[宝典]高级数学考研指点演习7-8 一元微积分学应用、无限级数

[宝典]高级数学考研指点演习7-8 一元微积分学应用、无限级数 《高等数学》考研辅导练习6 一元微积分学应用 1( 设，下列命正确的是 。fxxxx()sincos,， ,,A( 是极大值，是极小值;B( 是极小值，是极大值;f()f()f(0)f(0)22 ,,C( 是极大值，是极大值; D( 是极小值，是极小值。f()f()f(0)f(0)22 2( 曲线弧上那一点处的曲率半径最小,求出该点处的曲率半径。yxx,,,sin(0), 3,xtt,，，313( 设由参数方程确定，则曲线为凸的的取值范围xyyx,()yyx,(),3ytt,,，31, 为: 。 2324( 证明当ab,,30时，实系数方程xaxbxc，，，,0只有唯一的实根。 xx,0,，,ln(1)xx5( 试着用单调性和中值定理两种方法证明当时，。1，x bba2(),ba,,06( 证明当时，有ln,。 aab， 1pp,，,,xx7( 证明(1)1，这里。 01,1,,,xp,1p2 xy，xxyyxylnln()ln，,，8( 证明，这里。xyxy,,,0,0,2 bb()()2()abfxdxxfxdx，,9( 设在上连续，且严格单调，证明。fx()[,]ab,,aa bb1210(设在上连续，且，证明fxdxdxba,,。fx()[,]abfx()0,()(),,aafx() 11(设fx()在[,]ab上连续，且单调减少，fx()0,。证明对任意的,,,,,(01),,, ,,,,ftdtftdt()(),有。 ,,0, 12( 设fx()[,]ab,,(0,1)在上连续，且单调不增。证明对任意的有 ,1。 ftdtftdt()(),,,,00 ,13(设在上连续，在内存在且可积，，试证fx()[,]abfx()[,]abfafb()()0,, b1,。 fxfxdxaxb,,,()()(),a2 bfafbab()()，，,,14( 设，证明。()()()()bafxdxfba,,,,fxxab()0[,],,,a22 ,,15( 设在上单增，且，证明 fx()[,]abfxxab()0[,],, bfafb()()，。 ()()()()bafafxdxba,,,,,a2 a1xfxdx()0,16( 设在上非负可积，且，试证[,](0),,aafx()1,,aa aa2xfxdxfxdx()(),。 11,,,,aa ,,axb,,17( 设恒正，且，则当时，有( ):fxgx(),()fxgxfxgx()()()()0,, A( ; B( ;fxgbfbgx()()()(),fxgafagx()()()(), C( ; D( 。fxgxfbgb()()()(),fxgxfaga()()()(), D18( 过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形。xyx,lnyx,ln VDD(1) 求的面积;(2) 求绕直线旋转一周得旋转体的体积。xe, 2DD19(设是由抛物线和直线围成的平面区域;是由抛物线xxay,,,2,,0yx,212 202,,a和直线xay,,,0围成的平面区域，其中。 yx,2 yDVDVx(1) 求绕轴旋转一周得旋转体的体积;绕轴旋转一周得旋转体的体积。1122 Dxyx,lnyx,ln过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形。 (2) 为何值时，取得最大值，并求出最大值。 VV，a12 20( 求旋轮线一拱绕轴旋转一周得旋转体的面积。xxattyat,,,,(sin),(1cos) 21( 求心形线的全长。 raa,，,(1cos)(0), 22( 在平面上连续曲线过点，其上任意一点处的切线斜率LxOy(1,0)Pxyx(,)(0), OPa,0与直线的斜率之差为，这里的常数。 (1) 求的方程;Lax 8/3(2) 当与直线所围成的平面图形的面积为时，确定的值。Lyax,a ,x23( 位于曲线下方，轴上方的无界图形的面积为 。xyxex,,,，,(0) 2222224( 双纽线所围成的区域面积可用定积分表示为( ):xyxy，,,，， ,,442cos2,,d4cos2,,d; B( ; A( ,,00 ,,12442cos2,,d,,C( ; D( cos2d。 ，，,,002 1S,yxxy,，,,,2,225( 由曲线围成的平面图形的面积 。x 26( 曲线与轴所围图形的面积可表示为( ):xyxxx,,,(1)(2) 212,,,xxxdx(1)(2)xxxdxxxxdx(1)(2)(1)(2),,,,,A( ; B( ;,,,001 122,,,，,,xxxdxxxxdx(1)(2)(1)(2)xxxdx(1)(2),,C( ; D( 。,,,001 27( 求曲线yx,ln在区间(2,6)内的一条切线，使其与xx,,2,6及yx,ln所围图形 的面积最小。 练习8 无穷级数 1( 判断下列级数的敛散性，并说明理由。 1111cos,cos,sin,sin(1) ; ,,,,22nnnn ,1(2) ; (3) 。(1cos),p,,(1),,nn，p1 2( 若收敛， aa(0),,nn aan2n(1) 证明下列级数皆收敛:;aaa,,,,,,,nnn，1na1，n kk,1(2) 问:当时，是否一定收敛,说明理由。 a,n aaa，，，？n12nlim0a,3( 已知单减，且，证明(1)收敛。a,,,,nn,,nn 4( 求下列函数项级数的收敛域: 2n,,(1)x,x(1) ; (2) 。 ,,x2nnn,3n1,n,0 ln2( 写出的展开式，注明收敛域，并求的级数表示。 5ln(1)，x 6( 求下列幂级数的和函数 ,,,21n,n，1122nnn21n,，(1) ; (2) ; (3)。xx(1),x,,,n，nn2(1)(21)!n，1n1,nn0,, 7( 求下列函数的幂级数展开式。 10xx1(1) ; (2); (3) 。 329,xxx,，561，x n,1,(1),lnxx,18( 求在处的泰勒展开式，并求的值。 ,nn,1 2,n!，，nx9( 求幂级数的收敛半径和收敛域。 ,2!n，，1n, n,12,x(1),fx()arctan,10( 将函数x展开成的幂级数，并求级数的和。,12，xn21，0n, a11( 若收敛，则( )。 ,n aa，nnn，1a(1),a()aa,A(收敛; B. 收敛; C. 收敛; D. 收敛。,,,,nnn，1n2 n12(设，若发散， 收敛，则下列正确的是 。a(1),aan,,0(1,2,)？,,nnn ,, A( 收敛，发散; B. 发散，收敛; aaaa,,,,21n,21n,2n2nn1n1,, C. 收敛; D. 收敛。 ()aa，()aa,,,212nn,212nn, 3693nxxxx13( (1)验证函数满足微分方()1(,)yxx,，，，，，，,,,，,？？3!6!9!(3)!n 3n,xx,,,程。 (2)利用(1)的结果，求幂级数的和函数。yyye，，,,n(3)!n,1 2,,,a15nnnn14( 设幂级数的收敛半径分别为和，则幂级数的收敛半xaxbx,,,,nn233b11n,1nn,,n 511 。 。径为()5;();();()ABCD335 1115( 设，试证 aaan,,，,？？2,,()(1,2,)11nn，a2n ,anlima(1),(1)存在; (2) 级数收敛。 n,,,na1n,1n， ,,ann2,,016( 设常数，且级数收敛，则级数(1),是( )。a,,n21n1,n,,，n ,(A) 发散; (B) 条件收敛; (C) 绝对收敛; (D) 收敛性与有关。 ,an17(级数( )。 (1)(1cos)(0),,,a,n1n, a(A) 发散; (B) 条件收敛; (C) 绝对收敛; (D) 收敛性与有关。 ,,,n1,18( 已知级数，则级数, 。(1)2,5,,,aaa,,,nnn21,,n1nn11,, ,kn，nk,019( 设常数，则级数( )。 (1),,2n1n, k(A) 发散; (B) 条件收敛; (C) 绝对收敛; (D) 收敛性与有关。 ,220( 设，则, 。 axanxx,,,,cos(),,,2nn0, 1,xx0,,,,a,2021( 设fx(),，，其中()cos(),，,,,,，,,Sxanxx,,n12n1,,221,,,xx,,2 15S(),,，则 。afxnxdxn,,2()cos(0,1,),？n,02 ,,,,10,x,2,22( 设，则以为周期的傅立叶级数在点处收敛x,,fx(),,210，,,xx,, 于 。 ,223( 设函数，而，其中fxxx()01,,,Sxbnxx()sin(),,,,,，,,,n1n, 11S(),,bfxnxdxn,,2()sin(1,2,),？，则 。n,02 ,nx,,1x,224( 设幂级数在处收敛，则此级数在处( )。ax,1，，,n1n, (A) 条件收敛; (B) 绝对收敛; (C) 发散; (D) 收敛性不能确定。 n,x,3，，25( 求幂级数的收敛域。 ,nn3n,1 2,1，xarctan0xx,,26( 设x，试将fx()展开成关于的幂级数，并求级数fx(),x, ,10x,, n,(1),的和。 ,214,nn,1 ,enx,1,27( 已知满足fxfxxe()()，且，求的和。,，(1)f,fx()fx()nnn,nnn1n,