[修订]涉及三个连续自然数的整除问题

[修订]涉及三个连续自然数的整除问题 涉及三个连续自然数的整除问题 陕西省小学教师中心 王凯成 赵熹民 题1 在100至200之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出这样的三个连续自然数。 题2 有三个连续的自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，写出一组这样的三个连续自然数。 题1、题2都是涉及三个连续自然数的整除问题。如何解决这类问题呢, 例1 见题1 解:能够被5整除数的特征是:个位数字是0或5。以中间数的个位数字是0或5为突 破口。 最小数 中间数 最大数 个 9 0 1 位 4 5 6 数 谁乘以7的个位数是1或6呢,只有?3×7或?8×7的个位数是1或6。 100?7=14……2，因为14,13，用23试验。 23×7=161, 161,1=160是5的倍数，160,1=159是3的倍数。 故159、160、161是符合条件的一组数。 在100至200之间还有没有其它符合条件的三个连续自然数呢, 3、5、7的最小公倍数是105，而100,159+105k,200与100,161+105k,200的k只能取0，故159、160、161是唯一符合条件的一组数。 例2 见题2 解:能被15整除必能被5整除，所以最小数的个位数字必是0或5。 最小数 中间数 最大数 个 0 1 2 位 5 6 7 数 从19入手，只有?8×19的个位数字是2，?3×19的个位数字是7。 随便取一个数试验。 88×19=1672，因最小的数要被3整除，但3不整除1670，调整，给1672增加190的若干倍(因1672+190m，仍然能被19整除)，1672+190=1862， 3整除1860，但17不整除1861。再调整，给1862增加190×3=570的若干倍(因1862+570k能被19整除，而1860+570k能被15整除)。 1862+570=2432，此时恰好17整除2431。 故2430、2431、2432是符合条件的一组数。 由15、17、19的最小公倍数是4845知:2430+4845k、2431+4845k、2432+4845k (k=0,1,2，……) 是符合条件的任意一组数。 例3 有大于400的三个连续自然数，其中最小的能被6整除，中间的能被5整除，最大的能被7整除，写出一组这样的三个连续自然数。 解:由被5整除数的特征知，最小数、中间数、最大数的个位数依次是4、5、6(为什 1呢,)。 么不会是9、0、 从7入手。只有?8×7的个位数是6。 400?7=57……1 58×7=406，因最小数被6整除，它必被3整除，但3不整除404，调整。给404加上70的若干倍。 404+70=474，3整除474, 2整除474，故6整除474。 474、475、476是符合条件的一组数。 以上三例体现了解决这类问题的一般方法: 首先，根据题意确定三个连续自然数的个位数字。 其次，从个位数字入手试验，先满足一个整除条件(除数最大)，经试验调整，直到满足其它整除条件为止。 涉及三个连续自然数的整除问题都可以转化为孙子问题。 题1可转化为:一个自然数(题1中的最大数)大于100，小于200，它被7除余0，被5除余1，被3除余2。求此数。 题2可转化为:一个自然数(题2中的最大数)，它被19除余0，被17除余1，被15除余2。求此数。 对于孙子问题可用孙子定理来解，但对一个具体问题未必简单。