16.1平方根与算术平方根数的开方同步教案

16.1平方根与算术平方根数的开方同步教案 16.1 平方根与立方根,一,—平方根与算术平方根 编号: 16-1-1 授课时间: 课题 16.1 平方根与立方根,一,—平方根与算术平方根 教学 在实际问题中,感受平方根的意义～了解平方根、算术平方根的概念。 目标 了解平方与开方的互逆运算,体验数学的发展源于生活～又作用于生活 的辩证关系。 重点 通过实际问题的研究～认识平方根,正确区分平方根与算术平方根的关难点 系,会用计算器求任意正数的算术平方根。 手段 问题探究,分组讨论 教 学 过 程 学生活动 探索:要剪出一个面积为9的正方形纸片，边长为多少, 学生回顾什 一个数的平方是9，那么这个数是什么数, 么数的平方 22因为 3,9，(-3),9， 为9 所以这个数是3或-3( 4又如，一个数的平方是，因为 25 222424,,,,,，,，,,,,, ,,,,525525 22所以这个数是或,( 55 一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0有一个平方根，它是0本身; 负数没有平方根( 求一个非负数a的平方根的运算，叫做开平方( 第1页 教 学 过 程 学生活动 学生思考开2一个正数被开方数a的正的平方根，用符号“a”示，a叫做， 方，并同平方 比较; 22a叫做(正数的负的平方根，用符号“,”表示(这两个平根指数a通过亲身实 践得到规律 22方根合起来可以记作“?”(这里，符号“”读作“二次根号”，a 2a读作“二次根号a”(根指数是2时，通常将这个2省略不写，如， 22aaaaa记作，读作“根号”;?记作?，读作“正、负根号”(a 例1 求下列各数的平方根(将下列各数进行开平方): 2解:(1)?(?9)=81，?81的平方根是?9，即 其中的一个正根( 第2页 教 学 过 程 学生活动 我们知道，正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫 做的，记作(a算术平方根a 0的平方根也叫做0的算术平方根(由此可知，0的算术平方根是0，即(0=0 思考为什么 负数没有平注意 非负数 a0aa当是正数或(又叫做)时，表示的算术平方根(方根 例3 求下列各数的算术平方根: 2解:(1)?10,100，?100的算术平方根是10，即 2(3)?0.9,0.81，?0.81的算术平方根是0.9，即 注意:100的平方根是10和-10，而它的算术平方根是10( 板书设计与课后记: 第3页 教 学 过 程 学生活动 例4 求下列各式的值: 共同总结; 正确理解对 于开平方、 求平方根、 求算术平方 根、求各式 的值的正确解:(1)?1002,10000， 含义 (2)?122=144， (4)?(0.01)2=0.0001， (5)?252=625， 注意 由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它 第4页 编号: 16-1-2 授课时间: 课题 平方根与立方根,二,—立方根 教学 在实际问题中,感受立方根的意义～了解立方根的概念。 目标 了解立方与开立方的互逆运算,体验数学的发展源于生活～又作用于生 活的辩证关系～通过性质推导过程培养学生的类比思想和推理能力。 重点 通过实际问题的研究～认识立方根,立方根的概念与性质及求法。 难点 手段 合作交流～多媒体辅助教学 方法 教 学 过 程 学生活动 要做一只正方体的木箱，使它的容积是0.125立方米，这个木箱的棱长应当 是多少米,因为正方体的容积等于棱长的立方，如果设棱长为x米，根据题意， 复习平方根 33得x,0.125(这就是要求出一个数，使它的立方等于0.125(因为0.5,0.125， 所以，这个正方体木箱的棱长是0.5米( 1、你能否由平方根的定义说出立方根的定义呢, 立方根的概念: 如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根。(也称数a的三次方根。) 3用数学式子表示为:若x=a, 则x叫做a的立方根或三次方根。求一个数的立方 根的运算，叫做开立方(正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互探讨立方根 为逆运算( ,、立方根的表示方法: 3类似平方根的表示方法。数a的立方根我们用符号来表示，读作“三次根号a”， 其中a叫做被开方数，3叫做根指数，且不能省略，否则与平方根混淆。 第5页 教 学 过 程 学生活动 例1 求下列各数的立方根: 827 3,,(1)-8;(2)8;(3);(4)0.216;(5)0(6);(7)10; 2764 17 (8)4。 共同总结立27 方根的性质 3解:(1):(1)? (,2),,8，? ,8的立方根是,2，即 略 3、立方根的性质: (1)正数有一个正的立方根，(2)负数有一个负的立方根，(3)0的立方 根是0。 例2 求下列各式的值: 10333,2(1)27(2),27(3) 27 2736393,,(4)(5)(6) 1010 64总结奇次方解:略。 根的特点 一般地，如果a,0(那么， 33 ,,,aa 这就是说，求负数的立方根，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数( 第6页 教 学 过 程 学生活动 33例3 解方程(1)(2)3(x,4),1536=0 2x,128 解:(1) 3(2)3(x,4)=1536 3(x,4)=512 学生先做， 思考为什么3512(x,4)= 只有一个根 x,4=8 x=12 (让学生先做，后教师讲评。) 分析:本题主要用立方根的定义去解。在(2)中要把(x,4)看成是一个整体。 三、练习 P7练习1，2。 四、小结 我们要通过不断的练习，加强对立方根的概念的理解。 五、作业 1、P7 习题16.1:1、2、3。 板书设计与课后记: 第7页 编号: 16-1-3 授课时间: 课题 平方根与立方根,三,—用计算器求开方运算 教学 借助计算器进行平方根、立方根的计算,培养学生利用现代化手段的能目标 力 重点 针对不同类型的计算器进行开方计算 难点 手段 合作交流～多媒体辅助教学 方法 教 学 过 程 学生活动 (1) 用计算器求平方根: 用计算器进 行求平方根 以学考型计算器为例: 例:用计算器求下列各数的算术平方根: 1(529; 2(1225 3(44(81 探讨立方根注意:有时得到的是一个近似值 的计算方法 (2) 用计算器求立方根: 1(-125 2(-0.008 第8页 教 学 过 程 学生活动 (3)演示课件:用计算器求下列各式的值 任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算， 对所得的结果再进行开平方运算„„随着开方次数的增加，你发现了什么, 练习用计算 器或计算机改用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律 进行求平方 根或立方根(4)利用计算机中WINDOWS提供的计算器进行开方的运算 的运算 练习与小结: 板书设计与课后记: 第9页 编号: 16-2-1 授课时间: 课题 二次根式,一,—二次根式定义及意义 教学 1、使学生了解二次根式的概念。 目标 2、使学生掌握用简单的一元一次不等式解决二次根式中字母的取值问 题。 2(a)3、使学生掌握=a,a?0,,并能加以初步应用。 重点 重点:二次根式的定义及二次根式中字母的取值范围。 难点 难点:二次根式中～较复杂的字母取值问题的讨论。 手段 合作交流～多媒体辅助教学 方法 教 学 过 程 学生活动 一、复习 1、什么叫平方根、算术平方根, 2、说出下列各式的意义: 回顾平方 根、算术平0,1016,6，，，。通过练习，使学生进一步理解平方根、算术平方根 方根的概念。 二、新授 a1、二次根式定义:式子(a?0)叫做二次根式。 理解二次根这个定义中，只有在后面的条件成立时，才叫二次根式。如,2就不能算式 是二次根式。4=2，其中4是二次根式，而2就不能算是二次根式，所 以二次根式指的是式子的外在形式，它与无理数不同。 第10页 教 学 过 程 学生活动 例1 当a为实数时，下列各式有意义, 22|a|a，，， a，10a,1 解:略 探究二次根例2 x是怎样的实数时式子x,3在实数范围内有意义, 式成立的条解:略 件 例3 当x是怎样的实数时，下列各式哪些是二次根式, ,322,3x;; a，b2,x 解:略 三、练习 P10 练习:1。 四、小结 a1、式子(a?0)叫做二次根式，实际上是非负实数a的算术平方根的表达式。 2、式子中，被开方数必须大于或等于零。 五、作业 1、P10 2，3。 板书设计与课后记: 第11页 编号: 16-2-2 授课时间: 课题 二次根式,二,—二次根式的性质 教学 1、使学生巩固二次根式的概念～进一步掌握用简单的一元一次不等式解目标 决二次根式中字母的取值问题。。 2(a)2、使学生掌握=a,a?0,,并能加以初步应用。 重点 重点:二次根式的定义及二次根式中字母的取值范围。 难点 难点:二次根式中～较复杂的字母取值问题的讨论。 手段 合作交流～多媒体辅助教学 方法 教 学 过 程 学生活动 一、复习 复习回顾 1、什么叫二次根式, 2、说出下列各式是二次根时，字母所应满足的条件: 22,,x3,x,x，，，。 2x，1 二、新授 辩析 1、二次根式的简单性质: 2a()=a(a?0)。引导学生回答a能是一个代数式吗,可以，不过是有条件的，即要保证被开方数为非负数。 第12页 教 学 过 程 学生活动 2(a)如果将上面的式子反过来，可得到:a=(a?0)，用这个式子，我 们可以将任何非负数写一个数平方的形式。 2、例题讲解。 例1 计算: 进行逆向思 维练习 312222()(,3)(23)(,5*2)，，， 53 解:略 例2 把下列非负数写成一个数平方的形式:2，-3，„„ 解:略 例3 在实数范围内，分解下列各式: 42(1)4a–9 (2)a–10 解:略 三、练习 练习册 四、小结 a1、式子(a?0)叫做二次根式，实际上是非负实数a的算术平方根的表达式。 2、上面等式中，前后可对调，且被开方数必须大于或等于零，不然会使式子无意义。 五、作业:P14，1 板书设计与课后记: 第13页 编号: 16-2-3 授课时间: 课题 二次根式,三,—积的算术平方根 ab,a,b教学 1、使学生掌握积的算术平方根的性质:,a?0～b?0,。 目标 2、使学生会用积的算术平方根的性质对式子进行化简。 2a3、使学生掌握=a,a?0,,并能加以初步应用以化简二次根式。 重点 重点:会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式难点 对一些式子进行化简。 难点:二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用。 手段 合作交流～多媒体辅助教学 方法 教 学 过 程 学生活动 一、探索 4，9,36,64，9,2，3,64，9,4，9，而，所以就有:。 先行探究 二、新授 1、积的算术平方根: 总结一般规 再举一个例子，然后引导学生总结出: 律 ab,a,b一般地，有(a?0，b?0)。 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 第14页 教 学 过 程 学生活动 要注意a?0，b?0这个条件，因为只有a, b都是非负数，公式才能成立， 本章中，如果没有特殊说明，我们可以将任何字母看成是非负数。 2、例题讲解。 例1 将下列各数分解因数:略 例2 化简: 共同总结公 式成立的条2222(1);(2);(3)16，81;(4)2000 7，553,28件 讲完后提出:成立吗, (,4)，(,9),(,4)，(,9) 解:略 例3 化简: 42223(1);(2) 解:略 x，xy4ab 例4 如图，在?ABC中，?C=90?，AC=10cm, BC=24cm，求AB。 解:略 A 三、练习 P12练习:1、2。 B 四、小结 C 板书设计与课后记: 第15页 编号: 16-2-4 授课时间: 课题 二次根式,四,—二次根式乘法运算 a,b,ab教学 1、使学生掌握二次根式乘法运算公式:,a?0～b?0,。 目标 2、使学生会用二次根式乘法运算公式及积的算术平方根的性质对式子进 行化简。 重点 重点:会利用积的算术平方根的性质及简单的二次根式的乘法运算公式难点 对一些式子进行化简。 难点:二次根式中乘法与积的算术平方根的性质的关系及应用。 运用类比的方法～学习二次根式的乘法与积的算术平方根公式～并采用 从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解。 手段 合作交流～多媒体辅助教学 方法 教 学 过 程 学生活动 一、复习 1、叙述积的算术平方根的性质，并用公式表达出来。(重点看学生是否写复习巩固积 了条件a?0，b?0了，并问为什么必须有这个条件。 的平方根运 2、化简: 算 16，25，8175(1); (2) ; 233223(3);(4)。 27abcab，ab 通过练习，巩固利用积的算术平方根的性质化简二次根式的方法，为本节课打好基础。 第16页 教 学 过 程 学生活动 二、新授 1、二次根式的乘法。 上一节，我们学习了ab,a,b(a?0，b?0)，如果把这个式子反过来，逆向思维培 养 则得到a,b,ab(a?0，b?0)请学生观察式子的特点，理解了，这就是 把被开方数的积作为积的被开方数。 利用这个式子，可以进行二次根式的乘法运算。 2、例题讲解。 例1 计算: (1)14,7;(2)35,210 1 ,415,(,5)22,3,12(3);(4) 2 例2 计算: 12,1 26xy,,32xy35a,210b(1);(2); (3) 10x,10xy4自主探索 分析:第(3)小题的其他解法，请同学们自己找出，教师加以归纳:二次 根式乘法，有时可以先化简，然后再利用公式相乘。 例3 一个长方形的长 a=cm, b=cm, 求这个长方形的面积。 分析:这是二次根式运算在实际中的应用，在题目没提出要求时，就用带 根号的准确值，而不用近似值。 板书设计与课后记: 第17页 编号: 16-2-5 授课时间: 课题 二次根式,五,—二次根式的除法运算 教学 1、使学生掌握商的算术平方根的性质及二次根式的除法 目标 2、使学生会用商的算术平方根的性质化简被开方数为简单的分数或分式 的二次根式,也就是分母开方能开尽,。 重点 重点:会利用商的算术平方根的性质对一些式子进行化简。 难点 难点:商的算术平方根的字母取值问题～分母有理化 运用类比的方法～学习商的算术平方根的性质～并用从具体到抽象的方 法强化学生对性质的理解。 手段 合作交流～多媒体辅助教学 方法 教 学 过 程 学生活动 一、复习 引导学生自ab,a,b1、回忆积的算术平方根的性质: (a?0，b?0) 己探索商的 算术平方根 366636636362(),,, 而，所以=。 74977494949 二、新授 1、商的算术平方根 aa引导学生写出商的算术平方根的性质:=(a?0，b,0)。 bb 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 第18页 教 学 过 程 学生活动 2、例题讲解。 例1 化简: 415325x1，， 2491009y逆向思维培如果被开方数是带分数，运算时一般先化成假分数。 养 解:略 例2 化简: 16，250.9，121 ， 640.36，100 3 要学生观察例题中分母的特点，然后提出化简的问题。 10 解:略 x,4x,4,例3 式子成立的条件是什么, x,5x,5 根据商的算术平方根的意义(括号内的要求)求。 解:略 自主探索 3、二次根式的除法: aa引导学生把商的算术平方根的性质: =(a?0，b,0)反过来，bb aa,即得到二次根式的除法。(a?0，b,0)，运用这个式子，可以进行bb 简单的二次根式的除法运算。 4、例题讲解。 例4 计算: 11721,(1)，(2)。 266 解:(略) 第19页 教 学 过 程 学生活动 3 可以看出，上例中限于能整除的情况，如果是计算3,2时，只写成，2 意义不大，该怎么办呢,此时，可以把分子与分母都乘以，最后得出:2逆向思维培 养 6 ，这样完成了除法运算。所以二次根式除法运算，通常还采用化去分2 母中根号的方法来进行。把分母中的根号化去通常称为分母有理化。两个 含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们说这两个 代数式互为有理化因式，如上式中是的有理化因式。 22 例5 把下列各式化简: 3m5(1);(2)。 6m24 解:略 例6 计算: 3 12x,y(1),19,95;(2) 自主探索 5 解:略 三、练习 P12 练习:1、2。 板书设计与课后记: 第20页 编号: 16-2-6 授课时间: 课题 二次根式,六,—二次根式的加减法运算 教学 1(理解同类二次根式的概念～掌握判断同类二次根式的方法。 目标 2(提供问题情境～激发学生的求知欲望～培养学生学习数学的兴趣。 3(主动探索～勇于发现～学会交流～相互评价～提高学生的合作意识和 能力。 重点 重点:同类二次根式的识别及合并。 难点 难点:二次根式的化简并合并。 手段 合作交流～多媒体辅助教学 方法 教 学 过 程 学生活动 一、 创设问题情境 引导学生自13己探索同类851252x二次根式，，，，，，还能不能进行化简, 28x2二次根式 好，我请一个同学试试看。 123,822,12555,，，，。 822xxx,22 大家看一下，在上面的这些根式中，有些根式之间有什么联系，或者说有什么共同之处。可以相互讨论一下。 13851252x ，和， 和，和有关系。 28x2 它们之间有什么关系, 第21页 教 学 过 程 学生活动 二、同类二次根式。 上述几个化简二次根式化简后，被开方数相同。 我们把这样的几个二次根式叫做同类二次根式，这就是我们今天要学习的 内容，哪个同学能给同类二次根式下个定义,试试看。 几个二次根式经化简后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同自己为同类类二次根式。 二次根式下 例1:下列各式中，哪些是同类二次根式, 个定义 112a32,75,,,3,8ab,6b. 502732b 咱们下面分四组做一个游戏，先请每一组派一名代表上台来抓阄。请～抓 阄的同学把纸片上的根式写在黑板相应位置后便回去。 13,216,,a+b.x 2四个根式分别是: 师:请大家听清比赛规则:每组分别写出它们的同类二次根式，各组依次 上来一个同学，每人写一个，在3分钟内看哪一组写得既多又好。开始～ 32，3,22,33例2 计算 自主探索 联想同类项8，18，12例3 计算 的合并 板书设计与课后记: 第22页 编号: 16-3-1 授课时间: 课题 实数与数轴,一, 教学 1、使学生了解无理数和实数的概念～掌握实数的分类～会准确判断一个目标 数是有理数还是无理数。 2、使学生能了解实数绝对值的意义。 重点 重点:无理数及实数的概念。 难点 难点:有理数与无理数的区别。 手段 合作交流～多媒体辅助教学 方法 教 学 过 程 学生活动 一、复习 1、什么叫有理数, 回顾有理数 2、有理数可以如何分类,(按定义分与按大小分。) 的分类 二、做一做: (1) 用计算器求 2 (2) 利用平方关系验算所得的结果 三、新授 任何一个分数都可以写成有限小数或无限不循环小数 1、无理数定义:无限不循环小数叫做无理数。 判断:无限小数都是无理数;无理数都是无限小数;带根号的数都是无理数。 2、实数的定义:有理数与无理数统称为实数。 第23页 教 学 过 程 学生活动 3、将各数间的联系介绍一下。 自己完成实4、实数的相反数: 数的分类 5、实数的绝对值: 6、实数的运算 讲解例1，加上(3)若|x|=π(4)若|x-1|=,那么x的值是多少, 2 例2，判断题: (1)任何实数的偶次幂是正实数。( ) (2)在实数范围内，若| x|=|y|则x=y。( ) (3)0是最小的实数。( ) (4)0是绝对值最小的实数。( ) 解:略 三、练习 练习册 四、小结 1、今天我们学习了实数，请同学们首先要清楚，实数是如何定义的，它与 有理数是怎样的关系，二是对实数两种不同的分类要清楚。 2、要对应有理数的相反数与绝对值定义及运算律和运算性质，来理解在实 数中的运用。 五、作业 1、P21 复习题,:,。 板书设计与课后记: 第24页 编号: 16-3-2 授课时间: 课题 实数与数轴,二, 教学 1、使学生能了解数轴上的点具有一一对应关系。 目标 2、由实数的分类～渗透数学分类的思想。 3、由实数与数轴的一一对应～渗透数形结合的思想。 重点 重点:无理数及实数的概念。 难点 难点:有理数与无理数的区别～实数与数轴的一一对应。 手段 合作交流～多媒体辅助教学 方法 教 学 过 程 学生活动 一、复习 1、有理数、无理数、实数的概念。 回顾实数的 2、实数可以如何分类, 分类 1 (按定义分与按大小分。)注意不要把之类的无限小数当成是无理数了。 3 二、新授 回忆数轴 1、我们在学有理数时，接触过数轴，请学生回忆什么叫数轴。 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。每一个有理数在数轴都 有一个对应的位置，反过来，数轴上所有的点都表示有理数吗, 画出课本中的数轴，并画出，可见数轴上的数，不仅有表示有理数的点，2 还有表示无理数的点，所以实数与数轴上的点是一一对应的。 (((( 在此处应强调一一对应的意义。 提示用数轴来表示实数，是一个相当重要的数学思想——数形结合。 第25页 教 学 过 程 学生活动 2、实数的大小比较。数轴上右边的数总比左边的数大。不过有时我们还要练习借助计 将无理数取近似值，用有限小数来代替无理数进行比较。 算器进行数 例1(P17)比较下列各组数里两个数的大小。 的大小比较 和实数的运 3、实数的计算。 算 在有理数范围的运算律及运算性质以实数范围内仍然适用。 结果要求精确到某一位时，在计算过程中应比结果要求的多保留一位小数， 最后一步再次进行4舍5入，得到一个符合要求的数。 例2(P17)计算。(借助计算器) 12,3(2，1)(2,1)例3(P17)计算(1);(2)(不需借助计算器， 3 运用一些平方差公式或进行二次根式的化简) 三、练习 P17 练习:2。 四、小结 无理数的引进，把数的范围扩充到了实数，数的范围不同，则可能结果不 同。 五、作业 1、P21复习题,:1，2，3。 板书设计与课后记: 第26页