直角三角形斜边上的中线的性质及其应用

直角三角形斜边上的中线的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一，而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形，如能善于把握图形特征，恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线，往往能帮助我们迅速打开解思路，从而顺利地解决问题，下面举例说明( 一、有直角、有中点，连线出中线，用性质 例1(如图1，BD、CE是?ABC的两条高，M是BC的中点， N是DE的中点(试问:MN与DE有什么关系,证明你的猜想( 图1 二、有直角、无中点，取中点，连线出中线，用性质 10例2(如图2，在Rt?ABC中，?C=90，AD?BC，?CBE=?ABE， 2 A D F 图2 E B C 请同学们试一试吧～ 1(如图5，?ABC中，AB=AC，?ABD=?CBD，BD?DE于D，DE交BC于E， 1A 求证:CD=BE( 2 D 图5 E C B 2(如图6，?ABC中，?B=2?C，AD?BC于D，M是BC的 中点，求证:AB=2DM( A M? C B D 图6 直角三角形斜边上中线性质的应用 直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的(它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。下面谈谈直角三角形斜边上中线的 性质及应用。 一、直角三角形斜边上中线的性质 90:1、性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(如图1，在Rt?BAC中，?BAC=，D为 1AD,BC2BC的中点，则。 2、性质的拓展:如图1:因为D为BC中点， 1BD,DC,BC2所以， 1BC2所以AD=BD=DC=， 所以?1=?2，?3=?4， 因此?ADB=2?3=2?4， ?ADC=2?1=2?2。 因而可得如下几个结论:?直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形;?分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍( 二、性质的应用 1、求值 例1、(2004年江苏省苏州市)如图2，CD是Rt?ABC斜边AB上的中 线，若CD=4，则AB= ( 2、证明线段相等 1AD,AB2例2、(2004年上海市中考)如图4，在?ABC中，?BAC=90?，延长BA到D点，使，点E、F分别为边BC、AC的中点。 D (1)求证:DF=BE; G(2)过点A作AG?BC，交DF于G。求证:AG=DG。 A F CB E 3、证明角相等及角的倍分关系 例3、已知，如图5，在?ABC中，?BAC>90?，BD、CE分别为AC、AB上的高，F为BC的中点，求证:?FED=?FDE。 例4、(2003年上海市中)已知:如图6，在?ABC中，AD是A高，CE是中线。DC=BE，DG?CE，G为垂足。 求证:(1)G是CE的中点;(2)?B=2?BCE。 E G BCD 4、证明线段的倍分及和差关系 例5、(2007年呼和浩特市中考)如图7，在?ABC中，?C=2?B，D是BC上的一点，且AD?AB，点E是BD的中点，连AE。求证:(1)?AEC=?C;(2)求证:BD=2AC。 5、证明线段垂直 例6、如图9，在四边形ABCD中，AC?BC，BD?AD，且AC=BD，M、N分别是AB、DC边上的中点。求证:MN?DC。 三、尝试训练 1、(黑龙江中考)在?ABC中，?ACB=90?，AC=6，BC=8，则斜边上中 线长为 ( 2、(2006年重庆市中考)如图11所示，一张三角形纸片ABC，?ACB=90?，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线把这张纸张剪成?ACD和?BCD两个三角形(如图12所示)，将纸张?ACD沿直112211线DB(AB)方向平移(点A，D，D，B始终在同一条直线上)，当点D与点B重合时，停止平移，2121 在平移过程中，CD与BC交于点E，AC与CD、BC分别交于点F、P。 1121222 (1)当?ACD平移到如图13所示时，猜想图中DE与DF数量关系，并证明猜想: 1112