周长为定值的三角形中等边三角形面积最大[精彩]

在周长为 2p (常数) 的一切三角形中，等边三角形面积最大。一:设三角形的三边长为x, y， z, 则面积为Sp(px)(py)(pz)=--- 为简化计算，取目标函数: uf(x,y,z)2lnSlnpln(px)ln(py)ln(pz)===+-+-+- 而约束条件为 f=++-=(x,y,z)xyz2p0 取 F(x,y,z,)f(x,y,z)(x,y,z)l=+lf =+-+-+-+l++-lnpln(px)ln(py)ln(pz)(xyz2p) 骣2p-1琪禳?F(px)0=--+l=x3骣琪x镲0-1镲琪?F(py)0=--+l=2p琪y睚y=令， 得到唯一驻点: 琪0-1琪3?F(pz)0=--+l=镲琪z琪z桫0镲2p琪?Fxyz2p0=-=++îþl琪桫3 ppp12\==Sp()()()p max33333 证明二: ,设三角形的三个边长分别是X，Y，Z.面积是.由海伦公式，有 , = P(P,X)(P,Y)(P,Z) 已知X+Y+Z=2p或Z=2P-X-Y，将它代入(8)式之中，有 , = P(P,X)(P,Y)(X，Y,P) ,因为三角形的每边长是正数而且小于半周长p，所以的定义域 2,,,,，，X,Y|0,X,P,0,Y,P,X，Y,P D= 已知的稳定点与的稳定点相P同. 为计算简便，求 2,,==(P-X)(P-Y)(X+Y-P)的稳定点.解方程组, P ',,x,y,,(p,y)(x，y,p)，(p,x)(p,y),(p,y)(2p,2x,y),0，，,x,'，，,x,y,,(p,x)(x，y,p)，(p,x)(p,y),(p,x)(2p,2y,x),0,y, 2p2p,,在区域D内有唯一稳定点求二阶偏导数. ,,,33,, "", , ，，,x,y,2(x，y),3p,(x,y),,2(p,y)xyxx " ,(x,y),,2(p,x)yy" 2"""222,,,(x,y),,(x,y),(x,y),4x，4xy，4y,8px,8py，5p 在稳定点xyxxyy 2p22p2p,,，?=, A=-p,0从而，稳定 ,,0,,,3333,, 2p2p2p2p,,,,点是函数极大点。由题意，在稳定点必取到最大值. 故，,,,,,,,,2P2P2P3333,,,,形的面积最大当X= ，Y=.时，Z=2P-X-Y=即三角形三边长的和为定数时，等边三角333