黑体普朗克公式推导

黑体普朗克公式推导 1( 空腔内的光波模式数 k在一个由边界限制的空间V内，只能存在一系列独立的具有特定波矢的平面单色驻 k波。这种驻波称为电磁波的模式或光波模式，以为标志。 设空腔为立方体，如下图 z ,z y ,x,yx 图1 立方体空腔 沿三个坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件是 ,,,x,m,2,,, yn (1) ,,,2, ,,zq,,,2, 式中m、n、q为正整数。 ,2将代入(1)式中，有 k,x,x m,k, x,x 则在x方向上，相邻两个光波矢量的间隔为: mm,,(1),,,k,,, x,x,x,x同理，相邻两光波矢在三个方向的间隔为: 1 ,,,k,x,,x,,, (2) ,k,,y,y, ,,,k,,z,z, 因此每个波矢在波矢空间所占的体积元为 33,, (3) kkk,,,,,xyzxyzV,,, kz k ky kx 图2 波矢空间 kkdkdkk在波矢空间中，处于和之间的波矢对应的点都在以原点为圆心、为半径、 为厚度的薄球壳内，这个球壳的体积为 44332，， ,k,,k,dk,4,kdk (4) 33 k,kdk,dk式中、。 kdkdk根据(1)式的驻波条件，的三个分量只能取正值，因此和之间的、可以存在于 V中的光波模式在波矢空间所占的体积只是上述球壳的第一卦限，所以 224dd,kk,kk,, V (5) k82 由(3)式已知每个光波矢的体积元，则在该体积内的光波模式数为 2VkkdkM,,V2 (6) 32,,V/ 2 式中乘以2是因为每个光波矢量k都有两个可能的偏振方向，因此光波模式数是光波矢量数的2倍。 ,,22由于，，上式可以用波长形式表示，即在体积为V的空腔内，波dk,d,k,2,, ,，d,长间隔的光波模式数为: ,8V (7) d,M,4, 2( 黑体辐射公式 ,黑体辐射是黑体温度T和辐射场波长的函数。可用单色能量密度来描述，其定义,, -4,为:在单位体积内，波长附近的单位波长间隔中的电磁辐射能量，量纲为J•m。 根据量子化假设和玻色-爱因斯坦统计规律，在温度T的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的平均能量为 ch,E, (8) hc/K,Te,1 因此单色能量密度为 ,M8hc1,,E, (9) ,5hc/KT,Vd,,e,1 即如在空腔上有一单位面积的开口，则在单位时间，半球空间辐射到此单位面积的能量c附录1为,。 ,4 按照(9)式，从黑体腔上的开口向半球空间辐射出的单色能量为 2,c2hc1,P,, (10) ,5hc/K,T4,e,1 这就是温度T的黑体的光谱辐出度公式。 附录1 对于作用在如图1的空腔表面的驻波，设垂直于面积A，且立体角为d,的方向上，光通量(单位时间通过的波的能量)为I和-I，如图3。 3 d, P I-I A 图3 设光速为c，光运动单位距离的时间为1/c，则在立体角内的光能密度(单位体积的光 能量)P为 I P,2 (1) cA 在谐振腔内，光辐射强度是各向同性的，因此对与面积A法线夹角为,的入射光，光通 量仍为I，而该方向的通量为 ,Acos (2) I,I,Icos,,A 因此在整个2,半球空间，一个小面积上通过的光通量如图4 rsin,d, d,rd, d, ,d, , 图4 作用在一个小面积上的所有方向的光辐射 则在面积A上的总光通量为 4 2,,/2,,,,M,Icossindd,,00 ,I, 将(1)代入有 cA (3) M,I,,P,2 因为腔内各方向的辐射是均匀分布的，所以任意方向立体角d,的能量密度P与腔内的总能量密度,的关系为 , P, (4) 2, 代入(3)得 Mc (5) ,,A4 c即如在空腔上有一开口，则在单位时间，单位面积辐射到半球空间的能量为。 ,4 5