初一奥数题

初一奥数题 初一数学提高题 甲多开支100元，三年后负债600元(求每人每年收入多少, S的末四位数字的和是多少, 4(一个人以3千米/小时的速度上坡，以6千米/小时的速度下坡，行程12千米共用了3小时20分钟，试求上坡与下坡的路程( 5(求和: 6(:质数p除以30所得的余数一定不是合数( 228(若两个整数x，y使x+xy+y能被9整除，证明:x和y能被3整除( 2329(已知3x-x=1，求6x+7x-5x，2000的值( 10(某商店出售的一种商品，每天卖出100件，每件可获利4元，现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润，根据经验，这种商品每涨价1元，每天就少卖出10件(试问将每件商品提价多少元，才能获得最大利润,最大利润是多少元, 11(王平买了年利率7.11,的三年期和年利率为7.86,的五年期国库券共35000元，若三年期国库券到期后，把本息再连续存两个一年期的定期储蓄，五年后与五年期国库券的本息总和为47761元，问王平买三年期与五年期国库券各多少,(一年期定期储蓄年利率为5.22,) 12(解关于x的方程 13(解方程 其中a，b，c?0( 3235214(求(8x-6x+4x-7)(2x-3)的展开式中各项系数之和( 15(液态农药一桶，倒出8升后用水灌满，再倒出混合溶液4升，再用水灌满，这时农药的浓度为72,，求桶的容量( 16(满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个,这里[x]示不超过x的最大整数，例如[-5.6]=-6，[3]=3( 17(甲乙两人同时从东西两站相向步行，相会时，甲比乙多行24千米，甲经过9小时到东站，乙经过16小时到西站，求两站距离( 18(黑板上写着三个数，任意擦去其中一个，将它改写成其他两数的和减1，这样继续下去，最后得到19，1997，1999，问原来的三个数能否是2，2，2, 19(设有n个实数x，x，…，x，其中每一个不是+1就是-1，且 12n 求证:n是4的倍数( 20(已知a，b，c，d都是正数，并且a，d,a，c，d,b( 求证:ac，bd,ab( 21(已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍(因市场变化，乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍(调价后，甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2,，求乙种商品提价的百分数( 22(在锐角三角形ABC中，三个内角都是质数(求三角形的三个内角( 23(某工厂三年中，每年产量递增相同，若第三年比原计划多生产1000台，那么每年比上一年增长的百分数就相同，而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半，求原计划每年各生产多少台, 24(已知(x-1)2除多项式x4，ax3-3x2，bx，3所得的余式是x+1，试求a，b的值( 解答: 1 所以 x=5000(元)( 2 所以S的末四位数字的和为1，9，9，5=24( 3(因为 a-b?0，即 a,0或b?a,0时，等式成立( a?b(即当b? 4(设上坡路程为x千米，下坡路程为y千米(依题意则 有 由?有2x+y=20， ? 由?有y=12-x(将之代入?得 2x+12-x=20( 所以 x=8(千米)，于是y=4(千米)( 5(第n项为 所以 6(设p=30q，r，0?r,30(因为p为质数，故r?0，即0,r,30(假设r为合数，由于r,30，所以r的最小质约数只可能为2，3，5(再由p=30q，r知，当r的最小质约数为2，3，5时，p不是质数，矛盾(所以，r一定不是合数( 7(设 由?式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即 (4-m)pq+1=2(p+q)( 可知m,4(由?，m,0，且为整数，所以m=1，2，3(下面分别研究p，q( (1)若m=1时，有 解得p=1，q=1，与已知不符，舍去( (2)若m=2时，有 因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2时无解( (3)若m=3时，有 解之得 故 p，q=8( 22222228(因为x+xy+y=(x-y)+3xy(由题设，9,(x+xy，y)，所以3,(x，xy，y)， 22从而3,(x-y)(因为3是质数，故3,(x-y)(进而9,(x-y)(由上式又可知，9,3xy，故3,xy(所以3,x或3,y(若3,x，结合3(x-y)，便得3,y;若3,y，同理可得，3,x( 229(原式=2x(3x-x)+3(3x-x)-2x+2000 =2x×1，3×1-2x+2000=2003( 10(原来每天可获利4×100元，若每件提价x元，则每件商品获利(4，x)元，但每天卖出为(100-10x)件(如果设每天获利为y元，则 222y ,(4，x)(100-10x)=400，100x-40x-10x=-10(x-6x，9)，90，400=-10(x-3) ，490( 所以当x=3时，y最大=490元，即每件提价3元，每天获利最大，为490元( 11(设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元，则 因为 y=35000-x， 2 所以 x(1，0.0711×3)(1，0.0522)+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761， 所以 1.3433x，48755-1.393x=47761， 所以 0.0497x=994， 所以 x=20000(元)，y=35000-20000=15000(元)( 12(化简得6(a-1)x=3-6b+4ab，当a?1时， 13(将原方程变形为 由此可解得x=a，b+c( 3214(当x=1时，(8-6+4-7)(2-1)=1(即所求展开式中各项系数之和为1( 15. 依题意得 2 去分母、化简得7x-300x+800=0，即7x-20)(x-40)=0， 16(若n为整数，有[n，x]=n，[x]，所以[-1.77x]=[-2x，0.23x]=-2x+[0.23x]( 由已知[-1.77x]=-2x，所以-2x=-2x+[0.23x]， 所以 [0.23x]=0( 又因为x为自然数，所以0?0.23x,1，经试验，可知x可取1，2，3，4，共4个( 17(设甲步行速度为x千米/小时，乙步行速度为y千米/小时，则所求距离为(9x+16y)千 米(依题意得 22由?得16y=9x， ? 由?得16y=24，9x，将之代入?得 22 即 (24，9x)=(12x)(解之得 于是 所以两站距离为9×8，16×6=168(千米)( 18(是否定的(对于2，2，2，首先变为2，2，3，其中两个偶数，一个奇数(以后无论改变多少次，总是两个偶数，一个奇数(数值可以改变，但奇偶性不变)，所以，不可能变为19，1997，1999这三个奇数( 19. 。 又因为 所以，k是偶数，从而n是4的倍数( 20(由对称性，不妨设b?a，则ac，bd?ac，ad=a(c，d),ab( 21(设乙种商品原单价为x元，则甲种商品的原单价为1.5x元(设甲商品降价y,，则乙商品提价2y,(依题意有1.5x(1-y,)+x(1，2y,)=(1.5x，x)(1，2,)， 化简得1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02( 所以y=0.1=10,， 所以甲种商品降价10,，乙种商品提价20,( 22(因为?A+?B，?C=180?，所以?A，?B，?C中必有偶数(唯一的偶质数为2，所以?C=2?(所以?A+?B=178?(由于需?A，?B为奇质数，这样的解不唯一，如 23(设每年增产d千台，则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d，a，a，d依题意有 解之得 所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台( 224(不妨设商式为x+α?x，β(由已知有 432 x，ax-3x，bx，3 22 =(x-1)(x+α?x，β)+(x，1) 22 =(x-2x，1)(x，α? x，β)，x，1 432 =x+(α-2)x+(1-2α，β)x，(1，α-2β)x，β+1( 比较等号两端同次项的系数，应该有 只须解出 所以a=1，b=0即为所求(