基于相关累加的正弦波频率估计算法

基于相关累加的正弦波频率估计算法 V o l. 23 N o. 6 数据采集与处理第23卷第6期 Jo u rna l o f D a ta A cqu isit io n & P ro ce ssing N o v. 2008 2008 年 11 月 () 文章编号: 100429037 20080620729205 基于相关累加的正弦波频率估计算法 陈役涛刘渝邓振淼 () 南京航空航天大学信息科学与技术学院, 南京, 210016 摘要: 提出了一种新的正弦波频率估计算法。 首先用 对信号频率进行粗略估计, 再对原始信号进行相关累 F F T 加后提取相位信息, 估计出频偏, 经过频偏校正得到频率的精确估计。在整个频段内该算法与算法性能互 R ife () 补, 因此本文又提出了两者相结合的综合算法。该综合算法计算量略大于小 , Syn th e t ic co r rec t ing r ife SCR F F T 于修正算法。仿真结果明, 该算法估计性能接近修正算法, 将该算法的结果作为牛顿迭代的初始值, R ife R ife 进行一次迭代后性能逼近。CRL B 关键词: 频率估计; 频偏校正; 牛顿迭代; 克拉美2罗限 中图分类号: 91116 文献标识码: TN A Frequen cy E st im a t ion A lgor ithm of S in uso id W a ve Ba sed on Corre la t ive A ccum ula t ion , , C h en Y ita oL iu Y u D en g Z h enm ia o (, Co llege o f Info rm a t io n Sc ience and T ech no lo gyN an jing U n ive r sity o f ), , 210016, A e ro nau t ic s and A st ro nau t ic sN an jingC h ina A bstra c t: A n ew a lgo r ithm fo r e st im a t in g th e f requ en cy o f sin u so id w ave is p ropo sed. F ir st ly, () , fa st Fo u r ie r t ran sfo rm F F T is u sed to e st im a te ro u gh ly th e f requ en cyan d th en accum u la te ; .re la t ive o r ig in a l sign a ls to o b ta in th e p h a sesim u ltan eo u sly th e f requ en cy o ff se t is e st im a ted is o b ta in ed. S in ce th e p e rfo r2 A s a re su lt, th e f requ en cy f rom th e rev ised f requ en cy o ff se t ,m an ce s o f th e a lgo r ithm an d R ife a lgo r ithm a re com p lem en ta ry th e com b in ed SCR a lgo r ithm is p re sen ted. T h e com p lex ity o f th e a lgo r ithm is a lit t le la rge r th an th a t o f F F T , an d le ss th an 2. th a t o f th e M R ifeT h e sim u la t io n re su lt show s th a t th e e st im a t io n p e rfo rm an ce o f th e n ew a l2 2. go r ithm is c lo se to th a t o f th e M R ife a lgo r ithmT h e re su lt o f th e n ew a lgo r ithm is tak en a s ′2, th e o r ig in a l N ew to n s ite ra t io n da taan d th e p e rfo rm an ce app ro ach e s th a t o f C ram e rR ao low ().bo u n d CRL B : ; ; ; 2Key word sf requ en cy e st im a t io nf requ en cy o ff se t co r rec t in gN ew to n ite ra t io nC ram e rR ao ()low bo u n d CRL B 的 算 法, 估 计 误 差 的 方 差 接 近 克 拉 美2罗 限 ( ) 2是最优估计, 但 , C ram e rR ao low bo u n dCRL B 引言算法计算量大, 难以实时处理而限制了实际 M L E 应用。基于的谱法运算速度快, 特别适合 D F T 正弦波频率估计是信号处理的一个经典课。实时信号处理, 但是频率分辨率的大小和估计精度 长期以来, 学者们从不同角度采用新的信号处理工 具, 提出了许多频率估计算法。 这些算法围绕两个 又受到信号长度的制约。文献2在的基础上 D F T (() 主题展开: 1估计的精度 当然要考虑算法的精度 用信号频谱的最大两根谱线进行插值对频率进行) () 与信噪比之间的关系; 2算法实现所需要的计算 估计, 即算法。当信号频率位于两个相邻 R ife D F T 量, 即工程化的可行性。文献1 研究了在高斯白噪 量化频率点的中心区域时, 算法精度很高, 均 R ife ()声中对正弦波信号频率进行最大似然估计 M L E 方根误差接近但当信号频率位于量化频率, CRL B 收稿日期: 2007206221; 修订日期: 2008203210 点附近时, 其精度降低。文献3 利用半牛顿迭代方经整理得 法给出一个近似最大似然估计算法, 性能接近 () s in [ Π? f n + 1? t ] () exp j(z n = a 0 Η + 计算量也较小, 但在较低信噪比时存在不 , CRL B )(sin Π? f ? t () 收敛情况。 文献3 提出了一种修正2R ife M R ife()() ) 4 w n Π? f n ? t+1 算法, 通过对信号进行频移, 再采用算法, 解决 R ife ^ 式中: = - 为频率偏差; 为相关累加后? f f 0 f 0 w 1 了当信号频率位于量化频率点附近时估计精度降 2() 的噪声项, 很显然1 均值为 0, 方差为 2 + 1。w n Ρ 低的问题, 此算法精度较高, 均方根误差略大于 ( ) = n 中 信 号 部 分 的 幅 度 的 模但是该算法在对信号频移时, 需计算复指 , CRL B z A 数因子, 而且当信噪比较低时, 可能出现频移方向 () sin [ Π? f n + 1? t ] ( ) a , 当 + 1 ? 0 时,n ? f ? t 出错的情况, 需要二次修正。 文献4 研究了用2M ()sin Π? f ? t 2 () 算法的结果作为初始值再进行牛顿迭代的方 R ife n + 1a () ?+ 1, 此时信噪比趋近于 。 但当A n a 22Ρ 法, 仿真结果表明, 此算法性能稳定, 均方根误差十 () + 1较大时, 的值不好确定。 图 1 为 n ? f ? t A ? f 分接近。CRL B取不同值, 信号幅度= 1 时与的关系曲线, 其 a A n 本文从另一个角度, 在对频率粗略估计的基础 1 ( ) 中 为 与频率分辨率 =的比值, = b ? f ? F b上通过提取信号的相位信息, 估计出频偏, 从而提 N ? t 出了一种新的正弦波频率估计算法。本计算量 ? f = 。 N ? f ? t? F 略大于 小于修正算法, 估计性能略差于 , F F T R ife 修正算法, 但此算法的估计值作为初始值进行R ife 一次牛顿迭代与用2算法作为初始值进行一 M R ife 次牛顿迭代的性能相当, 均方根误差十分接近 。CRL B 1 算法原理 频偏校正算法 111 图 1 与的关系曲线 受加性复高斯白噪声 污 染 的 正 弦 波 信 号: A n ( ) ) ( ) ( ) (= + + 0 ??, 其中:2x ta exp Πf 0 tΗ0 w tt T 1 看出, 当小于等于 1ƒ2 时, 随着 的 从图 b A n ( ) a , f 0 , Η0 分别为信号的振幅、频率和初相; w t为实 增大而增大, 越小, 与的线性关系越显著。这 b A n 2 部和虚部相互独立、方差为 2Ρ的零均值复高斯白也验证了前面的分析。如果采用做粗估计, F F T ? f 正好满足小于等于1ƒ2 频率分辨率。在相同的值 n 噪声; T 为信号脉冲宽度。以采样频率f s 进行等间 情况下, 越小, 值越大, 信噪比也越大。 因此, ? f A 隔采样, 总采样点数为, 即= ƒ, 得到离散序 N T N f s 相关累加的过程就是提高信噪比的过程。 列 () 现求 的相位z n () ()() ) (w n 1 x n = a exp j 2Πf n ? t + Η+0 0 式中 = 1ƒ为采样间隔; = 0, 1, 2, 3 , - 1。? tf s n N () Im [ z n ] () ()Ηrc tan5 n = a () R e [ z n ] () 首先对点并在“0, ”的频域 , x n 做N F F T f s 当信噪比很大时 范围内搜索最大谱峰的位置 , 得到频率的粗估k 0 ^ ()() 6 Η0 +Π? f n ? tΗn ? 计: = ƒ, 在此基础上用粗估计的频率构造 f 0 k 0 f s N 的估计值? f 一个长的新序列N ^ ^ 1 ())() ( (2 n ? ty n = exp j - 2Πf0 () () ? f= [ Ηn -M < Ηn - M ] 1 < N ΠM ? t () () 将式 1和式 2进行相关累加运算, 得到()7 n () () () 这样就可得校正后的精确频率估计z n = x k y k = ?k = 0 ^ ^ ^ ^ ()8 f = f + ? f= k f ƒN + ? f0 0 s n n () ()() a exp jw k y k 2Π?f k ? t + Η+0 () 式7中和 的具体取值对 的估计也有一定M n ? f ?? k = 0 k = 0 影响。根据对图1 的分析知, 越大, 信噪比也越大, n ()3 第 6 期陈役涛, 等: 基于相关累加的正弦波频率估计算法731 () , 信号频率 取从 50, 50 + ƒ2 范围内点可以断定 的精度也是随着 的增大而提高, 因f 0 ? F M H z Ηn n 此取最大值。 观察的取值对估计精度的影 n N M i ( ) 的 6 个频率点, = 50 + = 0, 1, 2,, 5, f i ? F i 10 响, 对分别取 011, 019之间的 9 个离散值, M N N Π = , 对每一个频率 的正弦波分别进行 500 次Η0 f i = 256。在为6 和0 条件下估计频率, N SN R dB dB 6 分别作 500 次模拟统计均方根误差M o n te C a r lo () 模拟, 分别计算估计均值 和 M o n te C a r lo M EA N () , 结果如表1 所示。统计结果表明,取值RM SE M ()均方根误差 。 仿真结果表明, 算法在 RM SE R ife 015 附近较小, 所以取015 比较恰在 N RM SE M N两个量化频率中心附近估计精度很高, 而靠近量化 当。 频率时估计性能变差; 而本文提出的频偏校正算法表 1 取不同值频率估计的 M RM SE 在 全频段内均方根误差都小于 2 倍总体估 , CRL B ƒ011 012 013 014 015 016 017 018 019 M N 计性比算法稳定。同时也可以看出, 本文提出 R ife 123 12103 11114 10177 10170 10176 11115 12108 14125= 6 14SN R dB 的算法在量化频率点附近估计精度较高, 在两个量 172 24122 23177 23149 23113 23161 23189 24195 28149= 0 30SN R dB 化频率中心区域精度较低。在两个量化频率中心区 () 域, 相对较大, 相关积分后的信噪比就相对? f z n 112 频 偏 校 正 算 法 与 算 法 相 结 合 的 R if e () 较小, 取反正切得到的 误差也较大, 进而导致Ηn 综合算法估计的精度降低。本文提出的算法与算法? f R ife 2 算法也是在粗略估计的基础上,R ife D F T () 性能互补。考虑一种综合 算 SCR 算法, 先用R ife 利用最大两根谱线得到频率的估计。 具体表 D F T ^ ^ 法进行频率估计得, 然后判断是否位于两相 f 0 f 0 达式为 邻 量 化 频 率 点 中 心 区 域, 在 此 定 义^ ) (r |r r |X + 1 k 0 ()f = k + 9 0 0 () () X k + X k + r || ||0 0 T 1 3 k + , k +为离散频率点 与 + 1 之间的中 k k 4 4 式中: T = N ? t; k 0 为最大谱线位置; X k 为量化频率 ^ 心区域。如果位于中心区域, 则将作为最后的 f 0 f 0 ) ( 1 | ? 系 数, = ? 1, 当 + 点 上 的 | D F T r X k 0 频率估计值, 否则采用频偏校正算法。算法的 SCR () - 1 时, = 1, 反之, = - 1。||X k 0 rr性能见表2, 明显可以看出比算法提高了很多, R ife 表 2 的前两部分给出了本文提出的频偏校正比频偏校正算法也有一定改进, 均方根误差更接近 算法与算法性能的仿真结果。仿真条件: 采样 R ife 。CRL B () 频率为 200 = 5 ; 采样点数为 256f s M H z ? tn sN ()表 2 频偏校正算法和 算法性能对比 = 6 , = 9154 R if e SNRdBCRL BkHz 被估计频率 频偏校正算法ƒ算法 算法 R ife SCR ƒƒƒƒƒƒM H z RM SE kH z M EA N M H z RM SE kH z M EA N M H z RM SE kH z M EA N M H z 501000 501000 101536 491998 281983 501000 101536 501078 501079 101895 501046 771323 501079 101895 501156 501157 121000 501156 171917 501157 121000 501234 501234 121497 501234 101344 501234 101344 501312 501313 151164 501313 101203 501313 101203 501391 171552 917810 917810 501390 501390 501390 平均误差131107 251759 101627 文献5 利用牛顿迭代算法给出了一个准最大算法的估计值作为初始值进行迭代。 仿真结果表 , 在信噪比较高时, 经过迭代后的精度很高, 当信 明似然估计算法, 该方法的性能与初始值的选取有 噪比较低时, 经过迭代后某些频点上出现不收敛的 关, 在选取合适的初始值情况下, 通过较少的迭代 情况。 可见, 初始值的选取对迭代后的估计精度影 次数就能收敛到真实频率。 迭代公式为 响很大。文献4 给出了以修正算法作为初始 R ife ^ ^ ^ () F ′f 值进行牛顿迭代的方法。 仿真结果表明, 在信噪比 k ()f = f - 10 k + 1 k ^ () 较低时性能仍很稳定, 均方根误差接近。F ″f CRL B k ^现在以本文的 算法作为初始值进行牛顿 ) ( SCR = 为 迭 代 的初 始 值,f f 0F N - 1 迭代, 仿真结果表明, 在信噪比较低时性能保持稳 () ()() () x n exp - j2Πn ? tf , ′为 的一阶 F f F f ? 定, 均方根误差十分接近。CRL Bn= 0 () () 导数, ″为的二阶导数。文献3 采用F f F f R ife 和频率 3 个参数均不知道的情况下, 频率估计的克 2 算法仿真与性能分析1 拉美2罗限为 计算量分析 211 2 ^ 12Ρ2 ()采用算法需要作一次在所有复数va r{f } = 11 , R ife F F T 0 2 22 2() () () a ? tN N - 12Π 1 为了检测本综合算法估计性能的稳定性, 本文k n N 全部算好的前提下, 需 ?次复指数W N lo g2N2 分别在- 6 到16 的不同信噪比下进行仿真, dB dB 数 乘法和?次复数加法。 修正算法 N lo g2N R ife 采样频率为 200 , 采样点数为 256 点, 信 f s M H zN 号频率 501156 , 仿真次数 500, 对比结 , ( ) M H zCRL B 一次修正是在做一次 的基础上, 附加的计F F T 3果如图 2 所示。 可以看出, 本文提出的算法在不同 ( 为 2次复数乘法和 4ƒ3 次复数加法 这 算量N N 信噪比下性能都很稳定, 信噪比在- 5 左右时, dB 是 在个频移因子提前计算好的前提下的计算 N 均方根误差仍小于 115 倍的。CRL B )量。 本文提出的频偏校正算法增加的仅是相关累 加过程, 因此附加的计算量为次复数乘法和-N N 1 次复数加法。与算法相结合的综合算法附加R ife () 的计算量则为2 次复数乘法和 - 12 次复 ƒƒN N 数加法。单独采用牛顿迭代法进行一次迭代的计算 5 量为 3+ 1 次复数乘法和 2- 2 次复述加法。 N N 各种算法的计算量如表 3 所示。 图 2 不同信噪比下算法的性能 SCR 212 性能分析 为了更直观地评价信号的参数估计性能, 本文 表 4 是 在 对 本 文 提 出 的 综 合 算 法、算 R ife 2 3 无偏估计所能达到最小方差, 先给出频率参数 法、修正算法分以及以各种算法为初值经 f 0 R ife 即克拉美2罗下限。 对复正弦波信号, 在相位、幅度过一次牛顿迭代算法的均方根误差的统计结果。 表 3 各种算法的计算量比较 频 率 估 计 算 法复 乘 次 数复 加 次 数 1 ?? 算法 N lo g2NN lo g2NR ife 2 1 频偏校正算法1 ?+ ?+ - N lo g2N N N lo g2N N 2 1 1 1 1 ( 算法 )?+N1 SCR N ?lo g2N + N -N lo g2N 2 2 2 2 14()修正算法 一次修正 ?+ N ?lo g2N + 2NR ife N lo g2N N 2 3 11()一次牛顿迭代 以算法为初值 ?+ 3+ 1?+ 2-2 R ife N lo g2N N N lo g2N N 2 2 11 10- 2()?+ 5+ 1?+N 一次牛顿迭代 以2算法为初值 N lo g2N N N lo g2N M R ife 3 2 2 1 7 1 5 ()) ( 一次牛顿迭代 以算法为初值 ?+ + 1?+ -1 SCR N lo g2N N N lo g2N N 2 2 2 2 ()表 4 各种算法性能对比 = 0 , = 19106 SNRdBCRL BkHz kH z () 牛顿迭代算法 一次迭代被估计频率算法 算法 2算法 ƒM H z R ife SCR M R ife 算法为初值 算法为初值 2算法为初值 R ife SCR M R ife 501000 551870 1520 1041 1902 1984 1985 2425201919501078 105140 221516 211089 261674 181923 181922 501156 107142 241530 201103 501950 181893 181899 501234 281698 211708 221405 251702 191838 191837 501312 201240 201240 201174 191499 191499 191499 501391 181871 181871 181871 181908 181908 181908 平均误差561083 221064 211281 271106 191341 191342 ƒ1942 11158 11117 11422 11015 11015 2 RM SE CRL B 第 6 期陈役涛, 等: 基于相关累加的正弦波频率估计算法733 参考文献:从表 4 的统计结果看, 在信噪比为 0 下, 直 dB 接采用 算法的估计性能最差, 均方根误差接 R ife , . 21 R ife D C Boo r styn R RS ing leto ne p a ram e te r e st i2 2[ . 近3 倍不采用牛顿迭代算法时, 本文提出的 m a t io n f rom d isc re tet im e o b se rva t io n J IE E E ; CRL B () , 1974, 220 5: 5912598.T ran s Info rm T h eo ryIT 综合算法性能略差于修正算法, 但均方根误差 R ife , . 2 R ife D C V incen t G AU se o f th e d isc re te Fo u r ie r 都小于 112 倍用算法的估计值作为初; CRL BR ife t ran sfo rm in th e m ea su rem en t o f f requenc ie s and 始 值, 进行一次牛顿迭代的均方根误差略小于 115( ) 1970, 49 2: leve ls o f to ne s [J . B e ll Sy st T ech J , 倍 分别用本文提出的综合算法和修正; CRL B R ife1972228. 算法作初始值, 进行一次牛顿迭代后, 均方根误差 3 邓振淼, 刘渝, 王志忠. 正弦波频率估计的修正算 R ife 都很接近。CRL B () 数据采集与处理, 2006, 21 4: 4732477. 法 [. J 4 邓振淼, 刘渝. 正弦波频率估计的牛顿迭代方法初始 3 结束语() 2107. 2007, 35 1: 104值研究 [. 电子学报, J . 5 A ba tzo g lo u T JA fa st m ax im um lik e lihoo d a lgo 2 本文提出的频偏校正算法原理简单, 在增加少r ithm fo r th e f requency e st im a t io n o f a sinu so id 量计算量的情况下, 估计性能比算法提高了很 R ife ′[. ,ba sed o n N ew to ns m e tho d J IE E E T ran s A SSP 多; 而本文提出的频偏校正算法与算法相结合 R ife () 1985, 33 1: 77289. 的 综合算法, 估计精度与修正算法接近, 与修 R ife 正算法分别作初始值进行一次牛顿迭代后, 性 R ife 能相当, 都十分接近 而且在较低的信噪比 ( ) , CRL B 作者简介: 陈役涛 19822, 男, 硕士研究生, 研究方向: 信号 ( ) 处理, 22002 @ 163. ; 刘渝 19452, 男, : E m a ilch eny itao 2com 下 性能也很稳定, 计算量小于修正算法, 有利 R ife ( ) 教授, 博士生导师, 研究方向: 信号处理; 邓振淼 19772, 于硬件实现。 男, 博士后, 研究方向: 信号处理。