初中数学公理和定理

初中数学公理和定理 初中数学公理和定理(北师版) 一、公理(不需证明) 1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行; 2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等; 3、两边夹角对应相等的两个三角形全等; (SAS) 4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; (ASA) 5、边对应相等的两个三角形全等; (SSS) 6、等三角形的对应边相等,对应角相等. 7、线段公理:两点之间，线段最短。 8、直线公理:过两点有且只有一条直线。 9、平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 10、垂直性质:经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直 注:(1)其中1,6要求能作为对其它定理进行证明的依据，7,10作为基本事实应了解。 (2)等式和不等式的有关性质也可视为公理。 以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类: 一、直线与角 1、两点之间，线段最短。 2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。 4、对顶角相等 二、平行与垂直 5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 8、夹在两平行线间的平行线段相等 9、平行线的判定: (1)同位角相等，两直线平行; (2)内错角相等，两直线平行; (3)同旁内角互补，两直线平行; (4)垂直于同一条直线的两条的直线互相平行. (5)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行 (6)利用三角形中位线定理 10、平行线的性质: (1)两直线平行，同位角相等。 (2)两直线平行，内错角相等。 (3)两直线平行，同旁内角互补。 三、角平分线、垂直平分线、图形的变化(轴对称、平称、旋转) 11、角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 12、角平分线的判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 13、线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 14、线段垂直平分线的判定:到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上( 15、轴对称的性质: (1)如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分. (2)对应线段相等、对应角相等。 16、平移:经过平移，图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离，平移后，新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变，即它们是全等图形。即对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等 17、旋转对称: (1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度 (2)对应点到旋转中心的距离相等; (3)对应线段相等、对应角相等 18、中心对称: (1)具有旋转对称的所有性质: (2)中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分 四、三角形 (一)一般性质 19、三角形内角和定理:三角形的内角和等于180? 20、三角形外角的性质:?三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;?三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角;?三角形的外角和等于360? 21、三边关系:(1)两边的和大于第三边;(2)两边差小于第三边 22、三角形中位线定理: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半( 23、三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心)， 这点到三个顶点的距离(外接圆半径)相等。 24、三角形的三条角平分线交于一点(内心)，这点到三边的距离(内切圆半径)相等。 (二)特殊性质: 25、等腰三角形、等边三角形 (1)等腰三角形的两个底角相等((简写成“等边对等角”) (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等((简写成“等角对等边”) (3)“三线合一”定理:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 (4)等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60?( (5)三个角都相等的三角形是等边三角形。 (6)有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形 26、直角三角形: (1)直角三角形的两个锐角互余; (2)勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; (3)勾股定理逆定理:如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个 三角形是直角三角形. (4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. (5)在直角三角形中，如果一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的一半. (6)三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形。 五、四边形 27、多边形中的有关公理、定理: ?四边形的内角和为360? ?多边形的内角和定理:n边形的内角和等于( n,2)×180?. ?多边形的外角和定理:任意多边形的外角和都为360?. 28、平行四边形的性质: (1)平行四边形的对边平行且相等; (2)平行四边形的对角相等; (3)平行四边形的对角线互相平分. 29、平行四边形的判定: (1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形; (4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形; (5)对角线互相平分的四边形是平行四边形. 30、矩形的性质: (1)具有平行四边形的所有性质 (2)矩形的四个角都是直角; (3)矩形的对角线相等且互相平分. 31、矩形的判定: (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。 (2)有三个角是直角的四边形是矩形. (3)对角线相等的平行四边形是矩形。 32、菱形的性质: (1)具有平行四边形的所有性质 (2)菱形的四条边都相等; (3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 33、菱形的判定: (1)四条边相等的四边形是菱形. (2)一组邻边相等的平行四边形是菱形。 (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 34、正方形的性质: (1)具有矩形、菱形的所有性质 (2)正方形的四个角都是直角; (3)正方形的四条边都相等; (4)正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.