地理教学材料－地球上任意两点间最短距离计算公式的推导方法

地理教学－地球上任意两点间最短距离的推导方法 在讲《世界地理》的“世界的交通和联系”一节时，课文中有这 样一段：“越过北冰洋的航空线是联系亚、欧和北美三大洲的捷径。从东京到伦 敦，沿北极圈飞行，比经过莫斯科能缩短1100公里。现在从东京到西欧和美国已开辟有穿过北极上空的航线”。当讲到此时，学生们便常问：为什么沿纬线飞 行反而要远些？第八章“南极洲”讲到交通位置的重要性时，也常提到同样的问 题。对这个问题我们知道，地球上的两点的最近距离应是这两点的大圆弧，而除 赤道以外的其它任何同在一条纬线上的两点，它们的纬线并不是经过这两点的大 圆弧，所以要远些。那么地球上任意两点间的最短距离（大圆弧）又怎样计算呢？ 对上面这一问题，可通过用几何和三角作一个简单的推导，如下： 分别相交于A′和B′。分别用直线连接这四点成四条弦，这四条弦构成了 一个等腰梯形AB′BA′，即两腰AA′=BB′。 然后以这梯形的两腰分别作底边，以地心O点作顶点，又可做出两个等腰三角形，?BOB′和?AOA′。而这两个三角形的顶角：?BOB′=?AOAc 可用平面三角法，求出梯形的两腰： 又设图中r 和r分别为B和A的自转半径 12 而?AOB′和?A′OB又是以δ-δ为顶角的等腰三角形，通过平面三角法2121 又可求得梯形的上下两底长： 将??或分别代入上两式即得： 在求出等腰梯形四边的长度后，再计算其对角线AB（弦）的长度。 通过图中所引的辅助线后，可算出： 在直角三角形ACA′中： 222=AA′-A′C AC 在直角三角形ACB中： AB222=AC+BC 将?、?式代入上式： 即：AB22=AA′+AB′?A′B„„„„„„„„„„„„„„? 若再设AB弦对应地心?点的圆心角为θ，则?AOB又是以地球半径R为两 腰的等腰三角形： 将此式和前面的???代入?式： 由上面公式即可求得地球上任意两点分别与地心连线的夹角θ，只要求出θ，就可求出过这两点间最大圆弧长，也就是这两点最近距离S。 最后必须指出：该公式是考虑地球是正圆球时推导的。另外，在运用公 经为正，西经为负。