213求最值问题的若干方法

213求最值问题的若干方法 求最值问题的若干方法 定安中学 王运栋 摘要:中学数学的最值问题涉及到代数、三角、立体几何及解析几何之中，是历年来高考的热点。本文介绍求最值问题常见方法有配方法、数形结合法、不等式法、判别式法、换元法、函数单调性法、导数法等其他方法。 关键词:最值 方法 数学的核心就是问题的解决，而在日常生产实践中，最值问题应用比较广泛。利用中学数学方法解最值问题，要求学生有坚实的数学基础、具有严谨、全面的分析问题和灵活、综合的解决问题的能力，中学数学的最值知识又是进一步学习大学数学中最值问题的基础。下面仅介绍求最值的几种常用方法。 1、配方法: 主要适用于二次函数或可化为二次型的问题，解题过程中，要特别注意自变量的取值范围。 2例1、已知函数f(x),x,2x，2，x?[t，t，1]的最小值是g(t)，试写出g(t)的函数达式。 分析 本题是关于二次函数在闭区间上的最值问题，由于x?[t，t，1]且对称轴确定，故应利用对称轴与区间的关系确定其最值。 22解:?f(x),x,2x，2,(x,1)，1?1，因x?[t，t，1]。 (1)当t?1?t，1，即0?t?1时，函数最小值在顶点处取得，即g(t),f(1),1。 (2)当1,t，1，即时t,0时，f(x)在[t，t，1]上是减函数，此时最小值为g(t) 2,f(t，1),t，1。 2(3)当1,t时，f(x)在[t，t，1]上是增函数，此时最小值为g(t),f(t),t,2t，2 ?当x?[t，t，1]，f(x)的最小值是: 1 2,t，,1 (t0) ,g(t)=1 (0t),,, , 2,ttt,，,22(1), 2例2、(02年全国高考)设a为实数，函数f(x),x，|x,a|，1，x?R， (1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值。 分析 (1)f(x)奇偶性与a的取值有关，可对a的取值进行讨论;(2)按x取值去掉绝对值，转化为二次函数最值问题处理。 解:(1)略; 1322(2)、?当x?a时，函数f(x),x,x，a，1,(x,)，a， 24 1，则函数f(x)在(,?，a]上单调递减，从而函数f(x)在(,?，a]若a?2 2上的最小值为f(a),a，1; 1131若a,，则函数f(x)在(,?，a]上的最小值为f(),，a，且f()?f(a) 2242 1322?当x?a时，函数f(x),x，x,a，1,(x，),a， 24 1131若a?,,则函数f(x)在[a，，?)上的最小值为f(,),,a，且f(,)?f(a) 2242 1若a,,，则函数f(x)在[a，，?)上单调递增，从而函数f(x)在[a，，?)2 2上的最小值为f(a),a，1 13综上，当a?,时，f(x),,a; min24 112当,,a?，f(x),a，1 min22 13当a,时，f(x),a， min24 评注:由以上两例分析，只要能正确地把握二次函数的性质，或能很灵活地把要解答的问题转换成二次函数的问题，注意数开结合，就能将一些复杂问题巧妙地解答出来。 2、数形结合法 通过挖掘问题的几何背景，构造出问题的几何模形，以形助数，便于探索 2 问题的简捷解法，有些几何问题可通过数来解决。用数形结合法求最值既可借助直观获得简捷解法，又可避免因对限制条件考虑不周造成的失误，还有利于沟通数学各个分支，深化我们的思维。 4242例3、求函数f(x),的最大值。 xxxxx,,，,,，36131 分析函数结构复杂，无法用常规方法解，设法将其具体化，由根式我们会联想到距离，问题的关键是两个根式内的被开方式能否化成平方和的形式，通过拆凑，发现可以，即 y222222 f(x),(2)(3)(1)xxxx,，,,,， 2y=x对其作适当的语义解释，问题就转化 2为:求点P(x，x)到点A(3，2)与点B(0，1) BA距离之差的最大值。进一步将其直观具体化 pC 如图，由A、B的位置知直线AB必交抛物线Ox 2y,x于第二象限的一点C，由三角形两边之 差小于第三边知，P位于C时，f(x)才能取到最大值，且最大值就是AB，故f(x)max 10,|AB|, 上述分析过程的关键是将问题通过几何直观，转化具体的形，“形”使我们把握住了f(x)的变化情况。 2例4以抛物线y,16x的焦点F和点G(4，4)为焦点作一个与抛物线相交并且长轴最短的椭圆，求此椭圆方程。 y 解:本题若直接用两点间距离公式建立目标函数/QP G/Q求椭圆长轴长的最小值，相当繁琐，考虑到抛物线上任P FOx一点到焦点与到准线的距离相等，据此问题可转化为用 l拆线段长大于直线段长来解决，如图 3 过G作x的轴的平行线交抛物线于P，交准线于Q，设P’为抛物线上异于P的任一点，过P’作x轴的平行线交准线于Q’，显然有|P’G|，|P’F|,|P’G|，|P’Q’|,|QG|，故P点为所求具有本题所述要求的点，此时|PF|，|PG|,|PQ|，|PG|,|GQ|,8，|PG|,4 3?a,4，c,2，b,2，又椭圆中心是线段FG的中点为(4，2) 22(2)(4)yx,,，,1?所求椭圆方程为 1612 3、不等式法 通过式的变形为“基本不等式”或“均值不等式”结构特征，从而利用基本不等式或均值不等式求最值，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成立的条件，而利用均值不等式求最值，则必须关注三个条件，即“一正、二定、三相等”。 4例5、求函数y,x，的值域。 x 44x,分析:错解?x，?2(当x,2时取等号)， xx 函数的值域是[4，，?) 以上过程勿视了x不一定是正数这一条件。 44x,解:(1)当x,0时，x，?2,4(当x,2时取等号) xx 44()(),,,x(2)当x,0时，,x,0，而(,x)，(,)?2,4(当x,,2时取等号) xx 4?x，?,4 x 故函数的值域是(,?，,4][4，，?) 2222例6、设a、b、x、y?R，且有a，b,3，x，y,6，求ax，by的最大值。 4 2222ax，by，分析:错解?ax?，by? 22 192222?ax，by?(a，x，b，y),， ? 22 9?ax，by的最大值是 2 ?式中取等号的条件是x,a且y,b，由条件知?式不能取等号，即上述 推导方法不能求出最大值。 22222正解:?(a，b)(x，y)?(ax，by) (柯西不等式) 2?(ax，by)?3×6,18， ?ax，by?3 2 当ax,by时取等号，故ax，by的最大值是32 评注:本题的求解方法就是著名的柯西不等式的特例。柯西不等式的内容 为:设a，a，„，a 及b，b，„，b是任意实数， 12n12n 222 则(a，a，„，a)(b，b，„，b)?(ab，a b，„，a b)12n12n1122nn bbb12n,,当且仅当„,时等号成立。 aaa12n 柯西不等式在求最值及证明不等式方面有广泛的应用。 5例7、求y,sinx，，x?(0，π)的最小值。 sinx 55sinx,5分析 错解:y,sinx，?2,2 sinxsinx 522(当且仅当sinx,时，即sinx,5时取等号，但sinx,5不成立) sinx 正解:法一 511442sinx,y,sinx，,(sinx，)，?2，(当且仅当sinxsinxsinxsinxsinxsinx 14,1，即sinx,1时，sinx，有最小值，此时也有最小值4) sinxsinx 5故y,sinx，，x?(0，π)有小值为6 sinx 5 解法二:换元法——利用函数单调性解(见方法6函数单调性法例13) 4、判别式法 2如果函数y,f(x)可化为a(y)•x，b(y)•x，c(y),0 (a(y)?0)的形式，同时 2可从?,b(y),4a(y) •c(y)?0求出y的变化范围。便可考虑用判别式法求此函数的最值。判别式法多用一起求分式函数或无理函数的最值。运用此法必须全面慎重，特别是对于给定区间上的函数，当用判别式法求出y的变化范围后，应将端点值代回原函数进行检验，否则易产生“增值”、“误判”等情况。 2xx，，32例8、求y,的值域。 2xx，，43 2xx，，322解:y,可变形为:(y,1)x，(4y,3)x，3y,2,0，(x?,1，x2xx，，43 2?,3)记为*式，当y?1时，因为x是实数，故?,(4y,3),4(y,1)(3y,2)?0 2即4y,4y，1?0，?y?R(y?1) 当y,1时，代入(*)式，可求得x,,1，不满足定义域; 1当y,时，代入(*)式，可求得x,,1，不满足定义域; 2 2xx，，3211?y,的值域为(,?，)(，1)(1，，?) 2xx，，4322 评注:由于本题函数的定义域不是全体实数，在求值域时应验证使二次项系数为0的y的值和??0时y的值，否则易产生增解，其实本题可直接将原式 x，2化为y,(x?,1，x?,3)而求解。 x，3 2mxxn，，8例9、已知函数f(x),log的定义域为(,?，，?)，值域为[0， 32x，1 2]，求m、n的值。 分析 这是一道函数定义域和值域的逆向问题，从何入手,我们可以把注 6 2mxxn，，8意力放在真数上，显然，函数μ,的定义域为(,?，，?)，值域为2x，1 [1，9] 2mxxn，，82解:由μ,得(μ,m)x,8x，(μ,n),0 2x，1 ?x?R，且设μ,m?0， 2??,(,8),4(μ,m)(μ,n)?0 2即μ,(m，n)μ，(mn,16)?0 2?μ?9知关于μ的一元二次方程μ,(m，n)μ，(mn,16),0的两由1 mn，,，19,根为1和9，由韦达定理得 ,mn,,，1619, 解得m,n,5 若μ,m,0，即μ,m,n,5时，对应x,0符合条件， ?m,n,5为所求。 评注:本题的解法体现了等价转化的数学思想，它是解决数学综合题的桥梁。 5、换元法 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式)，对 新的变量求出结果后，返回去再求原来的结果。 12,x例10、求函数y,2x，的最值。 分析:先观察结构特点，可用代数换元去掉根号。 212,x解:令,t(t?0)，则2x,,t，1 1522?y,,t，t，1,,(t,)， 24 15?t,时，y,，无最小值。 max24 cxd，评注:形如y,ax，b，形式的函数最值问题，可先考虑利用单调性， 7 单调性不易确定时，可采用代数换元。 例11、求函数y,sinxcosx，sinx，cosx的最大值。 分析 ?sinx，cosx与sinxcosx的特殊关系，可用换元法，即令t,sinx，cox转化为t的函数求解。 解:设t,sinx，cox，则,?t? 22 2t,1?sinxcosx, 2 2t,11122?原式可变为y,，t,(t，2t,1),(t，1),1 222 1?t?[,，]，从而当t,时，y,， 2222max2 评注:?当sinx，cosx与sinxcosx同时出现时，可考虑用平方关系进行整 22体代换，转化为二次函数的最值问题;?本题可改为求y,或xxxx，,，,11 2xx1,y,的最值。 2xx,,1 2222xy，|2|xxyy，,例12、已知?3，求的最值。 ,,3解:令x,rcos，y,rsin(|r|?)，则有 ,22222|2|xxyy，,,,,,r|cos2，sin2|,2r|sin(2，)|?2r?32 4 222xy，,,评注:形如?r(r,0)，可作替换x,rcos，y,rsin (|r|?r) 111 6、函数单调性法 利用函数的单调性是求最值的常用方法，解题时必须先确定函数的单调 k性，形如y,f(x)，或利用基本不等式求最值不能奏效时，往往考虑函数的f()x 单调性。 5例13、求y,sinx，，x?(0，π)的最小值。 sinx 5,分析 因为在时，x?(0，)时，sinx?(0，1]，故可考虑y,t，的单调性。 t 8 ,解法:令t,sinx，?x?(0，)，?0,t?1， 5?y,t，在(0，5]上是减函数， t 5?y,t，在(0，1]上是减函数， t ?y?1，5,6 x例14、求f(x),|2,1|在[,1，2]上的最大值与最小值。 分析 由于f(x)含绝对值号，在[,1，2]上不单调，应先脱去绝对值号变为分段函数讨论。 x,12 ,[1,0],,,x 解:原函数可变为f(x), ,x21 ,[0,2],,x, 1(1)f(x)在(,1，0]上单调递减，f(x),f(,1),，f(x),f(0),0; maxmin2 (2)f(x)在[0，2)上单调递增，f(x),f(2),3，f(x),f(0),0， maxmin 综上所述，在[,1，2)上，函数最大值为f(2),3，最小值为0 评注:对一次函数、幂函数、指数函数与对数函数在闭区间[m，n]上的最值，若函数f(x)在[m，n]上单调递增，则f(x),f(m)，f(x),f(n);若函数f(x)minmax在[m，n]上单调递减，则f(x),f(n)，f(x),f(m);若函数f(x)在[m，n]上不minmax 单调，但在其分成的几个区间段上是单调的，可采用分段函数求最值的方法，先求出各区间上的极值，再加以综合。 7、导数法 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)可导，则f(x)在[a，b]上的最大和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)、f(b)中最大值与最小值。 x例15、求f(x),x，2 (x?[0，4])的最大值与最小值。 1x，1/分析 ?f (x),1，, xx 9 x，1当x?(0，4)时，,0，且f(x)在[0，4]上连续， x x所以函数f(x),x，2在区间[0，4]上为单调增函数， 因此，函数f(x)在[0，4]上的最大值为f(4),8，最小值为f(0),0 /评注:?若函数f (x)在[a，b]上均不为零，那么f(x)必是[a，b]上的单调函数，若f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数最小值，f(b)为函数最大值;若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数最大值，f(b)为函数最小值;?也可令 xt,，0?t?2换元求解。 例16、用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的体积最大,并求出最大体积。 分析 本题主要是考查利用导数来解决问题，分析问题的能力，解题关键是列出容积的目标函数关系式，进而求最值。 14.844(0.5),,，xx解:设容器底面边长为xm，另一边长为(x，0.5) m，高为4,(3.2,2x) (m)， 由3.2,2x,0，x,0得0,x,1.6 3设容器体积为y m，则y,x(x，0.5)(3.2,2x) (0,x,1.6)， /2?y,,6x，4.4x，1.6 4/2令y,0，有,6x，4.4x，1.6,0，解得x,1，x,,(不合题意，舍去)， 1215 /从而在(0，1.6)内只有x,1使y,0 /当0,x,1时，y,0 /当1,x,1.6时，y,0时， 3?当x,1时，y,1.8 m此时容器的高度为1.2m max 10 /评注:在实际问题中，由f(x),0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在的变化区间内取到，则这个根所对应的函数值就是所求的最大(小)值。 8、利用线性规划法求最值 线性规划应用问题的一般求解步骤是: ?根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形即可行域; ?设所求的目标函数f(x，y)的值为m; ?将各顶点坐标代入目标函数，即可得m的最大值与最小值，或求直线f(x，y),m在y轴上截距的最大值(最小值)，从而得m的最大与最小值。 3210xy，,, ,xy，,411,例17、设变量x、y满足条件，,xyZ,,, ,xy,,～,,, y求5x，4y的最大值 解:依约束条件画出可行域，如图，如果A 39C先不考虑x、y整数的条件，则当直线过点A(，5 123B)时，S,5x，4y取最大值，S,18 max105O xE 因为x、y为整数，所以当直线5x，4y ,t平行移动时，从点A起，第一个通过的可行域中的整点是B(2，1)， 故S,14 max 应当注意的是，点B(2，1)不是可行域中离点A最近的点，离点A最近的整点是(1，2)，但这时S,13不是最大值。 还应注意，点(2，2)在直线3x，2y,10上，但因为不等式为3x，2y,10，点(2，2)不在可行域内。 评注:画出不等式组表示的平面区域是解决线性规划问题的基础。 11 9、利用三角函数的有界性求最值 在三角函数中，正弦与余弦函数具有一个最基本也最重要的特征——有界、利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值问题的最基本的方法。 cos2x, 例18、求函数y,的最小值。 cos1x, 分析 由于在本题的函数表达式中只含有余函数，故可直接利用余弦函数的有界性求解(如果在函数表达式只含有正弦函数则同样如此) 1解法1:y,1,， cos1x, ?,1?cosx,1， ?,2?cosx,1,0 11??, cos1x,2 33,?y?，即函数y的最小值为，此时x,(2k，1)，k?Z 22 cos2x,y,2解法2:由y,得cosx,， cos1x,y,1 y,2||?0?|cosx|?1，即?1， y,2 22 ?(y,2)?(y,1) 33?y?，故y的最小值为。 22 参考文献:《数学思想方法与中学数学》——钱珮玲 邵光华编著 北京师范大学出版社 12