穿越贯通南北极隧道的物体与简谐振动

穿越贯通南北极隧道的物体与简谐振动 V01.29No.2(2OO8)物理教师 PHYSICSTEACHER 第29卷第2期 2o()8年 ? 问题讨论? 穿越贯通南北极隧道的物体与简谐振动 石凤良刘一山邸淑红 (唐山师范学院物理系,河北唐山063000) 下面的问题经常出现在高三物理的总复习课上:假设 地球是半径为R,质量为M的匀质球体,且不考虑自转的 影响,设想在地球的内部沿连接南北极的直线开凿出一条 光滑的隧道,一物体从北极静止坠入隧道,试分析物体的运 动规律.最近我们到中学听课学习,恰好有两所中学的物理 教师为学生讲解本题,学生们对该题现出了很大的兴趣, 本题目也确实是一道经典题目.但听课过程中,我们感到两 位老师的授课均稍有欠缺,如果作些补充,效果会更好.为 此想谈谈我们的一点见解. 1关于球壳对位于其内部物体的吸引问题 明确均匀分布的球壳对位于其内部物体的合引力为0 是分析上述题目的第一步.两位中学老师在课上这样讲: "均匀分布的球壳对其内部质点的合引力为0实际上就是 所谓的牛顿球壳定理,300年前牛顿采用积分的方法已经 给出了严格的证明.同学们到大学之后才学习微积分,所以 现在只要求大家记住结论."显然这样讲会挫伤学生的学习 热情,以下我们给出的处理方法,既不涉及积分公式也不涉 及中学生不熟悉的立体角知识,相信中学生能很好地接受. 图1图2 如图1所示,质点P位于球心在0点均匀的球面之 内.过0,P两点作直线OP,直线AC与球面交于A,C两 点,令AC,尸O夹角为,再作直线BD与球面交于B,D两 点,且要求AC,BD的夹角a趋于无限小,则圆弧AB无限 趋于直线AB,并满足AB=r】a(?BP:r1).将图1绕 轴OP旋转一周,则AB旋转成一球带,如图2所示,且该 球带与底面半径AE=r1sin0,高为AB=r1a的圆柱面无 限接近.于是该球带侧面积S1=(2nrlsin0)1a; 27rr12aNnO,同理CD旋转成的球带侧面积S2= 27rr22asin0,设与面积Sl,S2相应的质量为ml,m2,由于 ,... 2 球面质量分布均匀(面密度相等)则有==II.于是 m22r2 根据万有引力公式,处于P点上,下的两球带对P点的引 JJF1,F2满足IF 2I=甍=1.再考虑到oP为旋转的对称r, 2 — 26一 轴,两球带对质点P的引力一定均在OP上,但方向必相 反,即m1,m2对点P的引力作用互为抵消. 由于球面是由无数对这样的球带组成,而每一对的引 力作用均互为抵消,故整个球面对位于其内部的物体的合 引力为0.而球壳又是由无数个同心的球面组成,自然对其 内部物体的合引力为0. 2关于振动周期的问题 图3中令地球的质量为M,半径 为R=6370km,由上述分析可知,质 量为m物体运动劲P点时,只受到半 径为r,质量为Mr=r3M的球体的引 力F:一(已经考虑力的方 向),于是F=一, 令忌=,则F=一.图3 据此两位老师课上得出定性结论:"任何物体坠入贯通 南北极的隧道时,都做循环往复的简谐运动." 我们认为,如果能对该简谐运动周期丁进行定量分 析,会极大提高学生们的兴趣.尽管中学教材没有给出运动 周期丁的一般表达式,但由教材(全日制普通高级中学教 科书物理第2册2003年6月第1版)第31页给出的单摆 周期T=2/t和回复力F=一如=一,我们可以 引导学生们探索出简谐运动周期丁的一般表达式:对T= 2?寺进行改造得丁=2?2/2?詈,VmJ优Y尼,,Z 上面已经得出k:GMm ,所以隧道内简谐运动周期丁= 2 ?=2?.而第一宇宙速度_?= 7.9km/s丁===5064s.这 表明隧道内做简谐运动周期与人造卫星在地表附近环绕地 球一周的时问正好相等,相信这样的"巧合"定会使学生倍 感振奋1 3关于对该题目的进一步认识 在此还想对周期丁作两点进一步说明. (1)将地球质量M=?冗R0P(P为地球的平均密度), 代入丁=2?得丁.这表明物(下转第28页) Vl0】.29No.2(2008)物理教师 PHYSICST_EACHER 第29卷第2期 20o8年 经水柱任一截面处的水的体积(即流量Q)是一定的,流量 Q=Sv,其中S为水柱的截面积,为该截面处水流的速 度.因此流经水柱任意两个截面处有:S11:S22,由于水 柱顶点处的水流速度小于下面部分的水流速度,故水柱直 径上面比下面大. (2)设水流柱落地时的速度为2,由运动学公式得: "02:?1+2gh=4m/s;由s11:Szvz,即 1 1 2"O 1 {22'~2得20.5cin? 6计算空中有多少水 例6.一水平放置的水管,距地面高h=1.8m,管内截 面积S=2.0cm2.有水从管口以不变的速度=2.0m/s 源源不断地沿水平方向射出,假设水流在空中不散开,求水 流稳定后在空中有多少m3的水. 分析:流出管口的水在空中形成的水柱的中心线应为 一 段抛物线,设这段抛物线的长度为Z0,则空中水柱体积 是否为V=S207这种方法很容易想到,但在求这段抛物线 的长度时却遇到了困难,同时因为随着水向下流动的速度 越来越大,前已论及,水柱的截面积应逐渐减小,即空中这 段抛物线水柱的截面不一样大.所以必须另辟蹊径. 解:以t表示水由喷口处到落地所用的时间,有: h=?gz.(1) 单位时间内喷出的水量为: Q:Sv.(2) 空中水的总量应为 V=Qt.(3) 由以上各式得: = . 代人数值得:V=2.4×10一m3. 7计算"水流"对冲击面的作用力 例7.由喷泉中喷出的竖直水柱,把一个质量为M的 垃圾简顶在空中.若水以恒定的速率0从面积为S的小 孔中喷出,射向空中,在冲击垃圾筒底后以原速竖直溅下. 求垃圾筒在空中停留的高度h. 解:小孔喷出的水在空中做竖直上抛运动,设水柱射到 高度为h处时速度为,由运动学公式有: 一 0=2.(1) 设水的密度为p,则每秒钟射到垃圾筒底的水的质量 为: Am=proS.(2) 设水对垃圾筒底冲击力的反作用力为厂,以Am的水 为研究对象,取竖直向下为正方向,由动量定理有: 厂At=Amy一(一Amy)=2pv0Sv. 由于At=1s,所以水对垃圾筒底冲击力厂为: ,=一厂=2proSv.(3) 当垃圾筒停留在空中时,它所受到的合外力为零,故 有: f—Mg=0. 由(1),(2),(3),(4)式得: (4) ^=v 2g o__. 22 一 号( 8测定"水流"的速度 例8.电磁流速计广泛地应用于测量可导电流体(如自 来水)在管中的流速.为了简 化,假设流速计是如图3所示 的横截面为圆形的一段管道, 其中空部分的横截面直径为 D,流速计的两端与自来水的 二皿图3 管道相连接(图中虚线).图中流速计的管道是金属材料,现 于流速计所在处加磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向 垂直于管道的前后两面.当自来水稳定地流经流速计时,在 管外将流速计上,下两表面分别与一电压表的两端连接,己, 表示测得的电压值,请由以上物理量表示出自来水的流速. (不计"流水"的电阻) 解析:当水中的离子受到的电场力F和洛伦兹力. 厂相 平衡时管壁的上,下表面间的电压为U,由平衡条件得: I,一, q坼,,侍:? 通过以上的专题复习,可以多方位,广角度地培养学生 的物理建模能力,同时也较好地体现了物理与生活的有效 融合.(收稿日期:2007—09—10) (上接第26页)体在任何天体内部的含有质心的隧道内做 简谐运动时,其周期丁与天体的质量,半径并无直接关系, 而只与天体的密度有关.因为水星的密度与地球密度非常 接近,故物体在地球及水星隧道中做简谐运动的周期近乎 相等. (2)简谐运动的周期与隧道是否通过中心无关.设想在 图3中的左侧也开出一条光滑隧道,则质量为m的物体运 动到P点时,受到指向地心的合引力与其在P点时受到的 地心引力大小相等,即F=一仍成立,此时运动的物体 一 28一 受沿方向的分力则为=Fsina=一krsina=一kz.这 说明物体仍在此隧道内做平衡位置在0点的简谐运动,而 且由于k=并不改变,故运动的周期丁也不会改变, 上 仍是5064s.即物体在中国北京——阿根廷别德马隧道内 运动的周期与北京——广州的隧道内运动的周期,理论上 并无差别,这将会加深学生们对周期与振幅大小无关的理 解. (收稿日期:2007一O9—29)