向量证明三角形的外心、内心、垂心、重心分别交于一点

向量证明三角形的外心、内心、垂心、重心分别交于一点 一、 求证三角形三条边的垂直平分线交于一点。 已知:在中，D、E、G分别为AB、AC、BC的中点 ,ABCC AB、AC的中垂线交于点F EG求证: GFBC,F A证明: 如图、设 GFhbc,,, 、 AB、 ACDB 所以、、 CBABACbc,,,,BCcb,, 111 同理、有 EFECCGGFcbchbh,，，,，,，,，()222 111 、 DFDBBGGFbcbhch,，，,，,，,，()222 1 因为、同理、有 DFABDFbchb,,,,，,0()0(1)2 1 、有、即 (2)(1),hcb()0,,EFACbhc,,，,0()0(2)2 GFBCGFBC,,,0、证毕。 yy CCC EEEGGG法二:向量坐标法 FFF x证明:以A为坐标原点，AB为的正方向 DDDBBBAAAxx Bay(2,0) C(2x,2) 建立平面直角坐标系;设 11 Exy(,) Fxy(,)，所以、Da(,0) ， ACxya,,(2,2) ,AB(2,0)1111 EFACEFAC,,,,0 因为 DFxayxxyy,,,,,(,) , EF(,)11 2()2()0(1)xxxyyy,，,,DFAB,,0 有 同理有 既 1111 xxa(),11xa,， ,y=y 2()0(2)axa,, 由(1)，(2)解得 1y1 xxa(),11Gxay(,)，由中点坐标公式解得，所以GFx,,(,) 111y1 因为 ， BCxay,,(22,2)GFBCxaxxxa,,,，,,2()2()0111111 所以 即 GFBC,GFBC, 注:若用初中平面几何知识证明这个结论也很简单;这 里就不再螯述。