高考数学向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

数学向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 二、四心与向量的结合 (1)OA,OB,OC 0 O是 ABC的重心. 证法1:设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) x1,x2,x3 x (x1～x),(x2～x),(x3～x) 0 3 O是 ABC的重心. OA,OB,OC 0 (y～y),(y～y),(y～y) 0y,y,y23 123 y 1 3 证法2:如图 OA,OB,OC OA,2OD 0, AO 2OD A、O、D三点共线，且O分AD为2:1, O是 ABC的重心 (2)OA OB OB OC OC OA O为 ABC的垂心. 证明:如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC， 1 AD垂直BC， D、E是垂足. OA OB OB OC OB(OA～OC) OB CA 0 OB AC 同理OA BC，OC AB O为 ABC的垂心 (3)设a,b,c是三角形的三条边长，O是 ABC的内心 aOA,bOB,cOC 0 O为 ABC的内心. 证明: AB ACABACABAC AC方向上的单位向量， ,,分别为AB、平分 BAC, AO ()，令 cbcbcb , bca,b,c AO bca,b,c ( ABc , ACb ),化简得(a,b,c)OA,bAB,cAC 0 2 aOA,bOB,cOC 0 (4 ) 典型例题: 例1:O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP OA,则点P的轨迹一定通过 ABC的( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 :如图所示 ABC，D、E分别为边BC、AC的中点. O为 ABC的外心。 (AB,AC)， 0,, , ， AB,AC 2AD, OP OA,2 AD, OP OA,AP AP 2 AD, AP//AD, 点P的轨迹一定通过 ABC的重心，即选C. 例2:(03全国理4)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP OA, , ， 0,, , ，则点P的轨迹一定通过 ABC的( B ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 分析: 3 AC的单位向量， 为AB、 , 平分 BAC, 点P一定通过 ABC的内心，即选B. 例3:O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP OA, , ， 0,, , ，则点P的轨迹一定通过 ABC的( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 分析:如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足 . , BC , , =～ +=0， 点P的轨迹一定通过 ABC的垂心，即选D. 练 4 习: 1(已知 ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA,PB,PC 0，若实数 满足:AB,AC AP，则 的值为( ) A(2 B( 32 C(3 D(6 2(若 ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OA,OB,OC 0，则OA OB ( ) A( 12 B(0 C(1 D(～ 12 3(点O在 ABC内部且满足OA,2OB,2OC 0，则 ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是( ) A(0 B( 32 C( 54 D( 43 5 4( ABC的外接圆的圆心为O，若OH OA,OB,OC，则H是 ABC的( ) A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 5(O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA 2 ,BC 2 OB 2 ,CA 2 OC 2 ,AB，则O是 ABC的( ) 2 A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 6( ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，OH m(OA,OB,OC)，则实数???? ABACABAC1??? 6 7((06陕西)已知非零向量AB与AC满足 + )?BC=0且 =, 则?ABC为( ) ????2|AB||AC||AB||AC|A(三边均不相等的三角形 B(直角三角形 C(等腰非等边三角形 D(等边三角形 8(已知 ABC三个顶点A、B、C，若AB 2 AB AC,AB CB,BC CA，则 ABC为( ) A(等腰三角形 B(等腰直角三角形 C(直角三角形 D(既非等腰又非直角三角形 练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C 百度搜索“就爱阅读”,专业,生活学习,尽在就爱阅读网92to.com,您的在线图书馆 7