二分法求函数_零点
必修一第三章第二课时二分法重点内容讲解
二分法的概念
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)?f(b)<0的函数y,f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(由函数的零点与相应方程根的关系,可用二分法来求方程的近似解(
给定精确度,用二分法求函数零点近似值的步骤如下:
(1)确定区间,,验证?,0,给定精确度;
(2)求区间,的中点;
(3)计算:
1若=,则就是函数的零点;
2若?,0,则令=(此时零点);
3若?,0,则令=(此时零点);
(4)判断是否达到精确度;即若,,则得到零点近似值(或);否则重复步骤2-4( 结论: 由函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方程的近似解. 思考:为什么由,,便可判断零点的近似值为(或),
一、能用二分法求零点的条件
例1 下列函数中能用二分法求零点的是( )
判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的,且该零点为变号零点(因此,用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用,对函数的不变号零点不适用(
变式迁移1 下列函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
1
二、二分法求函数的零点
3例2 判断函数y,x,x,1在区间[1,1.5]内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确度0.1)(
分析 由
目可获取以下主要信息:?判断函数在区间[1,1.5]内有无零点~可用根的存在性定理判断,?精确度0.1.解答本题在判断出在[1,1.5]内有零点后可用二分法求解(
3解 因为f(1),,1<0~f(1.5),0.875>0~且函数y,x,x,1的图象是连续的曲线~所以它在区间[1,1.5]内有零点~用二分法逐次计算~列表如下:
区间 中点值 中点函数近似值
(1,1.5) 1.25 ,0.3
(1.25,1.5) 1.375 0.22
,0.05 (1.25,1.375) 1.312 5
(1.312 5,1.375) 1.343 75 0.08
由于|1.375,1.312 5|,0.062 5<0.1~
所以函数的一个近似零点为1.312 5.
点评 由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐~因此用列表法往往能比较清晰地表达(事实上~还可用二分法继续算下去~进而得到这个零点精确度更高的近似值(
32变式迁移2 求函数f(x),x,2x,3x,6的一个正数零点(精确度0.1)(
解 由于f(1),,6<0~f(2),4>0~可取区间(1,2)作为计算的初始区间~用二分法逐次计算~列表如下:
区间 中点 中点函数值
,2.625 (1,2) 1.5
(1.5,2) 1.75 0.234 4
(1.5,1.75) 1.625 ,1.302 7
(1.625,1.75) 1.687 5 ,0.561 8
(1.687 5,1.75) 1.718 75 ,0.170 7
由于|1.75,1.687 5|,0.062 5<0.1~所以可将1.687 5作为函数零点的近似值( 三、二分法的综合运用
x例3 证明方程6,3x,2在区间[1,2]内有唯一一个实数解,并求出这个实数解(精确度0.1)(
分析 由题目可获取以下主要信息:?证明方程在[1,2]内有唯一实数解,?求出方程的解(解
x答本题可借助函数f(x),2,3x,6的单调性及根的存在性定理证明~进而用二分法求出这个解(
2
x证明 设函数f(x),2,3x,6~
?f(1),,1<0~f(2),4>0~
x又?f(x)是增函数~所以函数f(x),2,3x,6在区间[1,2]内有唯一的零点~
x则方程6,3x,2在区间[1,2]内有唯一一个实数解(
设该解为x~则x?[1,2]~ 00
取x,1.5~f(1.5),1.33>0~f(1)?f(1.5)<0~ 1
?x?(1,1.5)~ 0
取x,1.25~f(1.25),0.128>0~ 2
f(1)?f(1.25)<0~?x?(1,1.25)~ 0
取x,1.125~f(1.125),,0.445<0~ 3
f(1.125)?f(1.25)<0~?x?(1.125,1.25)~ 0
取x,1.187 5~f(1.187 5),,0.16<0~ 4
f(1.187 5)?f(1.25)<0~
?x?(1.187 5,1.25)( 0
?|1.25,1.187 5|,0.062 5<0.1~
?1.187 5可以作为这个方程的实数解(
点评 用二分法解决实际问题时~应考虑两个方面~一是转化成函数的零点问题~二是逐步缩
小考察范围~逼近问题的解(
3变式迁移3 求2的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)(
33解 设x,2~则x,2,0.
33令f(x),x,2~则函数f(x)的零点的近似值就是2的近似值~以下用二分法求其零点的近似值(
由于f(1),,1<0~f(2),6>0~故可以取区间[1,2]为计算的初始区间( 用二分法逐步计算~列表如下:
区间 中点 中点函数值
[1,2] 1.5 1.375
,0.046 9 [1,1.5] 1.25
[1.25,1.5] 1.375 0.599 6
[1.25,1.375] 1.312 5 0.261 0
[1.25,1.312 5] 1.281 25 0.103 3
[1.25,1.281 25] 1.265 625 0.027 3
,0.01 [1.25,1.265 625] 1.257 812 5
[1.257 812 5,1.265 625] 1.261 718 75 0.008 6 由于|1.265 625,1.257 812 5|,0.007 81<0.01~
所以函数f(x)零点的近似值是1.26~
3
3即2的近似值是1.26.
四、
1(能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用~对函数的不变号零点不适用(
12(二分法实质是一种逼近思想的应用(区间长度为1时~使用“二分法”n次后~精确度为. n2
3(求函数零点的近似值时~所要求的精确度不同~得到的结果也不相同(精确度为ε~是指在计算过程中得到某个区间(a~b)后~若其长度小于ε~即认为已达到所要求的精确度~可停止计算~否则应继续计算~直到|a,b|<ε为止(
练习
1(下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A(f(x),2x,3 B(f(x),lnx,2x,6
2xC(f(x),x,2x,1 D(f(x),2,1
xx2(设f(x),3,3x,8,用二分法求方程3,3x,8,0在x?(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( )
A((1,1.25) B((1.25,1.5)
C((1.5,2) D(不能确定
2(函数f(x),x,5的正零点的近似值(精确到0.1)是( ) 3
A(2.0 B(2.1 C(2.2 D(2.3
35(用二分法研究函数f(x),x,3x,1的零点时,第一次经计算f(0)<0,f(0.5)>0,可得其中一个零点x?________,第二次应计算________(以上横线上应填的内容为( ) 0
A((0,0.5),f(0.25) B((0,1),f(0.25) C((0.5,1),f(0.25) D((0,0.5),f(0.125)
6(在用二分法求方程f(x),0在[0,1]上的近似解时,经计算,f(0.625)<0,f(0.75)>0,f(0.687 5)<0,即可得出方程的一个近似解为____________(精确度为0.1)(
7(若函数fxxx()log3,,,的一个附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下: 3
f(2)= —0.3691 f(2.5)=0.3340
f(2.25)= —0.0119 f(2.375)=0.1624
f(2.3175)=0.0756 f(2.2815)=0.0319
xx,,,3log0那么方程的一个近似根(精确度为0.1)为 3
A(2.1 B(2.2 C(2.3 D(2.4
1,31,38、某方程有一无理根在区间,若用二分法求此根的近似值,则将区间至少要等分,,,,
次后,所得的近似值可精确到0.1。
9(用二分法求函数的零点,函数的零点总位于区间[a,b] (n?N)上,当|a,b|
答案