微积分什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分

微积分什么是微积分？它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分 有关-----《微积分》 PB08207226 舒小婷 什么是微积分,它是一种数学思想，„无限细分‟就是微分，„无限求和‟就是积分。无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。 微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。 (对于我们浅学微积分的大学生来说，莱布尼茨的影响感觉更大一些) 微积分是从四个方面的问题来的:(1)求曲线的长度、区域的面积、物体的体积等;(2)求曲线的切线;(3)求运动物体的速度;(4)求一些问题的极大、极小值。 当然，这些问题在一些简单的情形下，可以不用微积分，但当情形略为复杂一些 时，则非用微积分不可。而反过来，微积分的诞生，不仅能解上述这些问题，而且其用处大大地 超出了这些问题。 作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段(不可分量)拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备 “神奇”的阿基米德。 有人问～微积分不是由牛顿和莱布尼茨创立的吗～怎么会与相隔二千多年的阿基米德有联系呢,但实际情况确实如此。在十六世纪后半叶～牛顿和菜布尼茨在许多数学家所做的大量准备工作的基础上～各自独立地创立了徽积分。但微积分的原理～就可以追溯到古希腊人阿基米德所建立的确定面积和体积的方法。远在阿基米德那个时 代,公元前二百多年,～没有解析几何～甚至连发达的字母符号也没有～可是几何学在古希腊已经达到了惊人的繁荣。直到今天～在初等的几何学中我们还很难再添加多少新的东西。正是在这种历史条件下～阿基米德率先推导出了球、圆锥的体积～以及抛物线的弓形面积～他所采用的无穷小量求和的方法已经接近于积分演算。后人在介绍阿基米德这种方法的时候～又用现代的符号和术语进行了加工。下面以阿基米德推导抛物线的弓形面积为例～介绍他采用的无穷小量求和的方法。设有一抛物线 f(x)～求其与横轴x及直线x=p(p>0)所围的面积～即曲边三角形OMP的面积S。阿基米德是这样想的:设OP,l～将OP分成n等份。曲边三角形OMP被分割成n个带状面积元～这些面积元可近似地看成矩形～各条“带子”的宽度是1/n ～第k条带子的高是当处抛物线的纵坐标。所以第k条带子的面积是f(k/n)*1/n, 各条矩形带子的面积和S是曲边三角形OP M的近似面积～当x??时就得到曲边三角形OPM的精确面积S。曲边三角形OPM的面积求出后～再求抛物线弓形面积就十分容易了,图我打不出来～大家可以想出来的,。我们最感兴趣的还不是上面这个结论本身～而是阿基米德的思想方法～正是这种分解为无穷多个无穷小量之和的方法～在两千年后发展成为积分学。阿基米德当时也曾预言:“我认为在现时或未来的研究者中～总会有人会利用这里所提出的方法获得我还不曾得到的其他定理。”果然如此～他的方法在另一种历史条件下获得了新的发展和新的形式～牛顿、莱布尼茨建立了更加一般的 方法～并且给了一个恰当的名词:积分。 真正的微积分诞生 17世纪下半叶～欧洲科学技术迅猛发展～由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要～经各国科学家的努力与历史的积累～建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。微积分思想～最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年牛顿创始了微积分～莱布尼茨在1673，1676年间也发了微积分思想的论著。 以前～微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题～是分别的加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积(积分)、求切线斜率(导数)的重要结果～但这些结果都是孤立的～不连贯的。 只有莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来～明确地找到了两者内在的直接联系:微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系～才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中～总结出共同的算法程序～使微积分方法普遍化～发展成用符号表示的微积分运算法则。因此～微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的～但不是由他们发明的”。 关于微积分创立的优先权～在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上～牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨～但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。 德国数学家莱布尼茨,G(W(Leibniz 1646,1716,是从几何方面独立发现了微积分～在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过～他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的～不连贯的～缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积～运用学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学～造诣较莱布尼茨高一筹～但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹～既简洁又准确地揭示出微积分的实质～强有力地促进了高等数学的发展。 莱布尼茨创造的微积分符号～正像印度——阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样～促进了微积分学的发展～莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。 牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了～而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到～好的符号能大大节省思维劳动～运用符号的技巧是数学成功的关键之一～莱布尼茨使微积分更加简洁和准确。(所以我觉得莱布尼茨的贡献更大) 我与微积分 这学期,我第一次接触到微积分,我发现它是一个很神奇的东西。真的很难,我用大量的时间做题，但非常慢，有时一道题始终做不出。特别是几次测验发现自己和别的同学的差距很大，挺受打击的，让我庆幸的是慢慢的好像找到一点感觉了。据我所知,微积分在现代军事、物理、建筑等等方面都有很重要的作用。目前对于我来说,自从学了微积分,我会计算很奇怪很奇怪的图形的面积,会求熵变,在化学中,,会算两个不是质点物体的万有引力,会求不是理想形态物体的重心,我感觉最好的是高中时期死记硬背的物理公式现在可以自己用微积分推出来,不过貌似在实际生活中并没有什么太大的意义。但是正如我们都知道的我们学数学并不是为了学会怎么去解一道题,而是为了在解这道题的过程中锻炼我们的思维,体会头脑高速运转的感觉,这些很奇特的抽象的东西将会为我们后来的科学道路铺上一层柔软的带着思维芳香的细沙。希望我在下学期能够更深入的体会到微积分中的美感,能够更加享受学习微积分的乐趣。 麦田怪圈(与数学有关的超自然美景) 继续作三等分三角形 „„„„无限下去 会 怎么样,,