☆牛顿莱布尼茨公式

☆牛顿莱布尼茨公式 ?2 牛顿—莱布尼茨公式 1( 计算下列定积分: 121,x(2) dx,21，x0 :按牛顿---莱布尼茨公式进行计算。 12,1，，,1dx,2arctanx,x,,1解: 原式= 2,0,,021，x，， x,x1e,edx(4) ,02 分析:按牛顿---莱布尼茨公式进行计算。 111x,x,1解:原式= (e，e),(e，e),1022 91(x，)dx(6) ,4x 分析:按牛顿---莱布尼茨公式进行计算。 9312284422224x，x,,,解:原式=。 3334 e12(lnx)dx(8) 1,xe 分析:按牛顿---莱布尼茨公式进行计算。 e11123(ln)()x,,,,解:原式= 。 13333e 2( 利用定积分求极限。 111n，，，lim[？](2) 222n,,n，n，n，n(1)(2)()分析:利用函数的可积性和积分和的极限与定积分的关系计算。 1f(x),,x,解:记[0，1]，则f在[0，1]上连续，所以可积，取 2(1，x) 12ni,,0,,,？,.,x,,,i,1,2,？,n.T= ,. 则 ,,iiinnnn,, nndx11f,lim(),,lim, ,,ix2,i,0Tinx(1，)2,1,1ii(1，)n 11111n，，，=lim[？]= ,222n,,n，n，n，n(1)(2)()1，x0 11(,),(,1),= 22 n,,121,(4) lim(sinsin？sin,)，，，n,,nnnn 分析:利用函数的可积性和积分和的极限与定积分的关系计算。 ,解: 记则f在[0，]上连续，所以可积，取 f(x),sinx,x,[0,,], ,,nix2,1(,1),,,Txin,{0,,,？,,},,,,,,,1,2,？,.ii,1innnn则 nn,,(i,1),sin,lim(),,limsinxdxf,,,ix,i00T,nn,,11ii n,,121,,,==,cosx,2 lim(sinsin？sin,)，，，0n,,nnnn ,,nn12(,)2, lim(sin，sin，？，sin),.,n,,nnnn, ,3.若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除了有限个点外有F(x),f(x)，则有 bf(x)dx,F(b),F(a) ,a 分析:利用定积分的分段可加性和牛顿—莱布尼兹公式进行证明。 ,,xxxab,[,],Fxfxxabxx()(),[,]\{,},,,证明:设除外，Fxfx()(),,即 1,2n1,n xaxxxbx,,,,,,,可设 0121nn， [x,x]在上应用N-L公式知: i,1i nnbxi，1fxdxfxdx()(),,,,,[()()]()()FxFxFbFa 。 ,,，1ii,,axi,0i,0i