初二数学一次函数

初二数学一次函数 初二数学《一次函数》总结 (一)平面直角坐标系 1、定义:平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称 为直角坐标系 2、已知点的坐标找出该点的方法: 分别以点的横坐标、纵坐标在数轴上表示的点为垂足，作x轴y轴的的垂线，两垂线的交点即为要找的点。 3、已知点求出其坐标的方法: 由该点分别向x轴y轴作垂线，垂足在x轴上的坐标是改点的横坐标，垂足在y轴上的坐标是该点的纵坐标。 4、各个象限内点的特征: 第一象限:(+，+) 点P(x,y)，则x,0,y,0; 第二象限:(-，+) 点P(x,y)，则x,0,y,0; 第三象限:(-， -) 点P(x,y)，则x,0,y,0; 第四象限:(+，-) 点P(x,y)，则x,0,y,0; 5、坐标轴上点的坐标特征: x轴上的点，纵坐标为零;y轴上的点，横坐标为零;原点的坐标为(0 , 0)。两坐标轴的点不属于任何象限。 6、点的对称特征:已知点P(m,n), m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于x轴的对称点坐标是( 关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 7、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征: 平行于x轴的直线上的任意两点:纵坐标相等; 平行于y轴的直线上的任意两点:横坐标相等。 8、各象限角平分线上的点的坐标特征: 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 点P(a,b)关于第一、三象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(b, a) 第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 点P(a,b)关于第二、四象限坐标轴夹角平分线的对称点坐标是(-b,-a) 9、点P(x,y)的几何意义: 点P(x,y)到x轴的距离为 |y|， 点P(x,y)到y轴的距离为 |x|。 22点P(x,y)到坐标原点的距离为x，y 10、两点之间的距离: X轴上两点为A(x,0)、B(x,0) |AB|,|x,x| 1221 ,|y,y|(0,y)(0,y)2112Y轴上两点为C、D |CD| 22(x,x)，(y,y)2121、B(x,y) AB|= 已知A(x,y)1122 (x,y)11、中点坐标公式:已知A、B M为AB的中点 (x,y)1122 x，xy，y2121则:M=( , ) 22 12、点的平移特征: 在平面直角坐标系中， 将点(x,y)向右平移a个单位长度，可以得到对应点( x-a，y); 将点(x,y)向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a ，y); 将点(x,y)向上平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y，b); 将点(x,y)向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y,b)。 注意:对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化; 反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形 进行了怎样的平移。 (二)函数的基本知识: 建立数学模型 知识网络图 变化的世界 函数 图象 一次函数 再应用 性质 认 识 一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程 基本概念 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数:一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的 每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变 量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域:一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数; (2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零; (4)关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零; (5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象( 6、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步:描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出中数值对应的各点); 第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来)。 8、函数的表示方法 列表法:一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法:简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法:形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 (三)正比例函数和一次函数 1、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k是常数，k?0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式 y=kx (k不为零) ? k不为零 ? x指数为1 ? b取零 当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大;当k<0时，•直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小( (1)解析式:y=kx(k是常数，k?0) (2)必过点:(0，0)、(1，k) (3)走向:k>0时，图像经过一、三象限;k<0时，•图像经过二、四象限 (4)增减性:k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小 (5)倾斜度:|k|越大，越接近y轴;|k|越小，越接近x轴 2、一次函数及性质 一般地，形如y=kx，b(k,b是常数，k?0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx，b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注:一次函数一般形式 y=kx+b (k不为零) ? k不为零 ?x指数为1 ? b取任意实数 b一次函数y=kx+b的图象是经过(0，b)和(-，0)两点的一条直线，我k 们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移) ,(1)解析式:y=kx+b(k、b是常数，k0) b(2)必过点:(0，b)和(-，0) k ，图象经过第一、三象限;k<0，图象经过第二、四象限 (3)走向: k>0 b>0，图象经过第一、二象限;b<0，图象经过第三、四象限 k,0k,0,,直线经过第一、二、三象限 直线经过第一、三、四象限 ,,,,b,0b,0,, k,0k,0,,直线经过第一、二、四象限 直线经过第二、三、四象限 ,,,,b,0b,0,, kx+b中的k，b的作用: 注:y, 1、k决定着直线的变化趋势 ? k>0 直线从左向右是向上的 ? k<0 直线从左向右是向下的 2、b决定着直线与y轴的交点位置 ? b>0 直线与y轴的正半轴相交 ? b<0 直线与y轴的负半轴相交 (4)增减性: k>0，y随x的增大而增大;k<0，y随x增大而减小. (5)倾斜度:|k|越大，图象越接近于y轴;|k|越小，图象越接近于x轴. (6)图像的平移: 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位; 当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位. 3、一次函数y=kx，b的图象的画法. 根据几何知识:经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点:(0，b)，.即横坐标或纵坐标为0的点. 注:对于y,kx+b 而言，图象共有以下四种情况: 1、k>0，b>0 2、k>0，b<0 3、k<0，b<0 4、k<0，b>0 b>0 b<0 b=0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 k>0 图象从左到右上升，y随x的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限 k<0 图象从左到右下降，y随x的增大而减小 4、直线y=kx，b(k?0)与坐标轴的交点( (1)直线y=kx与x轴、y轴的交点都是(0，0); (2)直线y=kx，b与x轴交点坐标为与 y轴交点坐标为(0，b)( 5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤: (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式; (2)将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到 以待定系数为未知数的方程; (3)解方程得出未知系数的值; (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 6、两条直线交点坐标的求法: 方法:联立方程组求x、y 例题:已知两直线y,x+6 与y,2x-4交于点P，求P点的坐标, 7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系 ,(1)两直线平行:k=k且b b1212 ,k(2)两直线相交:k12 (3)两直线重合:k=k且b=b 1212 8、正比例函数与一次函数图象之间的关系 一次函数y=kx，b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到(当b>0时，向上平移;当b<0时，向下平移). 9、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0(a，b为常数，a?0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 10、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0(a，b为常数，a?0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围. 11、一次函数与二元一次方程组 (1)以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数 acy=的图象相同. ,x，bb ，,axbyc,111(2)二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数,axbyc，,222, acac1122,x，,x，y=和y=的图象交点. bbbb1122 12、函数应用问题 (理论应用 实际应用) (1)利用图象解题 通过函数图象获取信息，并利用所获取的信息解决简单的实际问题. (2)经营决策问题 函数建模的关键是将实际问题数学化，从而解决最佳，最佳策略等问题.建立一次函数模型解决实际问题，就是要从实际问题中抽象出两个变量，再寻求出两个变量之间的关系，构建函数模型，从而利用数学知识解决实际问题.