【doc】弦振动实验中有关问题的研究

【doc】弦振动实验中有关问题的研究 弦振动实验中有关问题的研究 第1O卷第1期 1990年2月 物理实验 PHYSICSEXPERIMENATION VoI,10,NO.1 Feb..1990 弦振动实验中有关问题的研究 一 ,问西的提出 黄涛丁顶贤 (南京师范大学物理系) "弦振动阿研究是萱通物理血邕塞殓 中的一个基本实验.在杨述武等编着的普 通物理实验》(力学,热学部分)教材中, 根据学生的数理基础,给出了简单的 实验廉理和计算公式.但该实验中所出现的 一 些物理现象却反映了更深的物理内涵.如 在弦长一定,半波数愈少,则驻波的波蝮将 愈大(此时音叉对弦的策动并没改变).再 如思考题;在弦的长度,线密度和弦中张力 不变的情况下,若将音叉的横向策动变为纵 向策动时,弦上原已形成的2个半波数将 变为"个半波数等等.我们认为应该在符台 实际的物理模型基础上进行研究,这对于教 师,对于学过理论力学,数学物理方法以后 的学生,无论是在提高对普通物理实验的认 识方面,还是就理论应用于实际方面都会有 很明显的实际意义. =,攥翌的t立夏其解的新理意义 建立如图1所示的坐标系,弦长为,, 在=,处,电动音叉对弦作Acosot的策 动,为音叉振幅,co为音叉的策动频率. C!, 若弦中张力为,弦的线密度为P,则弹性 波在弦中的传播速度为c='/?.设弦在 振动时的阻尼系数为2B.对于这样的物理 模型,我们可以得到如下的定解问题. 等:., 『.口:0 『.:Acosc0t 考虑到有阻尼的存在,这个定解问题的 瞬态解将授阻尼掉,在一定长时间后,该系 统的稳态解为 =c,,=Ref等-e?J 其中.={一,暑字,为复波数.由此 得 = 月+jl 考虑到B/?<1,其中 ,m|0+1月=旦 C ~./ /2 ::: (-+菩)? 2 ?9' , . . ,? 其一级近似解为 y()=争c砌?.f+ + 鲁sinR.S?sinto 由于很小,一<l,所以 f !孚1《j鲁I=I鲁I, 故有 Y(,t)?,sinRx?sin~~… u? 这就是我们在实验中观察到的稳定的驻波. 在Rx=一,即一等=号' 处,sin胁o,ymo, 为波节?在月=(2+1)号,即=(2n+1) ..I一寻处,sinR:?1,44(1-B./2?)'' y…= I号手I.为波腹.由此可见,当弦 上形成驻波时,其波恻幅值与,c成正 比,与B,,成反比.在A,目,,一定的 条件下,波速愈大(即T大)则波腹的幅值 也愈大.这盂是我们在弦振动实验中观察到 的现象.. 在我们的实验条件下,B《?,所以波 节在*?"鲁处,波腹在*?(2"+1)鲁处. 弦与音叉激励频率发生共振时,弦的长度也 应大约调至=告(满足边界条件)处. 这便是教材所给物理模型得出的结论. 三,=分景现象的研究 适当调节弦长J,张力,使弦上形成 偶数个半波数,保持此时的,,T,P及音 叉策动频率?不变,仅将音叉的策动方式由 横向策动变为纵向策动,则弦上形成的半波 ..1O, 数将减半.这就是说,此时弦在以的频率 振动,其振动额率为策动频率的一半.这种 现象不仅在本实验系统中发生,在其它的力 学系统中也存在,我们称之为二分频现象. 肌物理模型上看,此时弦的振动仍然是 有界弦的强迫,阻尼微振动.音叉对弦的策 动形式仍是c??f.所不同的仅是策动的 方式变了.实验事实告诉我们:纵向策动在 一 定条件下确实能够产生横向振动.为了说 明这一问题,我们可以先做一个更简单的实 验. 如图2,将一摆长为0的单摆悬挂在一 作竖直方向振动的系统的根部(那里振幅 较小).当系统在竖直平面内作简谐振动 时,单摆的悬挂点在竖直方向受到Acoscot形 图2 式的策动.在一般情况下,单摆并不响应该 策动(即不能在此策动力作用下在横向摆动 起来).但如若改变?的质量,使系统的 J— 策动频率.=?—等于或接近于单摆的摆V』 r_ 动频率?o=?}的两倍时,即?=2co.'u ?e,.是一个禳小的频率偏离量,可以看 到单摆将强烈响应系统的策动而作横向振 动.且振幅可达相当大的值.确实,单摆悬 挂点受到垂直方向的激励,会引起单摆水平 方向的振动.音叉对张紧的弦的纵向策动引 起弦作二分频横振动与系统对单摆悬点作 纵向策动引起单摆作二分频横向振动的物理 机制相同.可以这样理解(图3){当音叉 以Acos~ot的形式饿动张紧的弦时,弦上总 存在着一等效的单摆.其等效摆长为o,等 {, }"-. 0' 图8 嫂的重力加速度(由弦中张力产生)为g, 丽满足=?一等一=丢..设此等效单摆 的质量中心在m点,则m点将在音叉策动 下作横向扳动.它的横向振动又成了激发弦 横向振动的策动源.由于策动频率为,所 以在宏观上我们就看到了弦作频率为要的横 振动.若弦在作颓率为co的振动对有偶数个 半波数,则II七列弦长=2n?—,当策动 颓率变为时,弦振动的半漩数减半,,= ?一 ,仍然满足弦与策动力共振的条件, 故弦能作二分频扳动.若弦在作频率为m的 振动时有奇数个半波数,则此时弦长f= (2n1)'一,当策动频率变为詈时,弦 振动频率减半,f=一一1_). ? 孚,这 样,弦长与波长韵关系洗不满足弦与策.功力 共振的条件,故弦将不发生共振. 为了在理论上阐明二分频现象的物理本 质,我们仍以囤2系统来进行研究.按图4 建立?y坐标系,单摆悬挂点o,在考向 作Aeo~ot的微振动,《.,?q质点m向坐 标为. =0's.incp =Acoscot+.cO8 因此,质点m在重力场中作微振动的拉格朗 窿{毒' 日函数工为: 工=,吾m二2+丢m;=. , (一mgacosip).,l . (?o08?)? 1'专(,Acos'm.十sinq)') 甲一 . 1 :_um.sz+mAa.sincpS'll2~o(. .. +mgac~.sq)+号由? 因为4是微小量,A《所以.项睁声 不甘t则I--?,,. 工0z+mAom昂咖s~cot- +mgaco~ 一. c1) 由此得质点的运动声程式为 丢(一茜..(12将'(1)代八(2)武得,, . (等面f):0'' , ' 十 基中.;=导}考蜱到较小咖cp锚..所 以?_'. i(七蔷9一 . ' . . , :( 方程(3)即是赓点:畴般振动方程,,具有 下列形式; , +?(f)=0(4) (4)式是一非线性方程,可见的运动已 超出了普通物理的研究范围.在这里,我们 只作一简略的介绍. 这种形式的微振动方程的解有特殊的 性质.假定与?(f)对应的周期为,则 ?(f)=?(f+),因此方程(4)对t (t+T)的变换是等价的.若(t)是方 程的解,(t+T)也必然是方程的解.所 以,如果方程(4)有两个独立的解(f) 和z(f),贝?l(f+)和(f+)都可用 拍(f)和托(f)作线性表示.在这种情况 下,l和z可以这样来选择:使得("?) 代替f时它们的改变仅仅是乘上一个常数因 子,即 l(f+)=lI(f) 2(f+)=i;(f) 具有这种性质的函数的最一般的形式是: l=l',. l(f),2=?',.2(f) (5) 其中t(,)和(t)是时间的纯周期函数 (周期为T),在这些函数里,常数t和 应该以一定的关系相联系.事实上给方程 l+?(f)I=o,?+?.(})=0 分别乘上:和t,同时相减,得l ???,,,0' l2一2Xt=—;(l一21)=0 ?? 或l2一2I常数 以(5)式代入此式,要使该等式任何时修 都成立,必有t?=1. 另外,若(t)是方程(4)的某一特 解,那末其共轭复数(f)也应满足同一方 程.所以常量pt,:应该和另一对常量. 和}相同,即.=}和z=因此 有l?t=??肛}=lI或者I,t都 是要数.剧有1=-1或=:.若以式 <辱)的形式定,则有-='.= -'.这样,形式加(4)的方程有两个 独立解,形式如 ,l2 l(t)="l(f) 札(f)=,,2(f) 从这两个解中我们可以看到,只要不为 1,无论"是正的还是负的,大于1还是小 于1的实数,这两个函数中总有一个是在随 时间按指数规律增长的.这就是说体系的静 止状态(在=0的平衡位置)将是不稳定 的,只要对平衡位置有任意小的偏离,在 方向上有,个解的幅值会随时间很快增大, 这种现象叫做非线性微振动的参数共振. 让我们回到方程(3),其中?.(f)= .5(+罢},.?m),由于?《,所 以—!?.0??f《?3,且前者是一简单的 周期函数,这种形式的方程产生参数共振的 条件由莫其约方程的解给出为;函数.(f) 的频率接近于频率..的二倍时,参数共振发 生得最剧烈_31. 事实上,只要对方程(3)稍作变化, 就可得到的莫其约方程.令 罢一:^《1,?:2?+e0? 则(!)式便成为t +m:[1+heos(2?0+e)t3~=o(6) 这就是莫其约方程.其解为 (f)=西(f)c08(co+号)f +中)咖(m+导)f 同时也可确定发生参数共振的条件是. <2co-4 =2? 由此可见,根据莫其约方程的解,对于 象图2,图3,图4这样的运动系统,当策 动颤率接近于系统固有频率的两倍时,系统 将发生强烈的参数共振.我们在弦振动实验 中看到的二分频现象,正是参数共振的一个 实例. (参考文献转4o页)