向量与三角形内心、外心、重心、垂心
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍
(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1;
(2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;
(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;
(4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合
OA,OB,OC,0,1((1)是的重心. O,ABC
O(x,y),A(x,y),B(x,y),C(x,y)证法1:设 112233
,,xxx,123,x,(,),(,),(,),0xxxxxx,,3123,OA,OB,OC,0, ,,y,y,y(y,y),(y,y),(y,y),0123123,,,y,3,
是的重心. ,O,ABC
A证法2:如图
OA,OB,OC ?
,OA,2OD,0 EOAO,2OD ?
AD三点共线,且分为2:1 ?A、O、DO
BDC是的重心 ?O,ABC1,ABC(2)若O是的重心,则故S,S,S,S,BOC,AOC,AOB,ABC3OA,OB,OC,0 ;
1(3)为的重心. PO,(PA,PB,PC),O,ABC3
OA,OB,OB,OC,OC,OA,2. 为的垂心. ,ABCO
:如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC, D、E是垂足.
A OA,OB,OB,OC,OB(OA,OC),OB,CA,0
E,OB,ACOC,ABOA,BC, 同理,
O,为的垂心 ,ABCO
BDC,3.设,,是三角形的三条边长,O是ABC的内心 acb
aOA,bOB,cOC,0,O(1)为的内心. ,ABC
ABACABAC,?、?证明:分别为方向上的单位向量,平分, AB、AC,BACcbcb
bcbcABACABAC,,,AO,?),令 () ,?AO,,(cbcba,b,ca,b,c
aOA,bOB,cOC,0?化简得, (a,b,c)OA,bAB,cAC,0
,ABC(2) O是内心的充要条件是
ABACBABCCACBOA,(,),OB,(,),OC,(,),0|AB|AC|BA||BC||CA||CB|
4.为的外心。 ,OA,OB,OC,ABCO
典型例题:
P例1:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足A、B、CO
P,,,,,0,,, ,则点的轨迹一定通过的( ) OP,OA,,(AB,AC),ABC
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 分析:如图所示,分别为边的D、EBC、AC,ABCA中点.
?AB,AC,2AD
EOP,OA,2,AD ?
?OP,OA,AP BDC?AP,2,AD
P?APAD//点的轨迹一定通过的重心,即选. ?,ABCC
P例2:(03全国理4)是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点A、B、CO
ABACPOP,OA,,(,),,,,0,,,满足, ,则点的轨迹一定通过的( B ) ,ABC
ABAC
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
ABACABAC?、,分析:分别为方向上的单位向量,?平分, AB、AC,BAC
ABACABAC
PB?点的轨迹一定通过的内心,即选. ,ABC
P例3:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足A、B、CO
ABACPOP,OA,(,),,,,,0,,,, ,则点的轨迹一定通过() ,ABC
ABcosBACcosC
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
分析:如图所示AD垂直BC,BE垂直AC, D、E是垂足. AABACAB,BCAC,BC(,),BC,= EABcosBACcosCABcosBACcosC
BDC
,ABBCcosBACBCcosC
=,=+=0 ,BCBC
ABcosBACcosC
PD点的轨迹一定通过的垂心,即选. ?,ABC
练习:
PPA,PB,PC,01(已知三个顶点及平面内一点,满足,若实A、B、C,ABC
AB,AC,,AP数满足:,则的值为( ) ,,
3A(2 B( C(3 D(6 2
OA,OB,OC,0OA,OB,2(若的外接圆的圆心为O,半径为1,,则( ) ,ABC
11A( B(0 C(1 D( ,22
OA,2OB,2OC,03(点在内部且满足,则面积与凹四边形,ABC,ABCO
面积之比是( ) ABOC
354A(0 B( C( D( 243
HOH,OA,OB,OC4(的外接圆的圆心为O,若,则是的( ) ,ABC,ABC
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
222 5(是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,若 A、B、COA,BC,OBO
222,则是的( ) ,CA,OC,AB,ABCO
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心 6(的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,, OH,m(OA,OB,OC),ABC
则实数m =
????ABACABAC1???7((06陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )?BC=0且 ? = , 则2????|AB||AC||AB||AC|
?ABC为( )
A(三边均不相等的三角形 B(直角三角形
C(等腰非等边三角形 D(等边三角形
28(已知三个顶点,若,则A、B、CAB,AB,AC,AB,CB,BC,CA,ABC
为( ) ,ABC
A(等腰三角形 B(等腰直角三角形
C(直角三角形 D(既非等腰又非直角三角形 练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C