整数概念

整数概念 目錄 整數概念 ............................................................................................................................... 3 一、數學結構 ................................................................................................................3 (一)阿拉伯數字的由來 ..........................................................................................3 (二)數系家族 ..........................................................................................................3 二、綱要結構 ................................................................................................................5 ※一年級 ................................................................................................................5 範疇 ........................................................................................................................5 基本能力 ................................................................................................................5 重點細分 ................................................................................................................5 ※二年級 ................................................................................................................6 範疇 ........................................................................................................................6 基本能力 ................................................................................................................6 重點細分 ................................................................................................................6 ※三年級 ................................................................................................................6 範疇 ........................................................................................................................6 基本能力 ................................................................................................................6 重點細分 ................................................................................................................6 ※四年級 ................................................................................................................7 範疇 ........................................................................................................................7 基本能力 ................................................................................................................7 重點細分 ................................................................................................................7 ※五年級 ................................................................................................................9 範疇 ........................................................................................................................9 基本能力 ................................................................................................................9 重點細分 ................................................................................................................9 ※六年級 ................................................................................................................9 範疇 ........................................................................................................................9 基本能力 ................................................................................................................9 重點細分 ................................................................................................................9 三、認知結構〆 .......................................................................................................... 10 四、教學策略〆 .......................................................................................................... 11 :一:加法與減法 ............................................................................................... 12 :二:乘法 .......................................................................................................... 12 :三:除法 .......................................................................................................... 13 1.直接表徵 .................................................................................................... 13 2.數值上的加速處理 .................................................................................... 13 3.減法 ........................................................................................................... 13 1 4.加、減與乘法〉 ........................................................................................ 13 5.分配率〉 .................................................................................................... 14 :四:四則運算................................................................................................... 14 五、評量範疇〆 .......................................................................................................... 14 一年級 .................................................................................................................. 15 評量範疇 .............................................................................................................. 15 能力指標 .............................................................................................................. 15 二年級 .................................................................................................................. 15 評量範疇 .............................................................................................................. 16 能力指標 .............................................................................................................. 16 三年級 .................................................................................................................. 16 評量範疇 .............................................................................................................. 16 能力指標 .............................................................................................................. 16 四年級 .................................................................................................................. 17 評量範疇 .............................................................................................................. 17 能力指標 .............................................................................................................. 17 五年級 .................................................................................................................. 18 評量範疇 .............................................................................................................. 18 能力指標 .............................................................................................................. 18 六年級 .................................................................................................................. 18 評量範疇 .............................................................................................................. 18 能力指標 .............................................................................................................. 18 2 整數概念 一、數學結構 (一)阿拉伯數字的由來 這個阿拉伯數字是怎麼來的呢〇它其實是一千五百年前由印度人創造出的數字符號,由於海上貿易的緣故傳入南歐西班牙。一直要到西元八世紀時,西班牙與阿拉伯人發生爭戰,才由學會了印度數字的阿拉伯人傳入西歐各國。也就是在這樣誤打誤撞的情形下,印度人發明的符號變成了大家所謂的阿拉伯數字 。 阿拉伯數字是由印度人所發明的,而印度人的數學水平是世界最高的。波斯帝國征服印度,我們現在使用的阿拉伯數字,是印度人在西元第三世紀發明的。波斯帝國征服印度,便傳入阿拉伯。而大食帝國興起,該數字系統又從阿拉伯傳到西班牙。歐洲人以為是阿拉伯人發明的,故稱做『阿拉伯數字』不過,現又正名為『印度?阿拉伯數字』。但大多數人仍習慣稱做阿拉伯數字。便傳入阿拉伯。而大食帝國興起,該數字系統又從阿拉伯傳到西班牙。歐洲人以為是阿拉伯人發明的,故稱做『阿拉伯數字』不過,現又正名為『印度?阿拉伯數字』。但大多數人仍習慣稱做阿拉伯數字。 在西元,,,年左右,一位波斯數學家寫了一本數學著作,書中用的數系,便採用這套數字系統。一直到了西元,,,,年,這本書有了拉丁文譯本,才令阿拉伯數字在全歐大為流行,起了取代羅馬數字的作用。不過,一直要到十五世紀後,阿拉伯數字的寫法才確定下來,與我們今天見到的寫法相同。 今天所見的阿拉伯數字,是,,,的符號,共十個符號組成。因為排列整齊,方便大量、繁複的運算。且由於工業革命後,歐洲國力大增,阿拉伯數字廣為全球使用,成為全球的共通數字系統。早期其他的數系都有一個表示10的符號,但卻沒有0。而阿拉伯數字則由,,,,加上,能夠明確標出位數不同的差異,例如〆205與250。這使得人們在進行乘除運算時,更為簡單,而且容易檢查、不易出錯。也因為有了這套數字系統標示法,令數學迅速發展,奠定了今天的科學基礎。 (二)數系家族 3 複 數 實虛 數數 有無 理理 數數 整分 數數 正零負 整整 數數 整數是由自然數延伸出來的,在整數系中,自然數為正整數,稱0為零,稱-1,-2,-3,…,-n,… 為負整數。正整數,零與負整數構成整數系。 1、正整數〆正整數1、2、3…等為人類用來數物的數,可稱為計物數,又稱自然數。 2、零〆零不僅表示「無」,更是表示空位的符號。中國古代用算籌計算數並進行運算時, 空位不放算籌,雖無空 位記號,但仍能為位值記數與四則運算創造良好的條 件。印度,阿拉伯命數法中的零:zero:來自印度的:sunya :字,其原意也是 「空」或「空白」。中國最早引進了負數。,九章算術〃方程》中論述的「正負 數」,就是整數的加減法。減法的需要也促進 了負整數的引入。減法運算可看 作求解方程a+x=b,如果a,b是自然數,則所給方程未必有自然數解。為了使 它恆有解,就有必要把自然數系擴大為整數系。 何謂”0”〇不同的層面有著不同的解釋與其代表意義〆 , 零是一個概念,它表示”一無所有”。如3減3等於零々 , 在位值制記數法中,零表示”空位”,同時起到指示數碼所在位置的作 用。如阿拉伯數碼中零記作”0”,在304中的0表示十位上沒有數,而3 是在百位上,表示三百々 4 , 零本身是一個數,可以同其他的數一起參與運算々 , 零是標度的起點或分界,如每天的時間從0時開始,數軸上0是正負數的 分界,溫度計以0?為零上零下的分界等等。 3、負整數〆,1、,2、,3…等是正整數前多了負號,稱為負整數。 4、自然數〆建立自然數概念通常有基於基數與基於序數兩種方法。基於基數的自然數 概念可溯源於原始人類用匹配方法計數。古希臘人用小石卵記畜群的頭數 或部落的人數 。事實上,英文calculate:計算:一詞是從希臘文calculus :石 卵:演變來的。中國古藉,易〃系辭》中說〆「上 古結繩而治,後世聖人 易之以書契。」這些都是匹配計數法的反映。但直至1889年,皮亞諾才建 立自然數序數 理論。 以下是香港的課程綱要,不是我二、綱要結構 國92.11.14公佈的綱要喔〈老師 國小整數教學的課程目標在於〆 :a: 從計數開始,學習位值的約定與換算,並在演算中,逐步熟悉,最後能掌 握大數。 :b: 在二年級下學期,理解算術的樞紐?九九乘法,作為日後所有計算的基礎。 :c: 到四年級時,能夠不拘泥於位數,熟練加、減、乘、除的直式計算。 :d: 五年級時熟悉整數四則混合計算。 :e: 在六年級時,理解基本的因數分解與質數概念,並與分數運算相互加強,建立完 整的數字感。 ※一年級 範基本能力 重點細分 疇 數 N2-1 (20以內的數的認識) ? 數、讀及寫出20以內各數,包括順數和倒數 ? 認識20以內各單數和雙數 ? 排列20以內的數 ? 認識零 N2-2 (100以內的數的認? 數、讀及寫出100以內各數,包括順數和倒數 識和位值) ? 理解個位及十位的意義 ? 以兩個、五個或十個一數的方法數100以內的數 ? 排列100以內的數 ? 理解加法及減法的概念 N3-1 (基本加法和減法) ? 計算10以內的加法 ? 計算三個數的連加 ? 計算10以內的減法 ? 計算18以內的加法和減法 ? 理解加法交換性質 ? 解有關18以內的基本加法及減法應用題 ?(只頇寫出) ? 計算兩個位以內的加法,包括進位 N3-2 (兩個位以內的加法? 計算兩個位以內的不退位減法 和減法) ? 計算三個兩個位以內的數的連加 ? 解有關兩個位以內的數的加法及不退位減法應用題 5 ※二年級 範疇 基本能力 重點細分 數 N2-3 (三位以內的數的認? 數、讀及寫出1000 以內各數 識和位值) ? 理解個位、十位及百位的意義 ? 排列1000以內的數 ? 理解加法及減法的關係 N3-3 (三個位以內的加? ? 計算三個位以內的數的加法,包括兩次進位 法、兩個位以內的減法和? ? 計算兩個位以內的數的退位減法 加減混合計算) ? ? 計算三個三個位以內的數的連加 ? ? 計算兩個位以內的數的加減混合題,每題運 算次數不超過兩次 ? 解答三個位以內的數的加法簡易應用題 ? 解答兩個位以內的數的減法簡易應用題 ? ? 理解乘法的概念及倍的意義 N3-6 (基本乘法) ? ? 計算基本乘法〆一數是一個位,另一數是10 以內 ? ? 理解及應用乘法交換性質 ? ? 解乘法簡易應用題〆一個位乘10以內的另 一數 N5-2 (香港百元以內的貨 幣) ? 辨認百元以內的貨幣和作簡單換算 ? 使用百元以內的貨幣,包括找續 ? 讀出百元以內商品的標價牌 N2-4 (四位以內的數的認? 數、讀及寫出四個位以內的數 識和位值) ? 理解千位的意義 ? 排列四個位以內的數 ? ? 計算三個位以內的數的加法 N3-4 (三個位以內的加? ? 計算三個位以內的數的一次退位減法 法、減法和加減混合計算) ? ? 計算三個位以內的數的二次退位減法 ? ? 計算三個位以內的數的加減混合題,運算次 數不超過兩次 ? ? 利用加法驗算減數結果 ? ? 解有關三個位以內的數的加法和減法應用題 ? ? N3-7 (基本除法) ? 口述及記錄分物結果及認識除法 ? 認識乘和除的關係 ? ? 計算一位數除兩位數的整除除法 ? ? 計算一位數除兩位數的有餘數除法 ? ? 解基本除法應用題〆除數一個位,被除數兩 個位,商數一個位 ※三年級 範疇 基本能力 重點細分 數 N2-5 (五位以內的數的認? 認識萬位的意義 識和位值) ? 讀及寫出五個位以內的數 ? 排列五個位以內的數 ? ? 寫出100以內2至11各數的倍數,並描述N1-1 (倍數的性質) 它們在不同數表(包括10行表)中的分佈形象 ? ? 認識倍數的性質,包括倍數間的距離,單數 及雙數,3及9的倍數之和 6 ? ? N1-2 (因數的認識) ? 認識因數 ? 找出一個數的所有因數 ? 認識因數和倍數的關係 N3-5 (四個位以內的加法? ? 計算四個位以內的數的加法(包括三次進位) 和減法) ? ? 計算四個位以內的數的減法(包括三次退位) ? ? 計算四個位以內的數的加減混合題 ? ? 計算有括號的四個位以內的數的加減算題(運 算次數不超過三次) ? ? 理解及應用加法結合性質 ? ? 應用加法結合性質及交換性質 ? ? 解有關四個位以內的數的加法及減法應用題 ? ? N3-8 (乘數一個位、被乘? ? 計算不進位的兩位數乘法 數三個位以內的乘法) ? ? 計算進位的兩位數乘法 ? ? 計算三位數乘法,包括帶零的算題 ? ? 解乘法應用題〆一個位乘三個位 N3-9 (除數一個位、被除? 計算一位數除兩位數的無退位除法 數兩個位的除法) ? 計算一位數除兩位數的退位除法 ? 解除法應用題〆除數一個位、被除數兩個位 N3-10 (除數一個位、被除? ? 計算一位數除三位數的無退位除法 數三個位的除法) ? ? 計算一位數除三位數的有退位除法 ? ? 計算一位數除三位數,而被除數或商數包含 零 ? ? 解除法應用題〉除數一個位,被除數三個位 N3-11 (加、減、乘、除混? ? 合計算,涉及括號的應用) ? ? 計算「乘、加或減」、「除、加或減」、「乘、 除」混合式題 N5-4 (貨幣的化聚及四則? ? 解答「乘、加或減」、「除、加或減」、「乘、計算) 除」混合應用題 ? ? 讀和寫出商品標價牌 ? ? 認識和計算貨幣的化聚(只包括「元、角」) ? ? 計算簡單貨幣四則運算題 N4-1 (分數的認識) ? ? 應用四則解答貨幣應用題 ? ? 認識分數作為整體的部分和常見的分數,包 括?、?等 ? ? 認識1與分數的關係,包括1=,1=等 N4-2 (同分母分數加法和? ? 認識一組物件的部分(分數)與部分數量的關減法) 係 ? ? 計算同分母分數的加法和減法(一次運算) ? ? 計算同分母分數的連加和連減(兩次運算) ? ? 計算同分母分數的加減混合題(兩次運算) ? ? 解同分母加減的簡單應用題(運算不超過兩 次) ※四年級 範疇 基本能力 重點細分 數 N6-1 (用列舉法求最大公? ? 從十行表上找出兩個數的公倍數 7 因數和最小公倍數) ? ? 用列舉法求兩個數的倍數,從而找出它們的 公倍數及最小公倍數 ? ? 用列舉法求兩個數的公因數及最大公因數 ? ? 用短除式求兩數的最大公因數 N7-2 (乘法(乘數為兩位? ? 數)々除法(除數為兩位數)) ? 計算兩位數乘兩位數及兩位數乘三位數 ? ? 認識乘法結合性質 ? ? 運用乘法的結合及交換性質 ? ? 解乘法應用題〆三個位以內與兩個位以內 ? ? 計算兩位除兩位、兩位除三位、兩位除四位 ? ? 解除法應用題〆除數兩個位、被除數四個位, 包括不直接以除得之商為答案之應用題 N7-3 (四則混合計算(包? ? 括括號的運用)) ? ? 計算括號的簡單整數混合式題(運算不超過四 次) N7-4 (乘法(乘數為三位? ? 解包括括號的整數四則混合應用題 數)) ? ? 計算兩數的乘法,三個位乘三個位以內 ? 解乘法應用題〆三個位乘三個位以內 N7-5 (除法(除數為三位 數)) ? ? 計算除法,除數為三位數 ? ? 解除法應用題〆除數三位內,被除數四位內 N7-6 (用歸一法解正比例? 認識正比例的概念 問題) ? 用歸一法解答正比例的簡易應用題 ? 認識真分數、假分數和帶分數 N8-1 (同分母分數加法和? 計算假分數和帶分數的互化 減法) ? 認識擴分和約分的概念和規則 ? 計算同分母分數加法及同分母分數減法 ? 計算同分母分數加減混合題,運算不超過兩次 ? 解同分母分數加減簡易應用題 ? 認識用通分比較分數的大小 ? 計算異分母分數加法及異分母分數減法 N8-2 (異分母分數加法和? 計算異分母分數加減混合題,運算不超過兩次 減法) ? 解異分母分數加減簡易應用題 ? ? 認識小數的意義和位值 ? ? 讀、寫和排列小數點後三位以內的小數 ? ? 認識在日常生活中以小數記錄的事例 N8-4 (小數加法和減法) ? ? 計算小數點後兩位以內小數的加法及其減法 ? ? 計算小數點後兩位以內小數的加減混合題, 每題運算次數不超過三次 ? ? 解小數加法、減法和加減混合算法簡易應用 題 ? ? ? ? 計算小數點後兩位以內小數的乘法,乘數為N8-5 (小數乘法和除法) 整數 ? ? 計算小數點後兩位以內小數的除法,包括小 數除以整數及整數除以整數,用四捨五入法取近似 值及將答案取小數點後兩位 ? ? 計算小數點後兩位以內小數的簡易四則混合 題,算題的運算次數不宜超過兩次 ? 解小數乘法及小數除法簡易應用題 ? 解小數四則混合簡易應用題 N8-6 (平均數) ? ? 計算一組數據之平均值,盡量從日常事例中 8 取材 ※五年級 範疇 基本能力 重點細分 數 N6-4 (質數和合成數) ? ? 認識質數和合成數 ? ? 用「愛氏篩」找出100以內的質數 N7-1 (多位數的認識,包? ? 讀、寫和排列日常事例中的大數(十億以下),括近似值和大數量的估包括用「隔位」寫法 計) ? ? 理解大數的位值 ? ? 用四捨五入法寫出大數的近似值,用「千」、 「萬」、「十萬」、「百萬」等為記數單位 ? ? 估計大數量 ? ? N8-3 (分數乘法和除法) ? ? 計算分數和整數的乘法 ? ? 計算分數和分數的乘法 ? ? 計算分數和整數的除法 ? ? 計算分數和分數的除法 ? ? 計算分數連乘和分數連除 ? ? 計算分數乘除混合,運算次數不超過兩次 ? ? 解分數簡易應用題包括找出一數為另一數的 幾分之幾々及包括找出一數的幾分之幾 ? ? 認識乘法分配性質 ? ? 運用乘法分配性質簡化計算 ? ? N6-2 (用因數分解法求最? ? 找出150以內的質數 大公因數和最小公倍數) ? ? 把合成數寫成質數的乘積 ? ? 認識指數記法及應用指數記法表示合成數 ? ? 認識及運用因數分解法求不超過三個數的最 大公因數及最小公倍數 N7-7 (用歸一法解反比例? ? 問題) ? 理解反比例的概念 ? 用歸一法,解答反比例的簡易應用題 N8-7 (較複雜的小數乘法? ? 計算小數點後兩位以內小數的乘法 和除法) ? ? 計算小數除法,除數的小數位不超過兩個 ? ? 解小數乘法和除法的簡易應用題 ? ? 小數化分數 ? ? 分數化小數,答案取至百分位 ? ? ? ? 認識百分數和百分率 N8-8 (百分數) ? ? 百分數與小數、分數的互化 ※六年級 範疇 基本能力 重點細分 數 N6-3 (用短除法求最大公? ? 用「短除法」求最大公因數及最小公倍數 因數和最小公倍數) N6-5 (平方和平方根) ? ? 認識及計算整數的平方 ? ? 用視察法求不大於200的平方數的平方根 ? ? N6-6 (古代數字) ? ? 認識中國古代數字及其記數法 ? ? 認識羅馬數字及其記數法 9 N6-7 (計算工具的) ? ? 列舉一些古代的計算工具 ? ? 認識中國算盤的記數法:增潤項目: ? ? 認識珠算的加減法:增潤項目: N8-9 (百分數的應用) ? ? 求百分率 ? ? 根據百分率求出數值 ? ? 用歸一法或方程解答由部分求原數的應用題 ? ? 解有關折扣的簡易應用題 三、認知結構〆 兒童初步數知識的三個認知系統 Ginsburg認為兒童初步「數」的知識,是由三個認知系統所共同運作的概念化〆 1. 系統1?自然的、非形式的〆兒童經驗過一些不頇數值回答的量的問題。例如不頇數 數立即判斷哪一堆多,由於不頇數數或特殊文化的傳授技能,而被說為自然的或非 形式的。 2. 系統2?非形式的、文化上的〆兒童在上學前就開始經驗一些數詞並應用於計數個 物,並漸漸擴大計數活動的範圍及能說出較大的數詞,以及使用數數解決各種實際 的問題。計數是本系統的主要成分,它是在校外發展,不過來自文化,經由成人、 書籍、電視媒體等的教導,因而被說為非形式的以及文化上的。 3. 系統3?文化上的、形式的〆兒童進入學校後,開始有系統的教以符號的、化的、 算則的算術。這些文化上的發明,比系統2更有效率解題,而被說為文化上的及形 式的。 而然Carraher的研究指出,有些兒童在進入學校前具有兩好的非形式的數學知識,但進入學校之後卻無法學得學校所教的這些更有效率、形式的數學知識。例如〆此研究中,在街道上幫忙爸媽賣東西的兒童,能彈性的使用數的合成和分解,處理買賣等金錢上的交易,而他們卻有困難學會學校形式的、算則的數學。此時的學生正位於「系統2」到「系統3」的轉形期,而從Carraher的研究更提醒我們要注意銜接學生非形式的既有知識於教學中。 學生發展數數的四個階段 簡單的說,計數個物是從數的順序觀點轉移到數的基數觀點。數的順序觀點指〆給予一個數表示一堆個物的多少。 Schaeffer,Egglestion & Scott將學生早期計數個物的能力,分為以下四個發展階段〆 1. 第一階段〆點數前的表現,只無法正確點數5個:或以上:的個數,且上無數的順 序觀點。 2. 第二階段〆順序的觀點,能計數5個:或以上:的一排個物,至少頇有下列三項要 求〆 (1) 穩定的順序原則?數數時能以固定順序的一串標準數詞序列唱數。 10 (2) 一對一對應原則?如下圖 1 2 3 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 當沒有按此一對一對應原則時,可能出現下列的錯誤〆 A. 區分錯誤〆錯誤來自無法將『數過的』及「尚未數過的」區分出,導致重複 數、漏數或太早結束。 B. 指派數詞的錯誤〆如使用相同的數詞兩次於不同的個物,或在指派數詞於個 物時,使用跳躍或錯誤的數詞序列。 C. 來字數詞與個物無法協調的錯誤〆如只唱數與點數個物之間的協調。錯誤可 能來自開始或結束或過程中沒有同步大多是漏掉或重複最後一個個物。 (3) 基數原則?指數數過程與「有多少個物」的連結。 A. 當給予6個個物,問一共有多少個〇學生可以唱數1、2、3、4、5《《,但 無法表達這堆個物的數量。或者點數完再經過遮蓋後,問學生這堆個物的數 量時,他頇重數:經常是以記得的位置重數:或者說出另一個答案。 B. 給予一堆個物,問數量多少〇經學生點數後,在變換這些個物的位置,學生 還需要重數。 C. 當個物越多時,越容易降低使用基數的規則。 D. 有6個個物排成一排,問數量為多少〇經學生逐一點數後,回大6個,接著 問〆「你說的6個在哪裡〇」,學生可能指的是第6個。 言之,第二階段的學生,不像第一階段的學生,似乎了解需要數數的過程。簡 一般缺乏將數到最後的「數」連結到此堆個物的數量,而且是守恆的。雖然學 生以經驗數的順序觀點,且可能了解較少數量的基數觀點,但是他們尚未將數 的兩種觀點:序數觀點與基數觀點:建立良好的連結。 3. 第三階段〆基數的觀點,此階段學生具有以下特徵〆 (1) 此階段學生能應用「基數規則」,但是不像第四階段的學生,能了解「7一定比 6多」。 (2) 能應用數數過程得到總數是多少。 (3) 能在覆蓋後直接說出剛剛計數的數。 (4) 尚未能將數數的順序,應用於兩堆個物多少的比較。 4. 第四階段〆數的相對大小,此階段的學生已領悟數數的過程,並可使用於兩堆個物 多少的比較。且更能利用自然數:1-10:的口語方式,解決一些簡單的口語算數的 情境問題。 四、教學策略〆 人類本身的神經系統具有「線性順序」的功能,所以孩子能夠自然的從1唸到10、20、50或100,這是人類神經系統的自然表現。在孩子開始有「數數歌」:也就是能1『唸到』10的能力,就可以開始教孩子數數的活動了。是「數詞序列」的練習,學童在此時是一對一對應的關係練習,強調「手指一物、口吐一聲」,讓小朋友先手指著一個 11 圈,而且確定動作完成時在請小朋友口中讀出「1」,以這樣進行數數練習。 :一:有些學童明明就會做「數數」但是卻老是答錯,問題就是出在這裡了〆他的讀的動作快於手的動作,就可能發生重複點數的錯誤了。當學生出現這樣的問題,便可要求他「手指一物、口吐一聲」來練習,也可以告知家長利用此方法來協助這方面有困難的學生。 :二:當學童在進行數數時,老師提問為〆圈圈裡有幾個〇 如果學童回答〆1、2、3、4、5,則教師此時必頇引導回答〆5個:數學的標籤化,用意在建立「數的概念」: :三:小朋友要從1數到20並不困難,但20以後,老師可以用每次加1的方式、建立學生數持續列的概念。進入29再加1成為多少時〇要和學生做「命名」的動作,以「類推的方式」教學並幫助學生轉化。做幾次練習後便可克服循環的干擾,順利數完1到100。同時進行10的概念教學。 :四:老師在教數數時不必很辛苦的一定要孩子完整的1數到50、100的可利用49到60或 71到80等分段練習就可以了。不要累壞老師及學生又達不到學習的效果。 結束「數數」的數詞序列活動後,接下來就開始進入合成或分解的解題活動,也就是我們所說的「加加看」和「減減看」的教學了。 :一:加法與減法 1.透過具體物的合成或分解來解決問題情境,提供學童分解與合成運作的具意意義。 2.經常問學童的解題過程,或「你怎麼想到:知道:這個答案的〇」,可引導學童的注意力,由「答案是什麼〇」轉移到「這是怎麼做的〇」另一方面,開始培養學童自我檢查過程、驗證答案的習慣。 3.初教新題型,先分段佈題,如『比較型』〆多多少〇少多少〇?先問「誰多〇誰少〇」再問「多多少〇少多少」 4.算式填充題剛出現時,應先強調「這個問題要我們做什麼」的溝通問題,再強調「括號裡應填什麼」的運算問題。 5.練習新題型時,如〆兩步驟的應用問題、進退位《,在「添加」「併加」、「拿走」三種基本問題類型範圍,加以變化,並使用適當數字作練習。 :二:乘法 1.先進行單位數為一位數之「單位量轉換問題」的解題活動,例如,「一輛汽車有四個輪子,五輛汽車共有幾個輪子〇」。:由兒童自行解題: 2.其次是溝通所謂的5個「4」來描述上述的「單位量轉換問題」的意義。並進行「幾個幾」的數之「單位量轉換問題」的解題活動。 3.然後進行形成用「4的5倍」來表示「5個4」的活動。 4.最後進行形成用「,,,,,,」的格式來記錄「單位量轉換問題」的問題與結果。 12 :三:除法 1.直接表徵 指透過某些具體物或圖示表徵問題,並模擬問題的情境以解決此問題。 ? ? ? ????? ?? ?? ?? ??????15 ??6 ??6 ??6???? ?? ?? ?? 2.數值上的加速處理 首先學童畫出問題中除數的圖像表徵:可能只是點或更具體的圖畫:,接著以數字表示每一回處理的物件個數,寫在除數的圖像表徵底下。例如,B生:一年級:處理24個汽球平分給4個人,及C生:二年級:處理66?3的方式如下。 B生 ? ? ? ? C生 66?3,22 5 5 5 5 20 20 20 1 1 1 1 2 2 2 6 6 6 6 22 3.減法 (1)以「一次分一個」的方式解決等分除問題。 例如D生:一年級:解「18個糖果平分給3個小朋友,一個人分到幾個〇」解釋他如下的作法為,每一次用掉:分出去:3個糖果。 18,3,15 15,3,12 12,3,9 9,3,6 6,3,3 3,3,0 (2)以估計處理等分除問題。 例如E生:三年級:解「81個蘋果平分在三個箱子,一個箱子分到幾個〇」的作法為〉 80,20,20,20 20 20,6,6,6 2 2,1 3,1,1,1 0 81?3,27 (3)重複地減去除數,以解決包含除的問題。 例如F生:三年級:解「有350個學生,每70個學生搭一部遊覽車,共需多少部〇」〉 350,70 280,70 210,70 140,140 0 350?70,5 4.加、減與乘法〉 學生首先是以累加或累減的方法解決除法問題。例如,27?3,學生可能寫下3,3,6,再寫下6,3,9,一直累加3直到27。然後回去點數:或心算:累加了幾個3,就可以得到答案。當學生累積相當多的這種經驗,逐漸形成如此的策略及乘法概念了解的提升後,最後以乘法來表示這些累加:或累減:的過程。例如F生處理473?12,39餘5 :1:起初的版本 30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,30,360 7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,84 13 2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,24 :2:最後的版本 30×12,360 5×12,60 2×12,24 2×12,24 5.分配率〉 此方法指出學生有能力處理一個數為可重複單位的倍數的和,也包含良好的估測及基本乘法的使用。此時的特徵主要是分解被除數為除數的倍數做處理。例如 G生:二年級:51?3〉 30?3,10 12?3,4 9?3,3 10,4,3,17 H生:三年級:54?3〉 54 50,4 30?3 10 12?3 4 8?3 2餘2 4?3 1餘1 16餘2,1餘1 17餘3 18餘0 54?3,18 :四:四則運算 1.在學習整數四則運算前,可用一些簡單的數學例子,帶領小朋友回憶已學習的數學觀念,進而漸漸進入狀況。 2.在多步驟加減問題情境中,透過比較的活動,形成「由最左往右」記法的共識。 3.在多步驟四則問題情境中,透過比較的活動,形成「乘、除先算,再由最左往右」記法的共識,省略在併式填充題中標示乘、除先算,再由最左往右計算步驟的括號々以問題為例: 甲生 乙生 甲生 乙生 [50,(5×6)],18,( ) 50,5×618,( ) [50,(5×6)],18 50,5×6,18 ,[50,30],18 ,50,30,18 ,80,18 ,80,18 ,62 ,62 ,.希望透過討論,幫助學童察覺乘法與除法運算次序的地位是相同的,當乘號與除號同時出現時,要使用「由最左往右」的記法解題。 ,.為了鞏固「括號先算」的運算次序是第一優先活 動,透過逐步比較逐次減項的紀錄,幫助學童發現「80,[4×(5,6)],( )」與「80,4×(5,6),( )」這兩個併式填充題的運算次序一模一樣。並形成當併式填充題中有小括號時,小括號的部分要先運算,但是當沒有中括號告訴我們第二步要算什麼的時候,也是使用「乘、除先算,再由最左往右」做法的共識,並 將這種做法稱為「先算括號內,再算乘、除,最後再由最左往右」的記法。 五、評量範疇〆 14 一年級 評量範疇 能力指標 1-n-04 ,媽媽給哥哥50元去買一瓶35元 能從合成、分解的活動中,理解加減法的意義,的醬油,但是粗心的老闆找錯錢了, 使用,、,、,作橫式紀錄與直式紀錄,並解只找給哥哥10元,請問老闆還要再 決生活中的問題。 給哥哥多少錢〇 :1:5元 :2:35元 :3:15元 1-n-05能熟練基本加減法。 , 老師規定只要蒐集十張獎卡,就可以換一個神祕小禮物。請問下面的小朋友們,誰有資格換小禮物呢? 小夫說:我還差九張就 可以換。 靜香說:我有六張和四 張。不知道夠不夠? 大雄說:我原本有15張 ,功課沒帶,老師扣了 5張。不知道可不可以 換? 誰可以換到神祕小禮物呢?請說說你的理由.___________ __________________________ 二年級 15 評量範疇 能力指標 , 阿文身上有50元,他想要買下2-n-09能在具體情境中,解決兩步驟問列幾種文具〆 題:加、減與乘,不含併式:。 10元 15元 25元 他的好友紛紛給他建議,請問他該相 信誰的話〇為什麼〇 1?大華說〆「鉛筆2支、橡皮擦1個、 筆記本1本,不會超過啦。」 2?阿仁說〆「鉛筆1支、橡皮擦2個、 筆記本1本,不會超過啦。」 3?小欣說〆「全部都各買一個,剛剛 好。」 ，,靜香的媽媽一天給靜香10元,請、=做2-n-06能理解乘法的意義,使用 問五天後,靜香總共可以得到多橫式記錄,並解決生活中問題 少零用錢〇 胖虎說〆應該是,所以10515，, 靜香可以得到15元。 阿福說〆應該是,所以10550，, 靜香可以得到50元。 小朋友,你覺得誰說的對呢〇 ?胖虎 ?阿福 你的理由是〆_______________ 三年級 評量範疇 能力指標 ,一盒果凍共63顆,媽媽想把果凍3-n-06 能在具體情境中,解決兩步驟問平分給三位小朋友,但是爸爸卻吃掉題(加、減與除不含併式)。 了3顆,請問最後每位小朋友各可拿 到多少個果凍〇 對的請打, 1.?.63?3,21,21-3,17 所以每人可得17顆 2.?.63-3,60,60?3,20 16 所以每人可得20顆 乘法和減法的運算 , 每盒月餅有6塊,爸爸買了14盒,吃掉了5盒〆 (1) 每盒月餅有6塊,14盒有幾塊〇 爸爸買了14盒,吃掉了5盒,剩幾盒〇又可以說是剩幾塊〇 四年級 評量範疇 能力指標 ,想想看 能理解並正確運用四則運算。 美吟已經存了60元,想買一本 420元的字典,從現在開始每天存6元,她要再存幾天才夠〇 美吟的算法是〆 420?6=70 70,60=10 所以美吟告訴媽媽,再存10天就可以買字典了。 請問你覺得美吟的算法對嗎〇 ,對 ,不對 請說明理由〆 若覺得美吟的算法錯了,請你寫下你的算式〆 能將四則運算運用於生活中會碰到的, 開學前,小傑帶了60元要到書局買情境當中 文具,去書局的路上小傑買了一杯20元的紅茶,到書局買了4枝一樣價錢的原子筆,剛好用完身上的錢,回家後媽媽問小傑一支原子筆要多少錢〇 小傑的算法〆 :60 , 20:? 4 , 20 17 一支原子筆要20元。 姊姊的算法〆 :60 , 20 :? 4 ,10 一支原子筆要10元。 請問,誰算對了〇 ? 小傑 ? 姊姊 五年級 評量範疇 能力指標 ,爸爸的體重重75公斤,是小齊的3學會整數的四則計算。 倍,小齊想知道爸爸的體重和他相 差了多少公斤,他用了兩種方式來 計算〆 1 ?75,75?3,: : 75?3,25 75,25,50 2 ?75,75?3,: : 75,75,0 0?3,0 哪一個做法對〇 ?第一個 ?第二個 為什麼〇 __________________________ _______________________________ _______________________________ 六年級 評量範疇 能力指標 6-n-06 ,下面的文字分別為1、2、3其中一 能理解等量公理 個數字,請根據下面的算式,計算出6-n-10 「我」、「為」、「人」各代表什麼數字〇 能利用常用的數量關係,列出恰當的算 我為人人 式,進行解題,並檢驗解的合理性。 +人人為我 18 4 5 5 4 【博士班題目】 下面的文字分別為1~7其中一個數字,請根據下面的算式,計算出每一個字各代表什麼數字〇 先天下之憂而憂 +後天下之樂而樂 13506181 19