3分式的通分 最简公分母

3分式的通分 最简公分母 分式的通分 最简公分母 一、目标要求 1、理解分式通分、最简公分母的概念。 2、掌握通分的方法，并能熟练地进行通分。 3、能正确熟练地找最简公分母。 二、重点难点 重点:分式的通分。 难点:确定最简公分母。 分式的通分 最简公分母 1.分式的通分 (1)分式的通分:与分数的通分类似，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的 分式相等的同分母的分式叫做分式的通分( (2)通分的根据:分式的基本性质( (3)最简公分母:异分母的分式通分时，一般取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的 公分母叫做最简公分母( 要点诠释:(1)通分的关键是确定各分式的最简公分母:一般取各分母所有因式的最高次幂的积作 为公分母. (2)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最 高次幂的乘积;如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公 分母. 3)约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个 ( 分式而言. 析规律 确定最简公分母 (1)分母都是单项式时～?取所有分母的系数的最小公倍数作为最简公分 母的系数,?取分母中所有字母因式的最高次幂的积作为最简公分母的字母部分( (2)分母是多项式时～先因式分解～再确定最简公分母( 2.解题方法指导 3,35,】通分:(1)【例1，，; 23238xy12xyz20xyz 7c2,5,(2)，，。 23422a9ab12ab 分析:先找到每组分式的最简公分母，再根据分式的基本性质通分。(1)的分母系数的最小公倍数 332332是120，字母x，y，z的最高次幂分别是x，y，z，所以最简公分母是120 xyz;(2)的分母系数的最4343小公倍数是36，字母a，b的最高次幂分别是a，b，所以最简公分母是36 ab。 332解:(1)? 最简公分母是120 xyz， 2222345xyz3，15xyz,,,? ,,， 23322228xy120xyz8xy,15xyz 2250y5，10y5,,， 3233232212xyz120xyz12xyz,10y 2218xz3，6xz,3,,,,。 33323220xyz120xyz20xyz,6xz 43(2)? 最简公分母是36 ab， 1 333390ab5，18ab,5? ,,， ,,33432a2a,18ab36ab 228a2，4a2,,， 23232439ab9ab,4a36ab 21bc7c7c,3b,,。 ,,,42424312ab12ab,3b36ab x,1x,75，x【例2】通分:(1)，，; 222x，3x，2x,x,6x,2x,3 aa,12(2)，，。 229,2aa,3,2aa,5a，6 分析:这两组分式的分母都是多项式，首先把各分母按同一字母降幂排列，后分解因式，然后确定 最简公分母。 2解:(1)? x，3x，2,(x，1)(x，2)， 2x,x,6,(x,3)(x，2)， 2x,2x,3,(x,3)(x，1)， ? 它们的最简公分母是(x，1)(x，2)(x,3)。 2x,1(x,1)(x,3)x,4x，3,,， 2x，3x，2(x，1)(x，2)(x,3)(x，1)(x，2)(x,3) 2(5，x)(x，1)5，xx，6x，5,,， 2x,x,6(x，2)(x,3)(x，1)(x，1)(x，2)(x,3) 2x,7(x,7)(x，2)x,5x,14,,。 2x,2x,3(x，1)(x,3)(x，2)(x，1)(x，2)(x,3)(2)? 最简公分母是3(a，1)(a,2)(a,3)， a,1(a,1),3(a,2)a,1? ,, 2a,3,2a(a，1)(a,3)(a，1)(a,3),3(a,2) 3(a,1)(a,2),， 3(a，1)(a,2)(a,3) aa,3(a，1)a,, 2a,5a，6(a,2)(a,3)(a,2)(a,3),3(a，1) 3a(a，1),， 3(a，1)(a,2)(a,3) 22,(a，1)(a,2)2,,,, 9,2a3(a,3)3(a,3),(a，1)(a,2) 2(a，1)(a,2),,。 3(a，1)(a,2)(a,3) 注意:分母是多项式，要对分母进行因式分解，并注意统一字母排列顺序(一般按某一字母的降幂 排列);分母的系数是负数的，一般把负号提到分式本身前面去。 2 3、激活思维训练 ?知识点:通分 ,2x1【例】通分:，。 221950.03x,0.27y22x,xy，y242 分析:这组分式的系数不是整数，那么首先根据分式的基本性质，把它们化成整数系数后，再求各 系数的最小公倍数进行通分。 1100100解:,,， 22223(x，3y)(x,3y)0.03x,0.27y3x,27y ,2x,8x8x,,。 ,22195(x,2y)(2x,5y)2x,9xy，10y22x,xy，y242 ? 最简公分母是3(x，3y)(x,3y)(x,2y)(2x,5y)， 100(x,2y)(2x,5y)100? ,， 3(x，3y)(x,3y)3(x，3y)(x,3y)(x,2y)(2x,5y) 8x(x，3y)(x,3y)8x,。 ,,(x,2y)(2x,5y)(x，3y)(x,3y)(x,2y)(2x,5y) 【变式1】 通分: 15bab11(1)，;(2)，,;(3)，. 2223x12xy3a2cx，xx,x 15222分析:(1)最简公分母是12xy～所以分式的分子、分母都乘以12xy与3x的商4y～分式的分23x12xy 2子、分母都乘以12xy与12xy的商x～即化为同分母的分数( bab(2)最简公分母是6ac～把分式的分子、分母都乘以2c～把分式,的分子、分母都乘以3a～即可3a2c 化为同分母分数( 122(3)先将分母x，x和x,x因式分解～确定最简公分母为x(x，1)(x,1)～把分式的分子、分母都2x，x 1乘以(x,1)～把分式的分子、分母都乘以(x，1)～即可化为同分母分数( 2x,x 14y4y解:(1),,～ 2223x3x×4y12xy 55?x5x,,, 212xy12xy?x12xy bb?2c2bc(2),,～ 3a3a?2c6ac 2abab?3a3ab,,,,,, 2c2c?3a6ac x,11(3),～ 2x，xx,x，1,,x,1, x，11,. 2x,xx,x，1,,x,1, 【变式1】通分 3 yx4a3c5b1(1) (2) ,,,,;22225bc10ab,2acxxyy243 22分析:对于(1)各系数的最小公倍数是12，字母的最高次幂分别是x,y,因此最简公分母是12 xy.对于 222(2)易知最简公分母是10abc. (解略) 2 通分 1xx1(1) (2) ,,224,2xx,4x，2(1)x,x 分析:分母是多项式时应先分解因式。 2(1)中的分母分别是2(x+1),x-x=x(x-1),易得最简公分母是2x(x+1)(x-1); 2 (2)中的分母分别是x-4=(x+2)(x-2),4-2x=-2(x-2), 易得最简公分母是2(x+2)(x-2). (解略) b13ab,14x2xa,通分:(1)，;(2)，((3)与;(4)，，( 222222ababcx，2x,24ac2bc22x，x,1x,4 4(分式中的分数化为整数 当分式的分子和分母中含有分数系数时，需要根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数(分子、分母的分数系数的最小公倍数)，使分子、分母中的系数全都化为整数( 分式的应用 5( 在实际问题中，根据题意列出分式，再根据分式的基本性质，把分式约分或通分，从而来解决有关分式的实际问题(要注意实际问题中的数量关系，这是解决应用题的关键(, 【例5,1】 下列变形正确的是( )( ,a，ba，b,aaA.,, B.,, cc,b,cb,c ,a，b,a，b,a,ba，bC.,, D., ,a,b,a，b,a，ba,b 答案:D 32,3x【例5,2】 不改变分式的符号，使分式的分子、分母最高次项的系数为正数( 33,b 3332,3x,2,,2,,3x3x解:,,. 3333,b,,b,3,b,3 10.2x,y2】 将分式的分子和分母中的分数系数都化为整数( 【例5-312x，y43 111,,0.2x,yx,y×60,,12x,30y252解:,,. 121215x，40y,,x，yx，y×60,,4343 【例5-4】 甲、乙两地相距270千米，自行车与汽车都是从甲地驶往乙地，自行车的速度是x千米/时，汽车的速度是自行车的5倍，问自行车所用的时间是汽车所用时间的几倍, 解:根据题意得～汽车的速度是5x千米/时( 4 270 270270x?,,5. x5x270 5x 故自行车所用的时间是汽车所用时间的5倍( 6(求分式的值 由已知条件，根据分式的基本性质，适当把分式进行变形，使变形后的分式出现已知条件的形式， 然后把已知条件代入变形后的分式，来求分式的值(若已知条件是分式的形式，常常把要求值的分式的 分子、分母同除以一个适当式子进行变形，使要求值的分式出现已知的形式(有的还要把已知条件变形( 22x，2xy,3yx【例6】 已知,3，求的值( 22yx,xy，y 2分析:由已知条件可知～y?0.利用分式的基本性质～用y去除待求式的分子与分母～再将其变形～ xx使之出现条件式～把,3代入即可求解( yy 2xx,,，2,322,,x，2xy,3yyy解:, 222x,xy，yxx,,,，1,,yy 9，6,312,,. 9,3，17 7.分式中的创新题 在分式的求值问题中，经常运用整体思想解决问题(当已知条件与要求的分式形式上有些相似，但 又有区别时，要灵活运用整体思想，把已知条件或要求的分式进行变形，把已知条件整体转化( 131【例7】 如果a,,，求a，的值( a2a 13192解:因为a,,～两边平方～得a，,2,～ 2a2a4 2219125,,,,所以a，,4,～即a，,. ,,,,a4a4 15所以a，,?. a2 4、基础知识检测 分式的通分 最简公分母 1、填空题: 5cd(1)，的最简公分母是 。 12a8b ba(2)，，4(b，2)的最简公分母是 。 2(a,b)(b，2)3(b,a)(2，b) 2x，13x,12(3)分式，，的最简公分母是 。 2x,12,2xx,2x，1 1x(4)分式，的最简公分母是 。 x,12(x，1) 2、选择题: 5 (1)求最简公分母时，如果各分母的系数都是整数，那么最简公分母的系数通常取 ( ) A(各分母系数的最小者 B(各分母系数的最小公倍数 C(各分母系数的公倍数 D(各分母系数的最大公约数 3m2n1(2)分式，，的最简公分母是 ( ) 22m，nm,nm,n22222 A((m，n)(m,n) B((m,n) 222C((m，n)(m,n) D(m,n x,1x,22(3)，，的最简公分母是 ( ) 222x,9x，x,6x，5x，6222A((x，3)(x，2)(x,2) B((x,9)(x,4) 222222C((x,9)(x,4) D((x，3)(x,3)(x，2)(x,2) 1113、通分:，，。 2b，1b,1b，2b，1 5、创新能力运用 a，2a，12a通分:(1)，，; 222a,2a，1a，a,2a，4a，4 111(2)，，。 (a,b)(a,c)(b,c)(b,a)(c,a)(c,b) 参考答案 【基础知识检测】 1、(1)24ab (2)6(a,b)(b，2) 2(3)2(x,1) (4)2(x，1)(x,1) 2、(1)B (2)D (3)B 6 1(b，1)(b,1)b,113、,， ,， 222b，1b，2b，1(b，1)(b,1)(b，1)(b,1)2(b，1)1,。 2b,1(b，1)(b,1) 【创新能力运用】 3a，2a，2(a，2)(1),,， 2222a,2a，1(a,1)(a，2)(a,1) (a，1)(a,1)(a，2)a，1a，1,,， 222a，a,2(a，2)(a,1)(a，2)(a,1) 22a(a,1)2a2a,,; 2222a，4a，4(a，2)(a，2)(a,1) b,c1(2),， (a,b)(a,c)(a,b)(b,c)(a,c) a,c1,， ,(b,c)(b,a)(a,b)(b,c)(a,c) a,b1,。 (c,a)(c,b)(a,b)(b,c)(a,c) 7