巧设求椭圆和双曲线标准方程

巧设求椭圆和双曲线方程 巧设求椭圆和双曲线标准方程 数学教育研究2011年第10期读写算 ——一… —===一—=====——=======—=====ll= 巧设求椭圆和双曲线标准方程 刘慧年 (高邮市第二中学江苏高邮225600) 【摘要圆与双曲线是圆锥曲线的两种重要曲线,曲线方程是中较难掌握 的一个,尽管高考要求 降低,但近几年高考仍不断考查椭圆或双曲线的定义,离心率,标准方程.下面就椭 圆和双曲线的标准方程谈谈如何化繁就筒, 避免讨论. 巧得方程, 【关键词】巧设方程待定系数法椭圆双曲线 椭圆与双曲线的标准方程推导方法相同,得出方程形式类 似,所以它们的解法也就有很多共同点,比如:已知曲线的轨迹 是椭圆或双曲线时,求标准方程时都可用待定系数法,但若焦 点位置不确定,直接设标准方程来求解需要讨论两种情况,有 可能会导致漏解或过程繁琐,运算量增大.这时我们就要加强 对目条件合理的使用,对方程进行适当的"改造",达到避繁 就简,事半功倍的效果.下面通过几例,谈谈巧设方程的好处. 一 巧:巧设my+ny=l形式,避免讨论 例1:求经过两点A(2,一),B(,/2,一)的椭圆的标准方程. 分析:由于不能确定焦点在x轴上还是在y轴上,若直接设 标准方程,需分两种情况讨论,分别设方程的标准形式: Y= 和+X-=,再将A,B两点分别代入,解答繁琐;若 设方程为mX+ny=l(m>O,">0,m?"),则包含了上述两种情 况,简化了解题过程,有效地避免了讨论. 解:设所求的方程为mx+ny=l(m>0,>0,;7/?),将A, - B两点坐标代人,得]3.,,解得m:,"=1.故所求的椭f,十疗:16 l4 圆的方程为+z:l. 评注:事实上,焦点在X轴上的椭圆的标准方程 +隶=和焦点在轴上的椭圆的标准方程02Y1 方一,从形式上看,a2和分别是x和前的系 数,所以我们可将标准方程统一改造成mx+ny:1,当 m>>0时,椭圆焦点在y轴上;当>>0时,椭圆焦点在x轴 上,从而避免了讨论.与椭圆类似,当已知双曲线经过两点求标 准方程时,如果分类讨论,则解答繁琐.我们可以设方程为 mx+ny=l(mn<0),当m>0,n<0时,双曲线的焦点在X轴上,当 m<0,>0时,双曲线的焦点在y轴上. 二巧:利用椭圆(双曲线)共焦点,巧设方程 例2求经过点M(2,?6)且与椭圆+;=1有相同焦点的 椭圆标准方程. 分析:焦点相同即c相等且焦点位置相同,而.:?二,因 此注意所设的方程的两个分母的羞a一6:的值不变. 1, 2 y 2 解:设所求椭圆方程为(一5),将M点坐标 代人,得1.解得=3,或=一7(合去).故所求的 椭圆方程为+一. Y 2 1, 2 评注:与椭圆?=la?6)6-相同的焦点的椭圆可以 设椭圆的方程为jY=(>一,且>一6).与此类'+庀+庀,.'' 2. 2 似,求解与双曲线一Y:1>0,b>o)(口一k>o, 且6+>o). ? 1f16? 有效地避免较繁的运算. 置巧:利用双曲线共渐近线,巧设双曲线方程 例3:求与双曲线y2, = 1有共渐近线,且经过点M(矗2 的双曲线的方程. 分析:双曲线2一 y2 = l(a>o,b>o)fn5一x'=1>o,6>o) 的渐近线方程分别是?:和_v=?;, 易得双曲线-一:l(a>o,b>o,>0)和双曲线/L 一 y= 1>o,6o,o)的渐近线都是?.凶此与双 曲线一Y=l(>o,6>0)共渐近线的双曲线的方程为 2la2 ??0】. , 2,2 解:设所求双曲线的方程为号一(.).将点M代 入,得,=,解得=. 所以所求的双曲线的方程为等一:1,即一一. 评注:求与双曲线x一>o,6>o)共渐近线的双曲 线方程,可设方程为A,(.).当>0时,所求双曲线 焦点与原双曲线的焦点再同一坐标轴上;当<0时,所求双曲 线的焦点与原双曲线的焦点不在同,轴上.这样就避免了对双 曲线形式的讨论. 变式:已知双曲线经过点(-2'31,且它的两条渐近线方程 为?i,求双曲线的方程. 分析:双曲线X2一 y2 = (?o)的渐近线为=?x,反之 渐近线为=?=b(即?y=o)的双曲线可以设方程为 口D 一 ?【)). 解:设所双曲线的方程为一等(?o).将(一2?j,3) 代入一菩解得1. 所以所求的双曲线的方程izl~x2一 Y' —一 1 , 即一一 . 评注:已知双曲线的渐近线,焦点可以在x轴j三,也可以在 y轴上,分类讨论固然_口J以,但过程比较繁琐.根据共渐近线的 双曲线方程的求法,可以使这类问题的解题过程大大的简化. 数学美就是形式和方法的简洁美,合适的形式,合理的方 法,恰当的使用,得到理想的效果.在教学中,我们教师一定要 授予学生最佳的解题思路,帮助学生突破思维的难点,打通学 生思维的障碍,学生才会得到最好的学习效果.