曲线积分与曲面积分

滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 第十章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 教学目的：了解对弧长曲线积分的概念和性质，理解和掌握对弧长曲线积分的计 算法和应用. 教学重点：弧长曲线积分的计算. 教学难点：弧长曲线积分的计算. 教学内容： 一、对弧长曲线积分的概念与性质 引例 曲线形构件质量 设一构件占面内一段曲线弧，端点为，线密度连续, 求构件质量,(x,y)A,BxoyL y． MB 解（1）将,s，，i,1,2,？？,n分割； Li A（2）,,s,M,,(x,y),,s,(x,y)，； xiiiiiiio n （3），，M,,x,y,s； 图10-1-1 ,iii,1i n （4）,,max{,s,,s,？,,s}Mxys,,lim(,),， iii12n,,,0i,1 １．对弧长曲线积分的定义 定义 nMf(x,y)为面内的一条光滑曲线弧，在上有界，用将分成小段xoyLLLi n(,,,),,S,Sf(,,,),Sin,1,2,3...,，任取一点，作和，令，，,iiiiiiii,1 n,,max{,s,,s,？,,s}lim(,)fS,,,,,0，当时，存在，称此极限值为iii12n,,,0i,1f(x,y)在上对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）记为 L 271 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 n lim(,)fS,,,f(x,y)ds,iii,,,,0i,1L 注意：（1）若曲线封闭，积分号． f(x,y)ds, （2）若连续，则存在，其结果为一常数. f(x,y)f(x,y)ds,L （3）几何意义，则（为弧长）． fxy(,)1,fxydsL(,),L,L （4）物理意义 M=． ,(x,y)ds,L n（5）此定义可推广到空间曲线lim(,,)fS,,,,=． f(x,z,y)dsiiii,,,,0i,1, （6）将平面薄片重心、转动惯量推广到曲线弧上，重心： ,,,xdsydszds,,,LLL，，。 ,,,xyzMMM 2222转动惯量：， ， I,y,(x,y)dsI,x,(x,y)dsI,(x，y),(x,y)dsxyo,,,LLL（7）若L的方向是由A指向B，由B指向A为负方向，但与的方向无f(x,y)dsL,L关． ２．对弧长曲线积分的性质 性质１ 设L,L，Lf(x,y)dsf(x,y)ds，则=+． f(x,y)ds12,,,LLL12 性质2 gxyds,=． [f(x,y),g(x,y])dsf(x,y)ds，，,,,,LLL 性质３ =． kkf(x,y)dsf(x,y)ds,,LL 二、对弧长曲线积分的计算 x,,(t),定理 设f(x,y),,t,,,(t),,(t)在弧上有定义且连续，方程 （）， LL,,y,(t), 22在,,,(t)，,(t),0[,,,]上具有一阶连续导数，且，则曲线积分存在，且f(x,y)ds,L 22,,=． f(x,y)dsf[,(t),,(t)],(t)，,(t)dt,,LL ：从定理可以看出 22(1) 计算时将参数式代入,,f(x,y)[,,,]，，在上计算定积分． ds,,(t)，,(t)dt (2) 注意：下限,,S？,,t0,,,,一定要小于上限，（恒大于零，）. ii 272 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 b2,f[x,,(x)]1，[,(x)]dx(3) ：, 时，=. y,,(x)a,x,bf(x,y)dsL,,aL d2同理,f[,(y),y]1，[,(y)]dy：，时，= x,,(y)c,y,df(x,y)dsL,,cL (4) 空间曲线：，，， x,,(t)y,,(t)z,,(t)P ,222,,,f[,(t),,(t),,(t)],(t)，,(t)，,(t)dt= f(x,y)ds,,,P 2例1 计算yx,～ 其中是抛物线上点与点之间的一段弧, ydsO(0,0)B(1,1)L,L 2解 曲线的方程为yxx,,,(01)～ 因此 1112222,,，ydsx1(x)dx,x1，4xdx, ,(55,1),,,00L12 例2 计算半径为、中心角为的圆弧对于它的对称轴的转动惯量(设线密度为2,RLI ), ,,1 2解 取坐标系如图所示～ 则I,yds, 曲线的参数方程为 L,L xRyR,,,,,cos,sin(),,,,, ,22222于是 ,Rsin,(,Rsin,)，(Rcos,)d,I,yds ,,,,L ,323 ,,,RdRsin(sincos),,,,, ,,, 222例3 计算曲线积分(x，y，z)dsxatyatzkt,,,cossin～ 其中为螺旋线,,, 2,上相应于从0到达的一段弧, t 222222222解 在曲线xyzatatktakt，，,，，,，(cos)(sin)()上有,并且 , 22222～ ds,(,asin)t，(acos)t，kdt,a，kdt 2,22222222于是 ,(a，kt)a，kdt(x，y，z)ds ,,0, 222222 , ,,a，k(3a，4,k)3 1.对弧长曲线积分的概念和性质， 2.对弧长曲线积分的计算法和应用. 273 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 第二节 对坐标的曲线积分 教学目的：了解对坐标曲线积分的概念和性质，理解和掌握对坐标曲线积分的计 算法和应用. 教学重点：对坐标曲线积分的计算. 教学难点：对坐标曲线积分的计算. 教学内容： 一、对坐标的曲线积分定义和性质 引例 变力沿曲线所作的功 设一质点在面内从点沿光滑曲线弧移到点，受力xoyALB ，其中，在上连续．求上述过程所作的功． QF(x,y),P(x,y) i ，Q(x,y)j PL ,解（1）分割 先将n分成个小弧段MM ； (i,1,2,？？,n)L1i,i ,(2)代替 用,x,x,x,y,y,y近似代替 ， MMMM,,xi，,yjiii,1iii,11i,i,1iiii ,,,(,,,),MM；用近似代替MM内各点的力，F(x,y),P(x,y) i ，Q(x,y)j ii11i,ii,i ,则沿MM所 做的功； F(x,y),w,F(,,,),MM1i,iiiii,1i n (3)求和 w,[P(,,,),x，Q(,,,),y]． ,iiiiii,1i ,（4）取极限 令MM,,max{的长度i,1,2,？,n} 1i,i n w,lim[P(,,,),x，Q(,,,),y] iiiiii,,,0i,1 定义 设L为面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x,y),Q(x,y)在xoy L上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列nM(x,y)(i,1,2,,,,,,,,n) 把L分成i,1i,1i,1个有向小弧段 , (i,1,2,,,,,,,,n;M,A,M,B)MM 0n1i,i ,设,x,x,x,,y,y,y(,,,)MM，点为 上任意取定的点.如果当个iii,1iii,1ii1i,i 274 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 n小弧段长度的最大值时，的极限总存在，则称此极限为函数P(,,,),x,,0P(x,y),iiii,1 n x在有向曲线弧上对坐标的曲线积分，记作.类似地，如果的Q(,,,),yP(x,y)dxLiii,,Li,1极限值总存在，则称此极限为函数在有向曲线弧上对坐标曲线积分，记作Q(x,y)yL .即 Q(x,y)dy,L n P(x,y)dx,limP(,,,),x， iii,L,,,0i,1 n Q(x.y)dy,limQ(x,y),y i,L,,,0i,1 注(1)当在上连续时，则，存在. P(x,y)dxQ(x,y)dyP(x,y)Q(x,y)L,,LL （2）可推广到空间有向曲线上. , ,（3）为有向曲线弧，为与方向相反的曲线，则 LLL P(x,y)dx=,P(x,y)dx， ,,,LL Q(x,y)dy=,Q(x,y)dy. ,,,LL （4）设L，LPdx，QdyPdx，QdyPdx，Qdy=，则=+. L1212,,,LLL 此性质可推广到L，L？？，L=组成的曲线上. L12n 二、对坐标的曲线积分的计算方法 xt,,(),,定理 设P(x,y)，Q(x,y)在上有定义，且连续,的参数方程 LL,yt,,(),,当,M(x,y),(t),,(t)单调地从变到,时，点从的起点沿变到终点，且在以tLAL B 22,,,,(t)，,(t),0,,为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且，则 P(x,y)dx，Q(x,y)dy存在，且 ,L ,,,{P[,(t),,(t)],(t)，Q[,(t),,(t)],(t)}dtP(x,y)dx，Q(x,y)dy= ,,,L 注意（1）,,,,：起点对应参数，：终点对应参数 不一定小于. LL 275 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 ,（2）若由 给出起点为终点为,则 y,y(x),LL ,,Pdx，Qdy,{P[x,y(x)]，Q[x,y(x)] y(x)}dx. ,,L, （3）此可推广到空间曲线：，， x,,(t)z,,(t)y,,(t), ,,,Pdx，Qdy，Rdz,{P,[(t,),(t,),(t,)](t) ，Q,[(t,),(t,),(t,)](t),,,,． , ，R[,(t),,(t),,(t)],(t)}dt ,：起点对应参数，：终点对应参数 ,,, 2例1 计算yx,～ 其中为抛物线上从点到点的一段弧, xydxA(1,1),B(1,1)L,L 解法1 以xxy,,x为参数,分为和两部分: 的方程为～ 从变到, AOOBAO0L1 xy,x的方程为～ 从变到, 因此 OB01 xydx,xydx，xydx,,,LAOOB 301142, ,x,xdx，xxdx,xdx,()2,,,1005 2解法2 以xy,为积分变量, 的方程为～从1变到, 因此 yyL,11 114224,,xydxyy(y)dy , ,ydy,2,,,1L,1,5 2例2, 计算ydx, ,L 222(1)xya，,为按逆时针方向绕行的上半圆周, L (2)从点xAa(,0)沿轴到点Ba(,0),的直线段. 解 (1),xaya,,cos,sin,,,0的参数方程为,从变到, L ,,4222323因此 ydx,asin,(,asin,)d,,a(1,cos,)dcos,, ,,a,,,L003 ,a2(2)xa,aydx,0dx,0y,0的方程为～ 从变到, 因此 , L,,La 22例3 计算yx,2xydx，xdyO(0,0)B(1,1), (1)抛物线上从到的一段弧, (2)抛物,L 2线xy,O(0,0)O(0,0)A(1,0)B(1,1)R(1,1)上从到的一段弧, (3)从到～ 再到的有向折线OAB, 276 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 2x解 (1):yx,～ 从变到, 所以 0L1 1122232xydx，xdy,(2x,x，x,2x)dx,4xdx,1, ,,,00L 2(2) xy,:～从变到,所以 0yL1 1122442xydx，xdy,(2y,y,2y，y)dy,5ydy,1 , ,,,00L (3)x～ 从变到, ～从变到, ABx:1,OAy:0,00y11 222 2xydx，xdy,2xydx，xdy，2xydx，xdy,,,LOAAB 112,(2x,0，x,0)dx，(2y,0，1)dy, ,，,011,,00 322例4, 计算～ 其中是从点到点的直线段xdx，3zydy,xydzA(3,2,1)B(0,0,0),,, , AB 解 直线的参数方程为 从变到, xtytzt,,,3,2,0tAB1 00873223所以 I,[(3t),3，3t(2t),2,(3t),2t]dt, ,tdt,,87,,114 例5, 设一个质点在Mxy(,)处受到力的作用～的大小与到原点O的距离成正FFM 22yx比～的方向恒指向原点,此质点由点Aa(,0)沿椭圆按逆时针方向移动到点，,1F22abBb(0,)～求力所作的功W, F ,解 椭圆的参数方程为xatyat,,cos,sin～ 从变到, 0t2 ,rr,OM,xi，yj～ F,k,|r|,(,),,k(xi，yj)～ |r|其中k,0是比例常数,于是 Wkxdxkydykxdxydy,,,,,，, ,,,,ABAB ,222,,k(,acostsint，bsintcost)dt ,0 ,k22222,直线段 AB,k(a,b)sintcostdt,(a,b),02 三、两类曲线积分的关系 设有向曲线弧AMs,ABl,的起点 ，终点取弧长为曲线弧的参数.则LABL 277 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 x,x(s),By ． 0,s,l,y,y(s),M L若在上具有一阶连续导数，在上连续，则 x(s),y(s)P,QLL A xo Pdx，Qdy,L ldxdy={P[x(s),y(s)]，Q[x(s),y(s)]}ds 图10-2-2 ,0dsds l={P[x(s),y(s)]cos,，Q[x(s),y(s)]sin,}ds ,0 dxdy其中cos,sin,，是的切线向量的方向余弦，且切线向量与的方向一致，,,LLdsds l又{P[x(s),y(s)]cos,，Q[x(s),y(s)]sin,}ds， (Pcos,，Qsin,)ds,,,0L ?． Pdx，Qdy(Pcos,，Qsin,)ds,,,LL 同理对空间曲线：， Pdx，Qdy，Rdz(Pcos,，Qcos,，Rcos,)ds,,,,LL 为在点处切向量的方向角，用向量表示：，,,,,,(x,y,z)AdrAtds,,,,,,APQR,{,,}t,{cos,cos,cos},,,，为上(,,)xyz处的单位切向量，P drtdsdxdydz,,{,,}为有向曲线元 ： 1.对坐标的曲线积分概念和性质 2.对坐标的曲线积分的计算. 3.两类曲线积分的关系. 278 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 第三节 Green公式及其应用 教学目的：理解和掌握Green公式及应用． 教学重点：Green公式． 教学难点：格林公式的应用． 教学内容： y 一、Green公式 lL1．单连通区域 x 设为单连通区域，若内任一闭曲线所围的部分 DD 都属于．称为单连通区域（不含洞），否则称为复连通 DD 区域（含洞）．规定平面的边界曲线的方向，当观测者沿 DL 行走时，内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图 图10-3-1 LD ２．格林公式 定理1（格林公式） 设闭区域由分段光滑的曲线围成，函数和在P(x,y)Q(x,y)DL ,,QP(,)上具有一阶连续偏导数，则有dxdyPdxQdy，．为的取正向的,DLD,,,L,,xyD 边界曲线． 证 对既为型又为型区域 X,Y,L2y ,PLy,,(x)：,?连续， 22,yL1 b,(x)x(,),Pxy2P,oabdxdydxdy ,,,,,Da,(x)1y,,y b={P[x,,(x)],P[x,,(x)]}dx， 图10-3-2 1211,a y,,(x)L： 又 Pdx,Pdx，Pdx11,,,LLL12 bb=P[x,,(x)]dxP[x,,(x)]dx+ 1112,,aa b={P[x,,(x)],P[x,,(x)]}dx． 1112,a ,P?,dxdy,Pdx． ,,,DL,y 279 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 Q,对于型区域，同理可证 dxdy= ?原式成立． QdxY,,,,DLy, 对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在上应用D,D,D,D1234格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证． 几何应用：在格林公式中，取，= P,,y,Q,x2dxdyxdy,ydx,,,DL 1则． A,xdy,ydx,L2 说明（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立． 图10-3-3 ,,（2）记法= xdy,ydxdxdy,,,,LDxy,, （3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分. (4）几何应用. 例1, 椭圆所围成图形的面积, xayb,,cos,sin,,A ,Q,Q,P,P分析 只要,,1～ 就有, (,)dxdy,dxdy,A,,,,,x,y,x,yDD 11解 设是由椭圆所围成的区域, 令～ ～ 则xayb,,cos,sin,,P,,yQ,xD22,Q,P11,,，,1, 于是由格林公式～ ,x,y22 111A,dxdy,,ydx，xdy,,ydx，xdy ,,,,LL222D 2,2,1122abdab,,,,. ,(absin,，abcos,)d,,,0022 2例2 设2xydx，xdy,0是任意一条分段光滑的闭曲线～ 证明 , L,L ,Q,P2证 令,,2x,2x,0PxyQx,,2,则, 因此～ 由格林公式有,x,y 22xydx，xdy,,0dxdy,0, (为什么二重积分前有“,”号？ )． ,,,LD 2,y例3, 计算edxdyO(0,0)B(0,1)A(1,1)～ 其中是以～ ～ 为顶点的三角形闭区域, D,,D 280 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 2,Q2,P,y,y,,e分析 要使～只需～Q,xe, P,0,x,y 2,Q2,P,y,y解 令,,eQ,xe～ ～ 则, 因此～ 由格林公式有 P,0,x,y 122221,y,x,1,y,y,xedy,xedx,(1,e)edxdy,xedy, ,,,,,02OADOA，AB，BO xdy,ydx例4 计算～ 其中为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线～ L,22Lx，y 的方向为逆时针方向, L 22,Qy,x,yx22,P解 令xy，,0～ , 则当时～ 有, 记 Q,LP,,,2222222,x,yx，y()x，yx，y ,xdyydx所围成的闭区域为,0, 当时～ 由格林公式得, 当时～ (0,0),D(0,0),DD,22L，xy 222在lxyrr:(0)，,,D内取一圆周, 由及围成了一个复连通区域～ 应用格林公lDL1式得 xdyydxxdyydx,,,,0～ ,,2222Llx，yx，y 其中l的方向取逆时针方向, 22222,xdy,ydxxdy,ydxrcos，rsin,,于是,,2, , ,d,,,22222,Ll0x，yx，yr 另解 记所围成的闭区域为, 当(0,0),D时～ 由格林公式得 LD xdy,ydx,Q,P,(,)dxdy,0, ,,,22L,x,yx，yD 222当lxyrr:(0)，,,D(0,0),Dl时～在内取一圆周,由及围成了一个复连通区域～ DL1 应用格林公式得 xdy,ydx,Q,P,(,)dxdy,0～ ,,,22，Ll,x,yx，yD1 xdyydxxdyydx,,即，,0l～ 其中的方向取顺时针方向, ,,2222Llx，yx，y 281 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 22222,xdy,ydxxdy,ydxrcos，rsin,,于是 , ,,2,,d,,,,22222,0Llx，yx，yr 22,y,Qy,xx22,P分析 这里xy，,0P,～ ～当时～ 有． Q,,,2222222,x,yx，y()x，yx，y 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 曲线积分与路径无关：是为一开区域，在内具有一阶连续偏导数，GP(x,y),Q(x,y)G若内任意指定两点及内从到的任意两条曲线L,L GGA,BAB12 Pdx，Qdy,Pdx，Qdy,,LL12 恒成立，则称在内与路径无关。否则与路径有关． Pdx，QdyG,L 定理2 设，在单连通区域内有连续的一阶偏导数，则以下四个条P(x,y)Q(x,y)D 件相互等价 （1）内任一闭曲线C，PdxQdy，,0． ,C （2）对内任一曲线，Pdx，Qdy与路径无关． L,L （3）在内存在某一函数使在内成立． ,(x,y)d,(x,y),Pdx，QdyDD ,P,Q（4），在内处处成立． D,,y,x ,,证明 （1）（2） 在内任取两点，及连接的任意两条曲线，AGB A,BA,B,DAEB ,,y?CAGBBGA,，为内一闭曲线 DEB由（1）知Pdx，Qdy，即 AG,C ,PdxQdy，,PdxQdy，,0+， ,,xAGBBEAo?,PdxQdy，,PdxQdy，,． 图10-3-5 ,,AGBBEA （2）x,yPdx，Qdy（3）若在内与路径无关．当起点固定在（）点，终点,D00,L (x,y)为(x,y)u(x,y)后，则是的函数，记为． x,yPdx，Qdy,(x,y)00 (x,y)下证 u(x,y)du(x,y)Pdx，Qdy=的全微分为=． Pdx，Qdy,(x,y)00 282 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 ,u?，连续，只需证，,P(x,y)P(x,y)Q(x,y),x uxxuxy()(,)，,,,u,u,Q(x,y)，由定义 ,limy,,x0,x,y,xM(x,y),xN(x+,y)而 M(x,y) 000 ox 图10-3-6 (x，,x,y)(x，,x,y)=+ u(x，,x,y),u(x,y)Pdx，QdyPdx，Qdy,,(x,y)(x,y)00 x，,x=Pdx+， u(x,y),x x，,x?Pdx=， P,xu(x，,x,y),u(x,y)P,P(x，,,x,y)(0,,,1),,x ,u,u即,Q(x,y),P(x,y)，同理。 ,x,y ,P,P,Q,Q（3）,（4）若=，可证，，， du(x,y)Pdx，QdyQ,,P,,y,x,x,y 22,P,P,Q,Q,u,u,P,Q,,,，， 由具有连续的一阶偏导数，故=． P,Q,x,y,y,x,y,x,y,x,y,x,y,x （4）（1）设C为内任一闭曲线，为C所围成的区域． ,DD ,,QP,,dxdyPdx，Qdy()0=． ,,,C,,xyD yx例5 曲线积分I,(e，x)dx，(xe,2y)dy(0,0)， 为过，(0,1)和(1,2)点的圆L,L 弧． y,Qyyy解 令Q,xe,2yP,e，x,e，，则， B,x ,Py,e ?与路径无关． I,yxAo取积分路径为OA，AB，则 Pdx，QdyPdx，Qdy+ 图10-3-7 I,,,OAAB 127y2=(1，x)dx，(e,2y)dye,=． ,,002 283 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 xdy,ydx y 例6 计算， 22,Cx，y （1）为以为心的任何圆周. C(0,0)x o (2)为以任何不含原点的闭曲线. C 图10-3-8 2222,Py,x,Qy,x,yx解 （1）令，，，， ,,P,Q,2222222222x，yx，y,y,x(x，y)(x，y) ,P,Q?在除去,处的所有点处有，作以为圆心，r为半径作足够小的圆使小圆O(0,0),y,x 含在内，?，即 C,0，Pdx，Qdy,,CCr 2222,cos，sinrxr,d,,= Pdx，Qdy,2,02,,0Cr ,Q,P（2）?= ?Pdx，Qdy,. 0,C,y,x 三、二元函数的全微分求积 (x,y)y 因为Pdx，Qdy与路径无关，则为某一函数的全微 Pdx，Qdy,C (x,y)xy分为(x,y)u(x,y)==+． Pdx，QdyPdx，QdyPdx，Qdy00,,,(x,y)xy0000xo 注：有无穷多个． 图10-3-9 u(x,y) 例7 验证：(2x，siny)dx，xcosydy是某一函数的全微分，并求出一个原函数． 解 令P,2x，sinyQ,xcosy， y (x,y) ,Q,P,cosy,cosy， ,x,y x? 原式在全平面上为某一函数的全微分，取 o(x.0)(x,y),(0,0)， 图10-3-10 00 xy(x,y)22xdx，xcosydyx，xsiny==． u(x,y),Pdx，Qdy,,,00(0,0) 32xx例8 计算FG(ye,my)dy，(3ye,m)dyCG， 为从到再到，是半圆EF,C 284 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 弧． yF(2,1)3x2x解 令P,ye,my， Q,3ye,m，则 ,P,Q2x2x,3ye,m，,3ye， ,y,yxo G(3,0)E(1,0),,QP 图10-3-11 ,,m,,xy 添加直线，则 GE ,1122原式+,m[,2,1，,,()]= ==,m(1，)． pdx，Qdy,mdxdy,,,GED2224 3,,? 原式=,0dx,(1，)m,m(1，)=． ,144 21，yf(x,y)x2例9 设在上连续可导，求， f(x)(,,,，,)dx，[yf(x,y)]dy2,,LLyy yB2其中为从点A(3,)到的直线段。 B(1,2)3 2AC，x1yf(x,y)2解 令,， Q,[yf(x,y),1] P2yyxo 图10-3-12 2223,,P[2yf(x,y)，xyf(x,y)]y,1,yf(x,y)yf(x,y)，xyf(x,y),1=, ,22,yyy 231xyf(x,y)，xyf(x,y),1,Q23,,[yf(x,y),1]，[yf(x,y)],, 222,xyyy,P,QAC，CB，,0，故原积分与路径无关，添构成闭路，? 原式+ ,,,BCAC,y,x 2113422 ? 原式=，[yf(y),1]dy，[1，f(x)]dx= 2,,,,2CBAC3293y3 123221,[，f(x)]dx，[f(y),]dy 2,,23233y3 22xu,1332312，()，()，,,4xfudufydy ,2,,222y333 285 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 练习 1.证明：若为连续函数，而为无重点的按段光滑的闭曲线，则f(u)C 22. f(x，y)(xdx，ydy),0,c 2.确定的n值，使在不经过直线的区域上， y,0 22222nn(，)(，)xxyxxy ,,Idxdy2,,ccyy与路径无关，并求当为从点到点的路径时的值. C(1,1)B(0,2)AI 223．设fdx，gdy,f，gds，为上的连续函数，证明. f(x,y)g(x,y)L,,LL 1.格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积． 2.格林公式使有些问题简化，有时可计算不封闭曲线积分，只需添上一条线使之成为封闭曲 线，再减去所添曲线的积分值即可． 286 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 第四节 对面积的曲线积分 教学目的：理解和掌握对面积的曲线积分的概念性质及计算． 教学重点：对面积的曲线积分的计算． 教学难点：对面积的曲线积分的计算． 教学内容： 一、概念和性质 引例 空间曲面质量 在对平面曲线弧长的曲线积分中，将曲线换为曲面，线密度换为面密度，二元函数换为 三元函数即可得对面积的曲面积分．设有一曲面，其上不均匀分布着面密度为S上的连续S 函数，求曲面S的质量．经分割，代替，求和，取极限四步， ,,,(x,y,z) ． MfS,,,lim(,,),,,iiii,,0 定义 设曲面n,是光滑的，在,上有界，把,分成小块，任取f(x,y,z) (,,,,,),,Sf(,,,,,),,S作乘积(i,1,2,,,,,,,,n)，再作和iiiiiiin f(,,,,,),x(i,1,2,,,,,,,,n)，当各小块曲面直径的最大值时，这和的极限存,,0,iiii,1i 在，则称此极限为,f(x,y,z)在上对面积的曲面积分或第一类曲面，记，f(x,y,z)ds,,, 即 n lim(,,)fS,,,,,． ,f(x,y,z)dsiiii,,,,,0i,1, 注（1）f(x,y,z)ds为封闭曲面上的第一类曲面积分． ,,, （2）当f(x,y,z)连续时， 存在． f(x,y,z)ds,,, （3）当f(x,y,z)为光滑曲面的密度函数时，质量． f(x,y,z)dsM,,,, （4）fxyz(,,)1,时，S,ds为曲面面积． ,,, （5）性质同第一类曲线积分,,,，,． 12 （6）若,,为有向曲面，则f(x,y,z)ds与的方向无关． ,,, 287 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 二、对面积积分的计算法 定理 设曲面DD的方程，在面的投影，若在上具,,z,z(x,y)f(x,y,z)xoyxyxy 22有一阶连续偏导数，在上连续，则=． ,f(x,y,z)dsf(x,y,z(x,y))1，z，zdxdyxy,,,,Dxy, 注（1）设为单值函数． z,z(x,y) （2）若：或可得到相应的． ,x,x(y,z)y,y(x,z) （3）若f(x,y,0)dxdy为平面里与坐标面平行或重合时=． ,f(x,y,z)ds,,,,Dxy, 12222例1 计算曲面积分dSxyza，，,～ 其中是球面被平面,zhha,,,(0),,z, 截出的顶部, 2222222解 的方程为～ , 因为 ,Dxyah:，,,z,a,x,yxy ,y,x～～ z,z,yx222222a,x,ya,x,y a22dS,1，z，zdxdy,dxdy～ xy222a,x,y 1a所以 dSdxdy,,,,,222zaxy,,,Dxy 222,a,h22rdr1aa,h22, ,,ad,2,a[,ln(a,r)],,2aln022,,002ha,r 22yxa22提示:1，z，z,1，，,, xy222222222a,x,ya,x,y,,axy 例2 计算xyzdS,xyz,,,0,0,0xyz，，,1～ 其中是由平面及所围成的四面,,, 体的整个边界曲面, 解 整个边界曲面,,xyz,,,0,0,0xyz，，,1在平面及上的部分依次记为、1 ,,,、及～ 于是 243 xyzdS,xyzdS，xyzdS，xyzdS，xyzdS ,,,,,,,,,,,,,,,1234 288 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 ,0，0，0，xyzdS ,3xy(1,x,y)dxdy,,,,,D4xy 311,x1,(1x)3,3xdxy(1,x,y)dy, ,,3xdx,,,,0006120提示: ～ ,：z=1-x-y4 22,,dS,1，z，zdxdy,3dxdy, xy 2222例3 计算，为立体的边界 ,I,(x，y)dsx，y,z,1,,, 22解 设,,,，,，,为锥面， 0,z,1z,x，y121 z 22x，y,1为上部分， ,z,12 22x，y,1,,,在面投影为， xoy12 yo22,z,z2dxdy=， dS,dxdy ， dS,1，，dxdy21,x,yx 图10-4-1 22222222?+=(x，y)2dxdy，(x，y)dxdy (x，y)ds(x，y)dsI,12,,,,,,,,,,DD12 2,1,223,(2，1)(x，y)dxdy,(1，2)drdr,(1，2)． ,,,,,210D ds例4 计算，,由，x,0，，z,0的边界． x，y，z,1y,02,,,(1，x，y) 解 ,,,，,，,，,， 1234 ,,,,z,0x,0y,0x，y，z,1：，：，：，： 1234 dsds1由对称性dydz ,,22,,,,,,2,,3D2yozxy(1，x，y)(1，x，y)(1，，) 11,zdydz,1,ln2,． 2,,00y(1，) 11,xdy1dsdsdxln2,,,,， 222,,,,,,00,D1x,y2(1，x，y)(1，x，y)(1xy)，， 289 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 11,x313dxdydxdyds， ,,,3(ln2,)dx2,,22,,,,,00D4x,y(1，x，y)2(1，，)(1，x，y)xy 11ds?原式=）+（）+（3(ln2,)）ln2,2(1,ln2,，，，2,,,,,,,,,,,,412322(1，x，y) 3,3=(3,1)ln2，． 2 222例5 计算x，y,z，为被平面所割得部分 xyzds,z,1,,, 22解 设第一象限内的部分为x，y,z：，， ,x,0y,01 22zz,,22xyzds 4xyz1，4x，4ydxdy,xyz1dxdydz,，，,,,,,,,DDxyxyxy,, ,,2111124222222=4(sin,),(r1，4rdr=） 4d,rsin,cos,,r,1，4rrdr,,,000220 225u,12u1255,122221，4r,uu,(),(u,1)du=， 3,,142044 1tg,1114322或r,tg,tg,,sec,,,2tg,,sec,d, ,02164 11tg1tg111534222=tg,,sec,d,tg,sec,dsec, ,,,003232 1tg111255,12222(sec,,1)sec,dsec,． ,,,042032 : 1．对面积的曲线积分的概念和性质． 2．对面积的曲线积分的计算． 290 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 第五节 对坐标的曲面积分 教学目的：理解和掌握对坐标的曲面积分的概念和性质． 教学重点：对坐标曲面积分的计算． 教学难点：对坐标曲面积分的计算． 教学内容： 一、对坐标的曲面积分的概念和性质 1．有向曲面 设曲面n，若取法向量朝上（与轴正向的夹角为锐角），则曲面取定上侧，zz,z(x,y) 否则为下侧；对曲面xn，若的方向与正向夹角为锐角，取定曲面的前侧，否则x,x(y,z) 为后侧，对曲面n，的方向与正向夹角为锐角取定曲面为右侧，否则为左侧；y,y(x,z)y 若曲面为闭曲面，则取法向量的指向朝外，则此时取定曲面的外侧，否则为内侧，取定了法 向量即选定了曲面的侧，这种曲面称为有向曲面． 2．投影 设,,,,是有向曲面，在上取一小块曲面,S，把,S投影到面上，得一投影域 xoyxy （表示区域，又表示面积），假定z,S上任一点的法向量与轴夹角的余弦同号，则规定, ,,cos,,0,xy,投影,SS,,,,,cos,,0为 实质将投影面积附以一定的符号，同理可以定义,xyxyxy ,0cos,,0, zox,S,S,S在面，面上的投影，． yozyzzx ,3．流向曲面一侧的流量 v 设稳定流动的不可压缩的流体（设密度为1）的速度场为 ,,n ,=++，为其中 v(x,y,z)P(x,y,z)iQ(x,y,z)jR(x,y,z)kA一片有向曲面，P,Q,R,,在上连续，求单位时间内流向指定 侧的流体在此闭域上各点处流速为常向量vn，又设为该平面的 图10-5-1 单位法向量，则在单位时间内流过这闭区域的流体组成一底面积为v，斜高为的斜柱体，A 291 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 ,,n斜柱体体积为 时，此即为通过区域流向所指A,v,cos,,A,v,n((,))nv,,,A2 ,,,,一侧的流量．当时，流量为；当时，流量为负值称为((,))nv,,,((,))vn,,,022流体通过闭区域A,v,nn流向所指一侧的流量均称为． A 分析 所考虑的不是平面闭区域而是一片曲面，且流速v也不是常向量，故采用元素法．把n分成小块，设光滑，且连续，当很小时，流过的体积近,S,S,S,,P,Q,Riii似值为以为底，以为斜高的柱体，任,(,,,,),,S，为 ,Sv,(,,,,)niiiiiiiii n,,(,,,,)处的单位法向量{,,,,,}，故流量， ,,v(,,,,,),n,,Siiiiiiiiiiii nn iicos,,,S,,Svn,S=[Pcos,，Qcos,，Rcos,],S 又 ,,iiiizy,,iiiii,1,1i cos,,,S,,Scos,,,S,,S， iiixyiiizx nn ?[P,S，Q,S，R,S]lim[]PSQSRS,，,，,,?， ,,,,iyzizxixy,,iyzizxixy,,0i,1,1i 其中,为最大曲面直径． 4．定义 设n,S,S,,,为光滑的有向曲面，R(x,y,z)在上有界，把分成块，在面上xoyii n投影(,S),(,,,,)lim(,,)RS,,,,,S，是上任一点，若,,0，存在，称iiiixyixy,iiii,,0i,1此极限值为R(x,y.z),R(x,y.z)dxdy,在上对坐标的曲面积分，或在有曲面上的第x,y 二类曲面积分，记为zoxR(x,y,z)dxdy．类似P,Q对及曲面积分分别为 yoz,,, n lim(,,)RS,,,,Pdydz=， iiiiyz,,,,,,0i,1 n lim(,,)QS,,,,Qdzdx=． iiiizx,,,,,,0i,1 注（1）,有向，且光滑． （2）,P,Q,R在上连续，即存在相应的曲面积分． 292 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 （3）++． PdydzQdzdxRdxdyPdydz，Qdzdx，Rdxdy,,,,,,,,,,,,, （4）稳定流动的不可压缩流体，流向指定侧的流量． ,Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,,,,, （5）若，则+． ,,,，,Pdydz,PdydzPdydz12,,,,,,,,,12 （6）设为有向曲面，表示与相反的侧,则=， ,,Pdydz,Pdydz,,,,,,,,, =，=． Qdzdx,QdzdxRdxdy,Rdxdy,,,,,,,,,,,,,, 二、对坐标的曲面积分的计算法 定理 设D由给出的曲面的上侧，在面上的投影为，,,z,z(x.y)z,z(x.y)xoyxyDR[x,y,z(x,y)](,S)在内具有一阶连续偏导数，在上连续，则=． Rdxdy,Rxyixy,,,,O,xy 证明 (,S),(,,),(,,,,)取上侧，则，即，又为上的点，,cos,,0,ixyixyiii nn 则,,z(,,,)R(,,,,,)(,S)R(,,,,z(,,,))(,,)，?，令 ,,,iiiiiiiixyiiiixy,1,1ii R[x,y,z(x,y)]dxdy，取极限则Rdxdy=． ,,0,,,,O,xy 注（1）将z用z,z(x,y)代替，将,投影到面上，再定向，则 xoy R[x,y,z(x,y)]dxdyRdxdy=． ,,,,D,xy （2）若(,S),,(,,)：z,z(x,y)取下侧，则cos,,0，, ,ixyixy?,R[x,y,z(x,y)]dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy=． ,,,,D,xy （3）PdydzQdzdxy,y(x,z)，与此类似,：时，右侧为正，左侧为负， ,,,,,,, x,x(y,z)：时，前侧为正，后侧为负． , 222例1, 计算曲面积分xdydz，ydzdx，zdxdy ～ 其中是长方体的整个表面的,,,,, 外侧～,,,,,,,,((,,)|0,0,0)xyzxaybzc. 解 把,,,,,的上下面分别记为和, 前后面分别记为和, 左右面分别记为,24513,和, 6 ,,,,,,:(0,0)zcxayb的上侧, 1 293 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 的下侧, ,,,,,,:0(0,0)zxayb2 的前侧, ,,,,,,:(0,0)xaybzc3 ,,,,,,:0(0,0)xybzc的后侧, 4 的左侧, ,,,,,,:0(0,0)yxazc5 ,,,,,,:(0,0)ybxazc的右侧, 6 除、,外～ 其余四片曲面在面上的投影为零～ 因此 ,yoz43 22222,abc , xdydz,ydydz，xdyd,adydz,0dydz,,,,,,,,,,,,,DD34yzyz 类似地可得 2222ydzdx,bac～ zdxdy,cab, ,,,,,,于是所求曲面积分为, ()abcabc，， 222例2 计算曲面积分xyz，，,1xyzdxdy～ 其中是球面外侧在的部xy,,0,0,,,, 分, 解 把有向曲面分成以下两部分: , 22: 的上侧～ ,zxyxy,,,,,1(0,0)1 22: 的下侧, ,zxyxy,,,,,,1(0,0)2 22和在面上的投影区域都是Dxyxy:1(0,0)，,,,, ,,xoy12xy于是xyzdxdy,xyzdxdy，xyzdxdy ,,,,,,,,,12 2222,xy1,x,ydxdy,xy(,1,x,y)dxdy ,,,,DDxyxy ,122222,2xy1,x,ydxdy,2d,rsin,cos,1,rrdr． ,,,,00Dxy 2222例3 计算x，y，z,axdydz，ydxdz，zdxdyz,0，为，的上侧． ,,,, 222222解 将y，z,az,0向面投影为半圆，，， ,x,,a,y,zyoz 294 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 222222= xdydza,y,zdydz，(,,a,x,ydydz),,,,,,,DDyzyz ,a2223222== ,,,,2darrdra2a,y,zdydz,,,,00Dyz3 2223333由对称性 =，=, ? 原式==2,a. ,,,ydxdzzdxdy，3aaa,,,,,,333注意：n必须为单值函数，否则分成片曲面. , 222例4 z,x，y 为与围成x(y,z)dydz_，(z,x)dzdx，(x,y)dxdyz,h,,,, ，取外侧. (h,0) 222解 ,,,z,x，y 圆锥面上底，，上侧,圆锥面侧面，为前侧，为z,h,,,,1222 后侧, =，, ,00x(y,z)dydz(z,x)dzdx,,,,,,11 ,h2(x,y)dxdy,(x,y)dxdy,d,r(cos,,sin,)rdr ,,,,,,D,001xy (x,y)dxdy,,(x,y)dxdy， ?, (x,y)dxdy,0,,,,,,,D,2xy外 +, x(y,z)dydzx(y,z)dydz,,,,,,,,,22 2222= z,y(y,z)dydz,,z,y(y,z)dydz,,,,DDyzyz 4hz,h2222=,,,,,,2zy2dzzy(yz)dy, ,,,,,D0zyz4 +=,0, (z,x)dzdx,,（z,xdzdx）（z,x）dzdx,,,,,,,,,外2左2右 ,4? 原式=,h. 4 三、两类曲面积分间的关系 若DDz,,,：z,z(x.y)，在面的投影域，在上有一阶连续偏导数，在xoyRxyxy ,上连续，取上侧,则 R[x,y,z(x,y)]dxdyRdxdy,, ,,,,O,xy ,z,z1yxcos,,cos,,，， cos,,2222221，z，z1，z，z1，z，zxyxyxy 22R(x,y,z)cos,dsR[x,y,z(z,y)]cos,1，z，zdxdy= yx,,,,,Dxy 295 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 R[x,y,z(x,y)]dxdy= ,,Dxy 若,R[x,y,z(x,y)]dxdy取下侧，则=， Rdxdy,,,,,D,xy 22= Rcos,dsRcos,1，z，zdxdyyx,,,,,Dxy =,R[x,y,z(x,y)]dxdy． ,,Dxy 类似=， =， PdydzPcos,dsQdzdxPcos,ds,,,,,,,,,,,,?=． Pdydz，Qdzdx，Rdxdy[Pcos,，Qcos,，Rcos,]ds,,,,,, 为在点处的法向量的方向余弦． (cos,cos,cos),(x,y,z) 1222例5 计算曲面积分z,(x，y) 是介于和(z，x)dydz,zdxdy,z,0,,,2 之间部分的下侧． z,2 22解 (z，x)dydz,(z，x)cos,ds， ,,,,,, x22， ， ,cos,ds,1，x，ydxdy221，x，y x2222 ?(z，x)dydz= (z，x)1，x，ydxdy,,,,,,221，x，y 222x(x，y)222 =(z，x)dxdy,[，x]dxdyxdxdy=， ,,,,,,DDDxyxyxy4 ,122,zdxdy， ,zdxdy,,zcos,ds,,z1，z，ydsdy,,,,,,,,D,,22xy1，z，y 22222,,，,r(cossin)122222 ?原式，,d[rcos,]rdr[x，(x，y)]dxdy ,,00,,,,Dxy22 2,21323 =d,(rcos,，r)dr,8,． ,,002 练习： 2222222Dx，y，z,ax，y,a设是球面的外侧，投影域： ，下面等式是否成,xy立， 2222（1）xyzdsxyzdxdy= ,,,,,, 296 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 2222(x，y)dxdy,(x，y)dxdy（2） ,,,,,Dxy 2222222（3） (xy)zdxdy,xya,x,ydxdy,,,,,Dxy 两类曲面积分间的关系用向量形式表示如下： AdsAndsAds,,n,,,,,,,,, 其中 nr,,{cos,cos,cos},=，为有向曲面上点，处的单位法向,{P,Q,R}(x,y,z)A 量，dsnds,n{}称为有向曲面元，为向量在向量上的投影． Adydz,dzdx,dxdy,An : 1.对坐标的曲面积分的感念和性质． 2．对坐标的曲面积分的计算． 3．两类曲面积分的联系． 297 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 第六节 高斯公式，通量与散度 教学目的：理解和掌握高斯公式及应用，了解通量与散度的概念． 教学重点：高斯公式． 教学难点：高斯公式的应用． 教学内容： 一、Gauss公式 定理 设空间闭区域是有分片光滑的闭曲面所围成的，函数，，P(x,y,z)Q(x,y,z),, 在上具有一阶连续偏导数，则 , ,P,Q,R(，，)dv=pdydz，Qdzdx，Rdxdy ,,,,,,,x,y,z = (pcos,，Qcos,，Rcos,)ds,,, 其中,是的整个边界曲面的外侧，是,上点处的法向量的方cos,,cos,,cos,(x,y,z), 向余弦，称之为高斯公式． ,2证明 设D在面上证明：设在面上的投影域， xoy,xoy,xyz且过,z内部且平行于轴的直线与的边界曲面的交点 ,,,3恰好两个，则，，,:z,zx,y,,,,,由组成，取下侧， ,,123111y D，，，，，，,:z,zx,yzx,y,zx,y,取上侧，，是以 xxy32212 的边界曲线为准线，母线平行于z轴的柱面的一部分，取外侧， 图10-6-1 zx,y，，2,,,R,R,,,,,,，，,,，，dv,dzdxdy,Rx,y,zx,y,Rx,y,zx,ydxdy， ,,21,,,,,,,,,z,z,,,DDz，，x,yxyxy,1, ，，，，,,Rx,y,zdxdy,,Rx,y,zx,ydxdy,,,,1,D1xy ，，，，,,Rx,y,zdxdy,Rx,y,zx,ydxdy2,,,,,D2xy， ，， Rx,y,zdxdy,0,,,3 ,R，，？dv,Rx,y,zdxdy(1) ,,,,,,x,, 298 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 x类似，若过内部且平行于轴， 轴的直线与的边界曲面的交点也且由两个时有 y,,, ,P，，dv,Px,y,zdydz(2),,,,,,x,, ,Q，，dv,Qx,y,zdzdx(3),,,,,,y,, (1)+(2)+(3)即可证得高斯公式． 若不满足上述条件，可添加辅助面将其分成符号条件的若干块，且在辅助面两侧积, 分之和为零． 例1 利用高斯公式计算曲面积分(x,y)dxdy，(y,z)xdydz～ 其中为柱面,,, , 22xy，,1及平面所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧, zz,,0,3, 解 这里 PyzxQRxy,,,,,(),0, ,Q,R,P,0～ ～ , ,y,z,0,y,x,z由高斯公式～ 有 (x,y)dxdy，(y,z)dydz,(y,z)dxdydz,(,sin,,z),d,d,dz. ,,,,,,,, ,,, 2,13,9, ,,,,,,dd,zdz,,(sin),,,0002 222222例2 计算曲面积分(xcos,，ycos,，zcos,)dSxyz，,～ 其中为锥面介,,, , 于平面cos,z,0及zhh,,(0)之间的部分的下侧～、cos,、是上点(,,)xyz处cos,,的法向量的方向余弦, 222解 设zhxyz,，,(),,为的上侧～ 则与一起构成一个闭曲面～ 记它们围成的,11空间闭区域为～ 由高斯公式得 , 222(xcos,，ycos,，zcos,)dS,2(x，y，z)dv ,,,,,,，,,1 hh,2dxdy(x，y，z)dz,2dxdyzdz ,,,,,,2222x，yx，y222222x，y,hx，y,h 299 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 14222 ,(h,x,y)dxdy,,h,,2222xyh，, h提示: , dxdy(x，y)dz,0,,,22x，y222x，y,h 222224而 ～ (xcos,，ycos,，zcos,)dS,zdS,hdxdy,,h,,,,,,222,,x，y,h11 11222444因此 (xcosycoszcos)dShhh,，,，,,,,,,,,, ,,22, 提示: 根据被积函数的奇偶性和积分区域的对称性～ , (x，y)dv,0,,,, ,2hh ,zdv,d,,d,zdz(x，y，z)dv,(x，y)dv，zdv,,,,,,,,,,,,,,,00,,,,, h11234,,,,,,,,2(h)dh , ,024 例3 设函数和在闭区域上具有一阶及二阶连续偏导数～ uxyz(,,)vxyz(,,), ,v,u,v,u,v,u,v证明 u,vdxdydz,udS,(，，)dxdydz～ ,,,,,,,,,n,x,x,y,y,z,z,,, ,v其中是闭区域的整个边界曲面～ 为函数vxyz(,,)沿的外法线方向的方向导数～ ,,,,n ,,,符号～ 称为拉普拉斯算子, 这个公式叫做格林第一公式, ,,，，222,x,y,z 证 因为方向导数 ,v,v,v,v,cos,，cos,，cos,～ ,n,x,y,z其中cos,cos,(,,)xyz、、是在点处的外法线向量的方向余弦,于是曲面积分 cos,, ,v,v,v,vudS,u(cos，cos，cos)dS,,, ,,,,,n,x,y,z,, ,v,v,v,[(u)cos，(u)cos，(u)cos]dS,,,, ,,,x,y,z, 利用高斯公式～即得 ,v,,v,,v,,vudS,[(u)，(u)，(u)]dxdydz ,,,,,,n,x,x,y,y,z,z,, 300 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 ,u,v,u,v,u,v,u,vdxdydz，(，，)dxdydz～ ,,,,,,,x,x,y,y,z,z,, 将上式右端第二个积分移至左端便得所要证明的等式． 二、通量与散度 ,,,P,Q,R高斯公式：,,． ，，dV,Pdydz，Qdzdx，Rdxdy,,,,,,,,x,y,z,,,,外 右端物理意义：为单位时间内（流体经过流向指定侧的流体的质量）离开闭域的流,体的总质量． 流体不可压缩且流动是稳定的，有流体离开的同时，其部必须有产生流体的“源？, 头”产生同样多的流体来进行补充，故左端可解释为分布在内的源头在单位时间内所产, 生的流体的总质量． ,,,P,Q,R,,高斯公式可用向量形式表示：， ,,，，dV,v,nds,vdsn,,,,,,,,,,x,y,z,,,,, ,,11,P,Q,R同除闭区域的体积:． ,,，，dV,vds,n,,,,,,,V,x,y,zV,,,, 左端为内的源头在单位时间、单位体积内所产生流体质量的平均值，应用中值定理, ,,,P,Q,R1得：，，Mx,y,z,,，，，令缩为一点取极限得，，,vds,,,,,,,,,n,,,,,x,y,zV,,,，，,,,,, 1PQR,,,P,Q,Rlimvdsdivv，称为在点的散度，记，即vM，，nMxyzV,x,y,z ,P,Q,R,divv,，，， ,x,y,z ,散度divv可看成稳定流动的不可压缩流体在点的源头强度——单位时间内、单位体M ,积所产生的流质的质量.如果divv为负时，表示点处流体在消失． M ,,,,一般若向量场，，，，，，，，Ax,y,z,Px,y,zi，Qx,y,zj，Rx,y,zkP,Q,R，有一阶连续 ,,,偏导数，，，x,y,z为场内一片有向曲面，为上点处的单位法向量，则称为A,ndsn,,,,, ,,,P,Q,R向量场通过曲面向着指定侧的通量（流量），而叫做向量场的散度，AA,，，,x,y,z 301 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 ,,P,Q,R即divA,，，． ,x,y,z 高斯公式又一形式，为的边界曲面， divAdvAds,,,n,,,,,,, AAnPQR,,，，coscoscos,,,n ,是向量在曲面的外侧法向量上的投影． A, y,x,e2例3 试计算，，0,y,a，为曲线绕，，S1,xdydz，4xydzdx,2xzdxdy,,,z,0,Szoxox轴旋转所成的旋转曲面，其法矢量与轴正向夹角为钝角． 22y，za解 S:x,e方程：添上平面的前侧， Sx,e1oy 2构成封闭曲面外侧，令P,1,x,Q,4xy,R,,2xz， x 图10-6-2 ,P,Q,R,,2x，4x,2x,0, ，，,x,y,z 2 ，，？1,xdydz，4xydzdx,2xzdxdy,0dV,0,,,,,，,SS1 2222aa，，，，，，1,xdydz，4xydzdx,2xzdxdy,1,edydz,1,e,,,a ,,,,SD1yz 2a2，，？原式,,1,e,a． 练习: y,z,e2，，,1,y,2z1.计算曲线绕轴旋转一周2zxdydz,2ydzdx，，，5z,zdxdy,,:,,,x,0,, 3所成曲面的外侧，，，，答案：,e4e,15e，2． ,,,,11xx2.设，，fu有连续的一阶导数，计算 fdydzfdzdxzdxdy，，,,,,,,,yyxy,,,,, 2222,,，,,,由yxzyxz,8所围立体的外侧． ： 1．高斯公式. 2．通量和散度. 302 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 第七节 斯托克斯公式、环流量、旋度 教学目的：理解和掌握斯托克斯公式，及环流量和旋度的概念． 教学重点：斯托克斯公式． 教学难点：斯托克斯公式的应用． 教学内容： 一、stokes公式 定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，,,,, 的正向与的侧符合右手，在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续P,Q,R,, 偏导数，则有 ,,,,,R,Q,P,R,Q,P,, ,,,,,dydz，,dzdx，,dxdy,Pdx，Qdy，Rdz,,,,,,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,,,, dydzdzdxdxdy ,,,注(1)为便于记忆,，，. dSPdxQdyRdz,,,,,,xyz,L PQR (2) 由两类曲面间关系，stokes公式另一形式 cos,cos,cos, ,,,， dS,Pdx，Qdy，Rdz,,,,x,y,z,, PQR n,(cos,,cos,,cos,)为的单位法向量. , (3) 若是面上的一块闭区域，则stokes公式变为Green公式,即Green公式为stokesxoy, 公式的特例. 例1 计算x，y，z,1为平面被三个坐标面所截成的三角形的整zdx，xdy，ydz,,,, 个边界，它的方向与这个三角形上侧的法向量间符合右手规则 ,P,Q,R,Q,R,P解 令,0,,1,,1,,0,,0,,1P,z,Q,x,R,y,， ,y,x,y,z,x,z 303 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 z由stokes公式：原式=, dydz，dzdx，dxdy,,, o 的法向量方向余弦均为正，且由对称性 ？,y 13x原式d,？,3,3,,,,22Dxy 图10-7-1. 例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分 222222 ～ I,(y,z)dx，(z,x)dy，(x,y)dz,, 3其中是用平面截立方体: 的表面所得的截痕～ 若01,01,01,,,,,,xyz,x，y，z,2 从x轴的正向看去取逆时针方向, 13解 取为平面的上侧被所围成的部分～ 的单位法向量～ n,(1, 1, 1),,,x，y，z,23 1即, 按斯托克斯公式～ 有 ,,,cos,cos,cos,3 111 333 ,,,443I,dS,,(x，y，z)dS～ ,,,dS,,233dxdy,,,,,,,,,x,y,z233,,,Dxy222222y,xz,xx,y 其中D为在面上的投影区域～于是 xoy,xy 39, Idxdy,,6,,6,,,,,42Dxy dydzdzdxdxdy ,,,I,,,2(y，z)dydz，(x，z)dzdx，(x，y)dxdy. ,,,,,x,y,z,,222222y,zz,xx,y ,,,coscoscos ,,,4222提示: ,,(x，y，z), , dS,1，1，1dxdy,x,y,z3222222y,xz,xx,y 4439I,,(x，y，z)dS,,,dS. dxdydxdy,,233,,6,,,,,,,,,,2233,,DDxyxy二、环流量、旋度 304 滨州学院数学与信息科学系 第十章 曲线积分与曲面积分 高等数学教案 ,,,,，，，，，，，，设Ax,y,z,Px,y,zi，Qx,y,zj，Rx,y,zk， ,,,,,,,,,R,Q,P,R,Q,P,,则向量,,,,称为向量场的旋度，记rotA. ,,,,,A,,,,,,,,,y,z,z,x,x,y,,,,,,,, ,,,,,,,,,,RQPRQP,,rotAijk,,，,，, ,,,,,,,,,,,,yzzxxy,,,,,,.stokes公式向量形式 为的法向量，t,cos,cos,cos,,,rotAndSAtdsn,,,,,cos,cos,cos,,,,,,,,,,,,,,为的切向量，或. ，，rotAds,Ads,tn,,,,, 称为向量场沿有向闭曲线的环流量. Pdx，Qdy，Rdz,AdsA,t,,,, ： 1．斯托克斯公式. 2．环流量和旋度. 305