt=-g/l*θ 22 2 2 令 g/l=ω有dθ/dt+ωθ=0 00 即 单摆做简谐振动 22 2对扭摆也可得出运动力学方程dφ/dt+ωφ=0 0 简谐振动的一般定义:任何物理量x(例如长度、角度、电流、电压以至化学反应中某种化学 组分的浓度等)的变化规律满足方程 222dx/dt+ωx=0， 0 且常数ω决定于系统规律本身的性质，则该物理量做简谐振动。 0 7.2 简谐振动的运动学 (一)、简谐振动的运动学方程 222根据常微分方程理论,微分方程:dx/dt+ωx=0， 0 的解可写作， X=Acos(ωt +α) (9.2.1) 0 式中A和α是待定系数，需根据初始条件来决定，上式即是简谐振动的运动学方程。 现对(9.2.1)式各量的物理意义作进一步讨论。 (1) 周期、频率和圆频率 周期:物体做简谐振动周而复始完全振动一次所需的时间叫简谐振动的周期。 T表周期，则. Acos(ωt +α)= Acos,ω(t +T)+α, 00余弦函数周期为2π，故 ωT=2π 0 ? T=2π/ω0 2讨论:? 对弹簧振子 ω=k/m 0 T=2π 2 ? 对于单摆 ω=g/l 0 T=2π 2 ? 对于扭摆 ω=c/I 0 T=2π 频率:单位时间内系统所作完全振动的次数。 ν表频率 ν=1/T 国际单位制:“赫兹”符号 Hz ω=2π/T=2πν 0 ω仅与频率ν相差一常数因子2π，已知ω与已知ν是等效的，故ω叫圆频率 000 固有频率和固有圆频率:简谐振动的圆频率、频率和周期都是由振动系统本身最本质的因素 决定的。 (2) 振幅 振幅:物体离开平衡位置的最大位移(或角位移)的绝对值叫振幅。 振幅由初始条件决定 X=Acos(ωt +α) 0 ν=dx/dt=-ω Asin(ωt +α) 00x 将初始条件 t=0 x=x ν=ν代入 得 0x0 x x= Acosα 0 ν=-Aωsinα 00x 得 (3) 相位和初相位 相位:简谐振动的运动学方程 X=Acos(ωt +α) 中，我们把时间t的线性函数 0Ф=ωt +α叫简谐振动的相位。 0 相位差:两振动相位的差(Ф-Ф)称作相位差。 12 讨论:? 当相位差Ф-Ф=n2π时，称作同相位 12 ? Ф-Ф=(2n+1)π时 相位相反 12 π>Ф-Ф>0 则 Ф超前Ф ? 若1212 ? 若 2π>Ф-Ф>π 则 Ф 落后相位Ф 1212 初相位:t=0时的相位称为初相位，其由初初始条件决定的。 x/A cosα=0 sinα=-ν/ωA 00 x 两式相除，得:tgα=-ν/ω x 00 x0 选上面三式中任意两式都可以决定初相位。 现在对简谐振动小结:首先，简谐振动是周期性运动;第二、简谐振动各瞬时的运动状态有振幅A 和圆频率ω及初相位α决定，也可以说，由振幅和相位两因素决定;第三、0 简谐振动的频率是由振动系统本身固有性质决定的，而振幅和初相位不仅决 定于系统本身性质且取决于初始条件。 (二)、简谐振动的x-t图线和相轨迹 简谐振动的x-t图线类似于余弦曲线，振幅大小决定曲线的“高低”，频率影响曲线的“密 度和疏散”，初相位决定曲线在横轴上的位置。 另一种描述运动状态的方法是利用相平面。 (三)、简谐振动的矢量表示方法 可以用一旋转矢量描述简谐振动:旋转矢量的长度等于振幅，矢量A叫振幅矢量，简谐振动的圆频率等于矢量转动的角速度，间谐振动的相位等于旋转矢量与X轴间的夹角;用旋转矢量在坐标轴上的投影描述简谐振动的方法叫简谐振动的矢量表示法或几何表示法。 7.3 简谐振动的能量转化 因为弹簧振子或扭摆等振动系统中线性回复力为弹性力(或力矩)，它们是保守力(或力矩)，所以简谐振动系统的总机械能守恒，现以弹簧振子为例讨论振动系统的动能和势能随时间的变化规律并计算总机械能。 2对于弹簧振子，应用质点动能公式 E=1/2*mv 得 k 222 E=1/2*mωAsin(ωt +α) 00k 2因 ω=k/m 所以 0 22 E=1/2*kAsin(ωt +α) 0k 2 至于势能， E=1/2*kx 将简谐振动运动学方程代入，得 P 22 E=1/2*kAcos(ωt +α) 0P 结论: ?、弹簧振子的动能和势能按余弦或正弦的平方随时间变化;动能最大时，势能最小， 动能最小时，势能最大，振动过程是动能和势能相互转化 的过程。 2?、简谐振动总能为:E=1/2*kA 即弹簧振子的总能取决于劲度系数和振幅。 7.4 简谐振动的合成 (一)、同方向同频率简谐振动的合成 设质点参与同方向同频率的两个简谐振动 X=Acos(ωt +α) 1101 X=Acos(ωt +α) 2202 式中XX AA以及αα分别表示两个振动的位移、振幅和初相位，表示共同频率，1 21 2 1 2 因两分振动在同方向上进行，故质点合位移等于分位移的代数和， X= X+X= Acos(ωt +α)+ Acos(ωt +α) 1 2101202 将余弦函数展开再重新并项，得: X=(Acosα+ Acosα)cosωt - (Asinα+ Asinα)sinωt 1122011220 式中cosωt和sinωt的系数由AAα和α决定的常数，将它们记作Acosα 001 2 1 2 和Asinα，得: Acosα= Acosα+ Acosα1122 Asinα= Asinα+ Asinα 1122 于是 X=Acosαcosωt - Asinαsinωt 00 = Acos(ωt +α) 0 可见，同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率与分振动频率相 同。 合振动的振幅与初相位A 、α，由分振动的振幅和初相位AA αα决定 1 2 1 2 A= cosα= Acosα+ Acosα/A 1122 sinα= Asinα+ Asinα/A 1122 用旋转矢量同样可得上述结果。 讨论:合振动振幅与分振动的振幅的及相位差的关系: (1):相位差 α- α= 2nπ， n=0.1.2.3„„„„„ ，cos(α- α)=1 2121 A= A+A，相位相同，互相加强，合振幅最大。 1 2 (2):相位差α- α= (2n+1)π，n=0.1.2.3„„„„ ，cos(α- α)=-1 2121 A= ?A-A?，相位相反，互相消弱，合振动振幅最小。 1 2 (3):一般情况下，合振动振幅在A+A与?A-A?之间 1 1 22 (二):同方向不同频率简谐振动合成 X=Acosωt 110 X=Acosωt 220 合振动的位移为:X= X +X= Acosωt Acosωt 121020 合振动不是一简谐振动，但是一周期性运动，合振动周期称“主周期”，主周期有两特点: 1. 主周期是分振动周期的整数倍 2. 主周期是分振动周期的最小公倍数 当ω+ ω》?ω- ω?时 2010 2010 合振动 X=2A cos(ω- ω)/2*t* cos(ω+ω)/2*t 20102010 固子2A cos(ω- ω)/2*t的周期比另一固子cos(ω+ω)/2*t 的周期长的多，于是我们20102010可以称之为“准简谐振动”。 振动方向相同，频率之和远大于频率之差的两个简谐振动合成时，合振动振幅周期变化的现象叫拍， 单位时间内拍出现的次数叫拍频。 (三):互相垂直的相同频率简谐振动的合成 二互相垂直同频率简谐振动运动学方程如下: X=Acos(ωt +α) y =Acos(ωt +α) 101202消t 得合振动轨迹方程 22222 X/A+ Y/A- 2xy/AA* cos(α- α)=sin(α- α) 21211212 讨论(1). 分振动相位相同或相位相反，合振动轨迹退化为指线 A .若α-α =0 或2π的整数倍 21 Y=A/A*x 12 B .若α-α =(2k+1)π 21 Y=-A/A*x 12 (2) 相位差为z/2时 2222 X/A+ Y/A=1 12 表示合振动轨迹为以x.y为轴的椭圆。 7.5 阻尼振动 阻尼振动:振动系统因受阻力作振幅减小的运动。 摩擦阻力 f=-Υv=-Υ*dx/dt 阻xx Υ为阻力系数，它与物体形状以及周围媒质的性质有关。 由牛顿第二定律，振子受: 22m* dx/dt=-kx-Υ*dx/dt 22dx/dt=-k/mx-Υ/m*dx/dt 2令: ω=k/m β=Υ/2m 0222?dx/dt?2β*dx/dt +ωx=0 0 讨论:由上动力学方程可解出三种可能运动状态 1. 欠阻尼状态 阻力很小: 以致β<ω 0 -βt1X=Aecos(ωt + α) 1ω= 11阻尼振动周期T=2π/ω=2π/ 2. 过阻尼状态 如阻力较大，以致β 〉ω 0 X=Ce 1 3. 临界阻尼状态 阻力影响界于前面两者之间，且β=ω时 0 βt-X=( C+ Ct)e 12 7.6 受迫振动 定义:受迫振动，振动系统在连续的周期性外力作用下进行的振动叫受迫振动。 (一):受迫振动的动力学方程 设质点受三种力:弹性力-kx ,阻尼力-Υ*dx/dt ， 周期性外力:F(t)=Fcosωt 0 由牛顿第三定律，得动力学方程式为: 22 m* dx/dt=-kx-Υ*dx/dt+ Fcosωt 0 2令 ω=k/m , 2β=Υ/m , f= F/m , 000 222 得 dx/dt+2β* dx/dt+ωx= fcosωt 00 上式为受迫振动动力学方程常见形式，其中β，f和ω称参量。 00 (二)受迫振动的运动特征 动力学方程的解为 -βt1 X= Aecos(ωt + α)+A*cos(ωt+Ф) 0 我们来定性其运动特征: (1) 上式有两项之和构成，表明质点运动包含分运动。 (2) 第一项为阻尼振动，随时间的推移而趋于消失，它反映受迫振动的暂态行为，与驱 动力无关。 (3) 第二项表示与驱动力频率相同且振幅为A的周期振幅。 0 (三) 位移共振 位移共振:当驱动力频率取某值时，振幅获得极大值，振动系统受迫振动时，其振 幅达到极大值的现象叫位移共振。 共振时驱动力的圆频率为(又称位移共振频率) ω= (位移共振条件) r (四).受迫振动的能量转换 驱动力 F= Fcosωt 0x 速度 V=ωAcos(ωt+φ+π/2) X 受迫振动的总能不是常数，其表达式为 2222222 E=E+E=1/2*mv+1/2*kx=1/2*mA,ωsin(ωt+φ)+ ωcos(ωt+φ), 00KP0 第八章 波动和声 8.1 波的基本概念 (一)波是振动状态的传播 (1).波的分类:弹性波、非弹性波、位移波、压强波、矢量波、标量波 (2).波的实质:波既是动量传播的过程又是能量传播的过程。 多种多样的波 (二) 按媒质内质原振动方向与波传播方向的关系分类 波分: 横波:若媒质中各体原振动的方向与波传播的方向垂直。 纵波:媒质中各体原振动的方向和波传播的方向平行。 (三) 平面波与球面波 (1) 波面:波传播时，离波源较远的体元比近的体元相继有一定的相位落后，同相位各 点所组成的免交波面。 (2) 波前: 离波源最远亦即“最前方”的波面叫波前。 (3) 波射线:与波面垂直且表明波传播方向的线叫波射线。 (4) 按波前的形状对波进行另一种分类 平面波:波前为平面的波。 球面波:波前为球面的波。 8.2 平面简谐波方程 平面简谐波:平面波传播时，若媒质中体元均按余弦(或正弦)规律运动，叫平面简谐波。 (一)、平面简谐波方程 设一列平面简谐波沿x轴正向传播，为简单起见，选坐标原点x=0处体元相位为零的时刻 为计时起点，即该体元初相位为零，于是，x=0 处体元的运动学方程 Y=Acosωt X=0处体元的振动状态，经时间?t=x/v传到位于x处的体元，在时刻t ，位于x处的体元 的振动状态应与(t – x/v)时刻x=0处体元的振动状态一样，所以，x处体元的运动学方程 Y=Acosω(t – x/v) 平面简谐波方程，考虑平面简谐波逆x轴传播的情况，故: Y=Acosω(t –/+ x/v) 讨论:(1) .当固定x=x时，上式描述位于x处的体元随时间做周期运动，体现了平面简谐波具00 有对时间的周期性。 (2).取定t=t ,上式描述特定时刻t各不同体元的位移，各体元位移的分布具有空间周00 期性。 波动中几个基本量及其关系: (1).波速v :振动状态传播的速度。 (2).波长λ: 沿波传播方向相邻同相位两点之间的距离。 (3).周期T :传播一个波长所用的时间。 V=λ*γ (二).平面简谐波方程的多种形式 利用波长、频率、周期等物理量之间的关系，可将平面简谐波方程表示为其他形式。 如: x=Acos(ωt – kx) 利用 ω=2πγ 和 k=2π/γ 得: Y=Acos(ωt – kx)=Acos2π(γt-x/λ) 再利用 V=λ*γ 及 v=λ/T 得 Y=Acos2πγ(t – x/v) Y=Acosk(vt – x) 8.3 波动方程与波速 (一) 波动方程 在媒质中取出体元，分析受力情况和应用动力学规律，推导出弹性媒质中横波的波动方 程为: 2222αy/αt=N/p*αy/αx 同理可得固体内弹性平面纵波的波动方程为: 2222 αy/αt=Y/p*αy/αx 其中p表示媒质密度，Y为杨式模量。 张紧柔软线绳上传播横波的波动方程为: 2222 αy/αt=T/p*αy/αx线 T为线绳所受张力， p为单位长度线绳的质量，成为线密度。 线 (二).波速 、色散现象 平面简谐波方程为波动方程一特殊解 。 对 y=Acosk(vt – x)作偏导运算 2222 αy/αt=-Akvcosk(vt – x) 222 αy/αx=-Akcosk(vt – x) 代入波动方程中.得 V= 横 同理得圆体中弹性纵波波速 V= 纵 张紧软绳中横波波速为 V= 绳 流体中纵波的波速为 V= 流 8.4 平均能流密度 声强与声压 (一).媒质中波的能量分布 根据平面简谐波方程可以求出其振动速度 U=αy/αt=-ωAsinω(t – x/v) 设媒质密度为p ，并用dv表示体元体积，则该体元动能等于 222 dE=1/2*pdvu=1/2*pdvωAsinω(t – x/v) k 同理形变势能为 2 dE=1/2*Ndv(αy/αt)p 2222 =1/2*Ndv*ωA/Vsinω(t – x/v) 对于横波. V= 横 222 所以 dE=1/2*pdv*ωAsinω(t – x/v) p 体元总能等于两者之和，即 222 dE=pdv*ωAsinω(t – x/v) 能量密度:单位体积媒质所具有的能量;用ε表示 ， 222 ε= dE/dv=pωAsinω(t – x/v) 平均能量密度:能量密度在一周期内的平均值。 T222 /ε=1/T*? pωAsinω(t – x/v)/dt 0 因正弦函数平方一周期内的平均值为1/2 ，故: 22 /ε=1/2* pωA (二).平均能流密度 平均能流密度:平均能流密度为一矢量，其大小等于单位时间内通过与波传播方向垂直的单 位面积的能量，其方向沿波传播方向，用 I表示平均能流密度。 22 I=/ε*v=1/2* pωA v 22 -3 单位:瓦/米 ，国际代号为:w/m . 量纲为MT (三).声强与声强级 声强:声波平均能流密度的大小叫声强。 声功率:声强对面积积分，则为单位时间内通过一定面积的声波能量。 122- 声强级:取10 w/m的声强为声强，记作I ，声强I与标准声强I之比的对数称作声00 强I的声强级。 (四)、声强.声强与声压的关系 声压:由声波传播的空间，某一点在某一瞬时的压强p与没有声波时压强p的差，叫做该点0 处该瞬时的声压。 dp=p- p0 经过推导，得出声强和声压的关系式 2 /2z I=pmax 其中z=pv 称为波阻或声阻 。 (五).声波的衰减、超声波的优势 声波传播时，能流密度和声压幅将衰减。 αd- I=Ie d I表示入射初始声强，I为深入媒质d距离处的声强，为衰减系数，与波的频率以及媒质性d 质有关。 若用Il和Il表示开始入射和深入媒质d距离处的声波级， 则有: d Il=Il-αd d0 超声波的优势，在水中超声波的衰减系数比在空气中小得多，更兼超声波波长短，直进性强， 遇障碍物时易成形反射，可用于在水中探测或搜索鱼群，探测海深以至搜索水雷和潜艇等军 事目标，还可用于探测体内病变。 (六).波的反射和透射.半波损失 反射波与入射波在同一媒质中传播，因频率波速不变，故波长相同;透射波与入射波虽然频 率相同，但波速不同，故波长不同。 半波损失:波自波疏媒质射向波密媒质，则反射波在边界处引起的分振动比入射波在此引起 的分振动在相位上落后π;波传播中相距半个波长的体元的振动相位才差π，故称之为半波 损失。 8.4 波的叠加和干涉.驻波 (一)、波的叠加.群速 波的叠加原理:两列波互相独立的传播，在两列波相遇处体元的位移等于各列波单独传播时 在该处引起的位移的矢量和。 (二)、波的干涉 (1)、波的干涉的条件:一、两列波具有相同的振动方向;二、两列波具有相同的频率; 三、两列波在空间每一点引起的分振动都具有固定的相位差，同频率 同方向正弦或余弦振动的合运动仍为正弦或余弦振动，合振动的 振幅由分振动振幅以及相位决定。 (2)、现对相干条件再作一些讨论，设两列平面简谐波相遇，波方程分别为: y=Acos(ωt – kx +α) 11111 1 y=Acos(ωt– kx +α) 22222 两波相遇处发生振动的合成，二波在任意一点分振动的相位差等于 1? =ωt – kx +α-(ωt– kx +α) 111222 1 =(ω-ω)t -(kx- kx) +α-α 112122 欲使?保持一定，必须ω=ω ;而相干条件中不仅提到频率相同，同时强调固定位相差，12 是针对不连续而言的。 (二) 驻波 驻波:振幅相同，而传播方向相反的两列简谐相干波叠加得到的振动称为驻波。 例: y=Acos(ωt – kx ) 1 y=Acos(ωt + kx) 2 合振动: y= Acos(ωt – kx )+ Acos(ωt + kx) =(2A coskx)* cosωt 为讨论方便;代入k=2π/λ y=(2Acos2π/λ* x)* cosωt (驻波方程) 下面讨论驻波振动特点: (1)、由于固子|2Acos2π/λ* x|表示各体元的振幅不同，且随x作周期性变化; 即: x=+ - i/2*λ (i=0.1.2.3„„„) 的各体元，其振幅等于|2Acos2π/λ* x|=2A ， 称为波腹。 (2)、波节，而对于x=+ - (2i+ 1)*λ/4 (i=0.1.2.3„„„) 的各体元，其振幅等于|2Acos2π/λ* x|=0，即振幅最小，称为驻波的波节。 (3)、相邻两面波腹或相邻两波节间的距离均为半波长。 (4)、相邻波节间各体元具有相同的相位;相邻两波腹的相位是相反的。 (四)、弦与空气柱的本征振动: 波在周围存在界面的媒质中传播时，往往形成驻波。做驻波振动的物体往往也成为声源， 举两例说明。 1. 弦振动: 弦形成的驻波，两端必波节，弦长l与波长λ应由下列关系。 λ = 2l/n , n=1.2.3„„„ n 弦上传播横波的波速为 V= ?γ=v/λ=n/2l* n=1.2.3„„„ n n 固有振动:在弦上可以形成的驻波振动叫做弦的固有振动或本征振动。 固有频率:固有振动的频率叫做弦的固有频率。 2. 空气柱的振动 管内空气柱的振动，这里的驻波是由纵波形成的。管端有两种情况，一种是封闭的，一种是 敞开的;开端形成波腹，闭端形成波节。 固有振动的波长等于 λ=4l/n n=1.3.5„„„ n n=1 给出基波波长，n=3.5„„„ 给出第一、第二谐波波长，而基频与谐频则有下式决定: γ= n/4l*v ,n=1.3.5„„„ n 8.5 多普勒效应 多普勒效应，由于波源或观察者的运动而出现，观测频率与波源频率不同的现象。 (一)、波源静止而观察者运动 设波相对于静止媒质以波速v传播，以γ表示波源振动频率，则波长λ，波速v和频率γ 间的关系为: γ=v/λ 111 观察者观察到的波速v与观察到的波长λ之比称为观察频率，记作γ 即 111 γ= v/λ 1 虽然，若波源和观察者都相对于媒质静止，则γ=γ 现在假设观察者相对于媒质以速率 V朝波源运动，则 观 111 γ= v/λ= (v + V)/ λ=γ*(1+ V/ v) 观观 若观察者背离波源而运动 111γ= v/λ= (v - V)/ λ=γ*(1- V/ v) 观观 1合起来即 γ=γ*(1+ - V/ v) 观 (二)、 观察者静止而波源运动 由于波源的运动，媒质中振动状态的分布与波源静止时相比发生了变化，即波长发生了变化。 设波源相对于媒质以速率V 朝观察者运动 源 1则观察者观测的波长λ应为 1 λ=(v-V)T 源 111 γ= v/λ=v/(v- V)T= v/(v- V)* γ 源源 反之，若波源背离观察者运动: 1 γ= v/(v + V)T = v/(v + V)* γ 源源 1合起来 γ= v/(v - + V)* γ 源 (三)、观察者和波源在同一条直线上运动 很容易求得，观察者和波源都在运动时观察者接收到的频率为 1 γ=(v+ - V)/ (v - + V)* γ 观源 如果观察者和波源相对于媒质以相同的速度运动，即它们相对静止，由上式可得 1 γ=γ ， 既不发生多普勒效应。