进才中学2011学年期末考试卷

学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 内 不 要 答 题 上海市进才中学2011学年第二学期期终考试 （时间90分钟，满分100分） 高一数学试卷 （2012年6月） 题 号 1-12 13-16 17 18 19 20 21 总  分 得 分 一、填空题（每小题3分，共36分） 1．函数的最小值是          . 2．已知锐角，,则=                . 3．若，且，用反正弦表示            . 4．函数的单调递增区间是______          ___. 5. 在等比数列中，，则        。 6.若数列的前项和，则              。 7．数列的前项和，则的最小值为      （结果用数值表示） 8．已知数列是等差数列，且，则      。 9.数列中，，则=         . 10．        。 11.设等比数列中，公比为，前项和，则=          。 12.函数的图象是中心对称图形，记在y轴右边的对称中心按横坐标从小到大的顺序依次记为，则点的坐标是               . 二、选择题（每小题3分，共12分） 13.已知数列，其中，这个数列      　      （  ） 是等差数列，但不是等比数列  是等比数列，但不是等差数列 既是等差数列，又是等比数列  既不是等差数列，又不是等比数列 14.函数的图象可由的图象通过平移得到，这个平移可以是（  ）        向右平移个单位              向左平移个单位   向右平移个单位              向左平移个单位 15.下面四个判断中,正确的是                                                ( ) (A)式子,当时恒为1 (B)式子,当时恒为 (C)式子,当时恒为 (D)设,则 图1 16. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 图2 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将它们称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，∙∙∙这样的数称为正方形数．下列四个数中，既是三角形数又是正方形数的是                                                    (  ) （A）289      （B）1024      （C）1225      （D）1378  三、解答题：本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.（本题满分8分）已知数列的前项和，． 求证是等比数列, 并写出的通项公式；      18．（本题满分10分）已知数列中,, ， 写出，猜想的表达式, 并用数学归纳法证明. 19.（本题满分10分）在中，角所对的边分别为且满足 （1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．   20．（本题满分12分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%. (1) 求第n年初M的价值的表达式；      (2) 设是数列的前项之和，求 密 封 线 内 不 要 答 题 21．（本题满分12分）设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由； （3）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值． 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 内 不 要 答 题 上海市进才中学2011学年第二学期期末考试 （时间90分钟，满分100分） 高一数学试卷 （2012年6月） 命题教师  顾梅华      审题教师  李风芝 题 号 1-12 13-16 17 18 19 20 21 总  分 得 分 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．函数的最小值是          . 2．已知锐角，,则=                . 3．若，且，用反正弦表示            . 4．函数的单调递增区间是______          . 5. 在等比数列中，，则        。 6.若数列的前项和，则              。 7．数列的前项和，则的最小值为      （结果用数值表示）. 8．已知数列是等差数列，且，则      。 9.数列中，，则=         .4 10．        。 11.设等比数列中，公比为，前项和，则=    。． 12.函数的图象是中心对称图形，记在y轴右边的对称中心按横坐标从小到大的顺序依次记为，则点的坐标是               . 二、选择题（每小题3分，共18分） 13.已知数列，其中，这个数列      　      （ A ） 是等差数列，但不是等比数列    　是等比数列，但不是等差数列 既是等差数列，又是等比数列    　既不是等差数列，又不是等比数列 14.函数的图象可由的图象通过平移得到，这个平移可以是（ C） 向右平移个单位向左平移个单位向右平移个单位向左平移个单位 15.下面四个判断中,正确的是                                                  ( C ) (A)式子,当时恒为1 (B)式子,当时恒为 (C)式子,当时恒为 (D)设,则 图1 16. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如： 图2 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将它们称为三角形数；类似地，图2中的1，4，9，16，∙∙∙这样的数称为正方形数．下列四个数中，既是三角形数又是正方形数的是                                ( C ) （A）289      （B）1024    （C）1225    （D）1378  三、解答题：本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17. （本题满分8分）已知数列的前项和，． 求证是等比数列，并写出的通项公式；               证明：因为，，所以． 两式相减，得，即， ∴，．------------------------------------------------4分 又，即，所以． ∴是首项为3，公比为3的等比数列， 从而的通项公式是，．--------------------------------8分 18．（本题满分10分） 已知数列中,, ， 写出, 猜想的表达式, 并用数学归纳法证明. 解：，猜想。用数学归纳法证明.略 19.（本题满分10分） 在中，角所对的边分别为且满足 （1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           （II）由（I）知于是         取最大值2． 综上所述，的最大值为2，此时   20．（本题满分12分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%. (1) 求第n年初M的价值的表达式；      (2) 设是数列的前项之和，求 解：(1) 当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列．an＝120－10(n－1)＝130－10n；当n≥7时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6＝70，所以an＝70×n－6，因此，第n年初，M的价值an的表达式为 an＝ (2) 设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得 S20＝S6＋(a7＋a8＋…＋a20)＝570＋70××4×=768.75万元 密 封 线 内 不 要 答 题 21．（本题满分12分）设正数数列的前项和为，且对任意的，是和的等差中项． （1）求数列的通项公式； （2）在集合，，且中，是否存在正整数，使得不等式对一切满足的正整数都成立？若存在，则这样的正整数共有多少个？并求出满足条件的最小正整数的值；若不存在，请说明理由； （3）请构造一个与数列有关的数列，使得存在，并求出这个极限值． 解：（1）由题意得，  ①，  当时，，解得，……（1分） 当时，有  ②， ①式减去②式得， 于是，，，……（2分） 因为，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，……（3分） 所以的通项公式为（）．……（4分） （2）设存在满足条件的正整数，则，， ，……（6分） 又，，…，，，，…，， 所以，，…，均满足条件， 它们组成首项为，公差为的等差数列．……（8分） 设共有个满足条件的正整数，则，解得．……（10分） 所以，中满足条件的正整数存在，共有个，的最小值为．……（12分） （3）设，即，……（15分）， 则 ，其极限存在，且 ．……（18分） 注：（为非零常数），（为非零常数）， （为非零常数，）等都能使存在．