4.3 向量的平行和垂直

4.3 向量的平行和垂直 例1．已知向量AB,(6,1),BC,(x,y),CD,(,2,,3),当向量BC//DA时,求实数x,y应满足的条件. 例2．已知|a|,|b|,证明a，b与a,b垂直. 例3．设已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及OP,OA，tAB. 求（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？ （2）四边形OABP能否成为平行四边形？证明你的结论. 例4．求证ΔABC的三条高相交于一点. 已知a,0,b,0,a不平行于b,求证:(a，b)不平行于(a,b). 1．与向量a,(3,,4)垂直的单位向量是______________. 2．与向量a,(3,,4)平行的单位向量是______________. 3．若e,e是两个不共线的向量,已知AB,2e，ke,CB,e，3e,CD,2e,e,若A,B,D三点共线， 12121212 则k=______________. xy114．若 （ ） a,(x,y),b,(x,y),则,是a//b的1122xy22 A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件 5．如果a,(2x,2,,3)与b,(x，1,x，4)互相垂直，则实数x等于 （ ） 17177 A． B． C．或 D．或－2 222226．给出下列命题： （1）如果,a,,b,(,0)那么a,b; （2）如果a,c,b,c(c,0),那么a,b; （3）如果a,b,0,那么a,b; （4）如果a,b,,|a|,|b|,0,那么a与b方向相反； （5）如果a,b,0,那么a与b的夹角为钝角. 其中假命题是____________（将假命题的序号都填上） 1．三点A(x,y)，B(x,y)，C(x,y)共线的充要条件是 （ ） 112233 A．xy－x y=0 B．x y－x y=0 12211331 C． D． (x,x)(y,y),(x,x)(y,y)(x,x)(x,x),(y,y)(y,y)21313121213121312．已知 ABCD的三个顶点为A(－1,－2)，B(3,－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________. 3．已知a//b且|a|,1,|b|,2,则a,b为 （ ） A．2 B．－2 C．?2 D．?3 1 b满足|a|,|b|,且a不平行于b,则向量a，b与a,ba、的位置关系是 （ ） A．平行 B．垂直 C．共线且同向 D．共线且反向 4．非零向量5．下列命题中正确的是 （ ） A．若a,b,0,则a或b,0a,b,0,则a//b B．若 2C．若a,b,则a,b,(a,b)a,b共线,则a,b,|a||b| D．若 6．已知a,2i，kj,b,4i,2j,且a,(a,b),则k,____________. 7．已知a,(x,7),b,(4,x，3),当x,__________时,a,b,当x,_________时,a//b. 8．设命题：p：向量b与a共线,命题q:有且只有一个实数,,使得b,,a,则p是q的 （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9．下面四个条件：?a，b,3e且a,b,5e?xa，xb,0(x,x,R)?a,,b且,唯一(,,R且b,0) 1212 ?xa，yb,0(x,y,R且x，y,0)a与b其中能使共线的是 （ ） A．?? B．?? C．?? D．?? 10．已知在梯形ABCD中，AB//CD,A(1,1),B(3,,2),C(,3,,7),若AD//(BD,2AB),求D点坐标. 11．已知b是非零向量,求证:a,b的充要条件是|a，b|,|a,b|.a、 12．已知：C是以AB为直径的半圆上任意一点，求证：AC,BC. 13．已知平面内三个点A（1，7），B（0，0），C（8，3），D为线段BC上一点，且 (BA，CA，DA),BC,求D点坐标. 2 3