正比例和反比例
正比例与反比例
小学数学总复习专题讲解及训练-正比例和反比例
主要内容
正比例和反比例
考点分析
1、两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值(也就是
商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们之间的关系叫做正比例关系。
如果用字母,和,分别
示两种相关联的量,用,表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:
y = K(一定)。 x
2、用“描点法”可以得到正比例的图像,正比例的图像是一条直线。对照图像,能根据一种量的值,估计另一
种量相对应的值。
3、两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定,这两种
量就叫做成反比例的量,它们之间的关系叫做反比例关系。
如果用字母,和,分别表示两种相关联的量,用,表示它们的积,反比例关系可以用这样的式子来表示:,
, = K(一定)。
4、两个变量的比值一定,这两个变量成正比例;两个变量的积一定,这两个变量成反比例;没有上述两种关系,
这两个变量不成比例。
典型例题
例1、(正比例的意义)一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系,
时间/时 1 2 3 4 5 6 „„
路程/千米 120 240 360 480 600 720 „„
分析与解:(1)从上表可以看出,表中有时间和路程两种量。
(2)从左往右看,时间扩大,路程也扩大;从右往左看,时间缩小,路程也缩小。所以它们是两种
相关联的量。
360240120(3)路程和时间的比值始终不变, = 120, = 120, = 120„„这个比值就是火车的132
行驶速度。
路程有这样的关系: = 速度(一定)。 时间
具备了这两个条件,我们就可以得到结论:行驶的路程和时间成正比例关系;行驶的路程和时间成
正比例的量。
点评:判断两种量是不是成正比例,分三步:一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化,另一种量
是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母,
y和,分别表示两种相关联的量,用,表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示: = K(一x
定)。
例2、(判断是否成正比例)
练习本的单价一定,买练习本的数量和总价是不是成正比例,为什么,
分析与解:根据正比例的意义,看两个变量的比值是否一定,如果两个变量的比值一定,那么这两个变
量就成正比例,反之,则不成正比例。
买练习本的数量和总价是两种相关联的量,它们与练习本的单价有下面的关系:
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正比例与反比例
买练习本的总价 = 练习本的单价(一定) 数量
所以练习本的数量和总价成正比例。
例3、(正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时,路程与时间的关系如下。
时间/分 1 2 3 4 5 6 7 „„ 路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 „„ (1)图中的点A表示时间为1分钟时,磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着描出其他各点。
(2)连接各点,它们在一条直线上吗,
(3)根据图像判断,列车运行2分半钟时,行驶的路程是多少千米,行驶30千米大约需要几分钟,
路程/千米
42
35
28
21
14
7 ?A
0
1 2 3 4 5 6 7 时间/分
分析与解:根据提供的各组数据描出图像的许多个点,再依次连成直线。路程和时间相对应的数的比值都是7,
即速度一定,路程和时间成正比例,图像是一条直线。对照图像,可以根据时间的值估计出路程的
值,也可以根据路程的值估计出时间的值,估计时允许有一定的出入。 (1)描点、连线如图。
路程/千米
42 ?
35 ?
28 ?
21 ?
14 ?
7 ?A
0
1 2 3 4 5 6 7 时间/分
(2)在一条直线上,因为路程和时间成正比例,正比例的图像是一条直线。 (3)根据图像,列车运行2分半钟时,行驶的路程是17.5千米;行驶30千米大约需要4.3分钟。
例4、(辨析)圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径成正比例, 分析与解:圆的周长和直径成正比例,而圆的面积和半径却不成正比例。 可列表判断。
半径/cm 1 2 3 4 5 6 „„
直径/cm 2 4 6 8 10 12 „„
周长/cm 6.28 12.56 18.84 25.12 31.4 37.68 „„
3.14 12.56 28.26 50.24 78.5 113.04 „„ 面积/cm?
圆的周长和直径成正比例,圆的面积和半径却不成正比例。
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正比例与反比例
例5、(反比例的意义)
下表是王师傅加工一批零件时,每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有什么关系,
每小时加工零件的个数/个 20 30 40 60 80 „„
加工的时间/时 12 8 6 4 3 „„
分析与解:(1)从上表可以看出,表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。
(2)从左往右看,每小时加工零件的个数扩大,加工的时间反而缩小;从右往左看,每小时加工零件的
个数缩小,加工的时间反而扩大。所以它们是两种相关联的量。
(3)每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变,如20 × 12 = 240,30 × 8 = 240,
40 × 6 = 240„„而这个积就是这批零件的总个数。
有这样的关系:每小时加工零件的个数 × 加工的时间 = 零件的总个数(一定)。
所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量,它们之间的关系叫做反比例关系。 点评:判断两种量是不是成反比例,和正比例一样,分三步:一看它们是不是相关联的两种量;二是看一种量变化,另一种量是不是也随着变化;满足了前面两个条件,再看它们的乘积是否一定,进行判断。不要省去任何一步。如果用字母,和,分别表示两种相关联的量,用,表示它们的比值,正比例关系可以用这样的式子来表示:,, = K(一定)。
6、(判断是否成反比例)
总产量一定,每公顷的产量和公顷数是不是成反比例,为什么,
分析:每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量,它们与总产量有下面的关系:
每公顷的产量 × 公顷数 = 总产量(一定)
所以每公顷的产量和公顷数成反比例。
例7、(辨析)和一定,一个加数和另一个加数成反比例。
分析与解:判断两个变量是否成反比例,关键是看两个变量的乘积是否一定。
和一定,一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。
例8、(综合题1)
(1)长方形的面积一定,长和宽成反比例吗,为什么,
(2)长方形的周长一定,长和宽成反比例吗,为什么,
分析与解:判断时可以用列表的方式列举数据,也可以根据计算的公式来推导。
(1)因为长方形的长 × 宽 = 长方形的面积(一定),所以长和宽成反比例。
(2)长方形的周长 = (长+宽)× 2 ,长方形的周长一定,长+宽的和一定,但不是积一定,所以长
和宽不成反比例。
例9、(综合题2)
分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中,每两种量的比例关系。 (1)大米的总千克数一定,每天吃的千克数和天数;
(2)每天吃的千克数一定,大米的总千克数和天数;
(3)天数一定,大米的总千克数和每天吃的千克数。
(1)因为每天吃的千克数 × 天数 = 大米的总千克数(一定),所以大米的总千克数一定时,每天吃的千克数
和天数成反比例。
大米的总千克数(2)因为 = 每天吃的千克数(一定),所以每天吃的千克数一定时,大米的总千克数和天天数
数成正比例。
大米的总千克数(3)因为 = 天数(一定),所以天数一定时,大米的总千克数和每天吃的千克数成正比例。 每天吃的千克数
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正比例与反比例
模拟试题
1、仔细观察每张表格,思考表格中两种量之间有关系吗,有什么关系,为什么,
表格1
数量/本 1 3 6 8 10 20 „„
总价/元 4 12 24 32 40 80 „„
表格2
单价/元 1.5 2 3 4 5 6 „„
总价/元 6 8 12 16 20 24 „„
表格3 用60元钱购买笔记本,笔记本的单价和可以购买的数量如下表:
单价/元 1.5 2 3 4 5 6 „„
数量/本 40 30 20 15 12 10 „„ 2、用一批纸装订练习本,每本25页,可以装订400本。如果要装订500本,每本有X页。
题中( )量一定,关系式:( )?( ),( )(一定),( )和( )成( )比例。
3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺,需要640块。如果改用边长0.4米的正方形地砖,需要Y块。
题中( )量一定,关系式:( )?( ),( )(一定),( )和( )成( )
比例。
4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中
当底面周长一定时,( )与( )成( )比例;
当高一定时,( )与( )成( )比例;
当侧面积一定时,( )与( )成( )比例。
5、在被除数、除数、商这三种量中,
当( )一定时,( )与( )成正比例;
当( )一定时,( )与( )成反比例;
6、当 a × b , c( a、b、c 为三种量,且均不为0)。
( )一定,( )与( )成( )比例;
( )一定,( )与( )成( )比例;
( )一定,( )与( )成( )比例;
7、判断。
(1)、工作总量一定,工作效率和工作时间成反比例。( )
(2)、图上距离和实际距离成正比例。( )
(3)、X和Y表示两种变化的相关联的量,同时5X,7Y,0,X和Y不成比例。( ) (4)、分数的大小一定,它的分子和分母成正比例。 ( ) (5)、在一定的距离内,车轮周长和它转动的圈数成反比例。 ( ) (6)、两种相关联的量,不成正比例,就成反比例。 ( ) (7)订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。 ( ) (8)在400米赛跑中,跑步的速度和所用时间成反比例。 ( ) (9)工作总量一定,已完成的量和未完成的量成反比例。 ( ) (10)正方体的棱长和体积成正比例。 ( )
(11)被除数一定,除数和商成反比例。 ( ) (12)圆的周长和它的直径成正比例。 ( )
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正比例与反比例 8、判断下面每题中的两种量是不是成比例,如果成比例,成什么比例。 (1)、装配一批电视机,每天装配台数和所需的天数( )。 (2)、正方形的边长和周长( )。
(3)、水池的容积一定,水管每小时注水量和所用时间( )。 (4)、房间面积一定,每块砖的面积和铺砖的块数( )。 (5)、在一定时间里,加工每个零件所用的时间和加工零件的个数( )。 (6)、在一定时间里,每小时加工零件的个数和加工零件的个数( )。 9、思考:明明三岁时体重12千克,十一岁时体重44千克。于是小张就说:“明明的体重和身高成正比例。”你认为
小张的说法对吗,为什么,
10、某造纸厂每小时造纸1.5吨,2小时、3小时??各造纸多少吨, (1)把下表填写完整。
造纸时间/时 1 2 3 4 „„
造纸吨数/吨 1.5 „„
(2)根据表中的数据,在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点,再把它们连起来。
吨数/吨
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 时间/时
(3)造纸吨数与造纸时间成正比例吗,为什么,
4)根据图像判断, 5小时造纸多少吨, (
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