利用角平分线定理证明几何题

利用角平分线定理证明几何题 利用角平分线定理证明几何题 证明咒何题 口河北冯爱雪 利用角平分线的有关定理,我们不但可以用尺规作图的方法将角 二,四,八,…等分,而且还可以利用它们简捷地证明几何问题. 例1如图1,OC平分AOB,P是OC上一点,D是OA上一点,E 是D上一点,且PD=PE.求征:PD0+/PE0:180.. 分析:要证PD0+PE0:180..PD0, 舾.在图形的不同位置,又无平行线使它们联 系起来,但若考虑设法把其中的一个角转化为另 一 个角的邻补角,问题便可解决.由于OC是角平 分线.故可过P点作两边的垂线.构造出两个直角 三角形再证明这两个三角形全等即可. NE 图1 证明:过点P作PM上0/4,删上D日,垂足分别是, 因Dc是角平分线.PM上OA,PN上DB,故PM=PN. 由PD=PE.PM=PN.得RtADRt?PNE. . ? .MDP=NEP-PEO=/MDP.丽MDP+/PDO:180o. . ' ./PD0+/PE0=180.. 吉渺遇到角平分缕问题,我们可以过平分线专的_点巍这个1 角的两边引垂线以便充分运用角平分线定理.J 例2如图2.在?/4BC中,BAC的平分线与BC边的垂直平分线 丫丫.'r]r丫丫丫丫丫丫丫,r'r,r丫]广,r 思考题在建筑楼梯时,设计者要 考虑楼梯的安全程度,如图3, 倾斜的虚线为楼梯的斜度线, 斜度线与地板的夹角为倾角 0.一般情况下,倾角0愈小, 楼梯的安全程度愈高.设计者 为提高楼梯的安全程度,要把 楼梯的倾角由0.减至0,这样 l一一—— 图3 1 I 楼梯占用地板的长度由d.增加到d:,已知di=4m,Oi=40.,0z=36~.楼梯占 用地板的长度增加了多少?责任缛辑/田心红 ,篓罂啜 lI学一皇一堡l1.1I堑l哥l】堕?;0 .I-"<夏亟垂),一?0……__…一O I 相交于点P,过点P作AB,AC(或延长线)的垂线,垂足分别是,,v. 求 证:BM=CN 分析:要证BM=CN,j图形特征可构造以BM,CN为边的两个三角 形,并诳明这两个角形全等.考虑BAC的平分线与BC边的垂直平分 线相交丁点P,于是连接,Pc.则利用垂直平分 线和角平分线的知识即可解决. 证明:AP是角平分线,上AB,PN上AC,故 PM=PN. 又是C的垂直平分线.故PB=. PB:PC.pM=PN.嵌RtAPBM'兰RtAPcN . ? . RM:CN.图2 这是一道垂直平分线与角平分线的综合运用问题.上述解, 答省去了两次全等的证明,相信同学们一定能体会到线段的垂 直平分线定理与角平分线定理在几何证明中的重要性. 责任缉辖/田.红 2005年5月号"初中数学操作探究知识竞赛"参考答案 1.第1次把小的圆片放到B柱上;第2次把中间大的圆片放到C柱上;第3次 把小的网片从柱放到C柱上;第4次把大的圆片从A柱上放到柱上;第5次把 小的圆片从C柱放到A柱上:第6次把中间大的圆片从C柱放 到柱上:第7次把小的圆片从A柱放到柱上.故选B. 如图l,假设圆形铁片的圆心为0,由于圆形铁片与直线, 三角板的斜边相切,所以OP.LPA,OM上A根据切线长定理,PA= AM.又因为靠近桌面的三角板的锐角为60.,所以OALOAM= 60o.由于=5en1.因而0PAtan60.:5,v/3en1.故选C. 3.观察图的结构(如图2),发现所有奇数的平方数都在 第四象限的角平分线上.45=2025,由2n+l=45,得n=22,所 以2025的坐标为(22.一22).义20O4和2025的纵坐标均 为一22.2OO4在2025的左边,2004=2025—21,所以20O4 的坐标是(1,一22). 4.如图3.另一条直角边与AD交于点 , 则APDE—ABCP.^ 证明:在APDE和?CP中,因l+ 3=90..2+3=90.,故l=2.又 PDE=BC90..故?PDE—ABCP. 或:如图4,若另一条直角边与BC的. 延长线交于点.同理可证?尸(一aBCP. 丽. PA 图l 图2 图3图4 .1申=至一散=理=化l1.一初一申一版一?o