高数考点[资料]

高数考点[资料] 函数、极限、连续 函数:函数的定义。显函数与隐函数。函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性。反函数及其图形。基本初等函数。复合函数。初等函数。*双曲函数与反双曲函数。 极限:数列极限的 ε,N 定义。数列收敛的条件(必要条件——有界性;充分条件——单调有界(叙述);*充要条件——柯西(Cauchy)审敛原理(叙述)。函数极限的定义。函数极限的ε,δ定义。函数的左右极限。不等式取极限。无穷小与无穷大的定义、。无穷小与函数极限的关系。极限的四则运算。两个重要极限: 无穷小的比较。等价无穷小。 函数的连续性:函数连续的定义。间断点。连续函数的和、差、积、商的连续性。连续函数的反函数的连续性(不证)。连续函数的复合函数的连续性(不证)。基本初等函数和初等函数的连续性。闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理等的叙述。 一元函数的微分学 导数与微分:导数的定义。导数的几何意义。平面曲线的切线与法线。函数的可导性与连续性之间的关系。函数的和、差、积、商的导数。复合函数的导数。反函数的导数。基本初等函数的导数公式。初等函数的求导问。高阶导数。隐函数的导数。对数求导法。由参数方程所给定的函数的导数。微分的定义。微分的几何意义。微分的运算法则。微分形式的不变性。微分在近似计算及误差估计中的应用。**极坐标下曲线的切线与切点的连线的夹角。 中值定理与导数的应用:罗尔(Rolle)定理。拉格朗日 (Lagrange)定理。柯西定理。罗必达(L′Hospital)法则。带有拉格朗日余项的泰勒(Taylor)公式。函数增减性的判定法。函数的极值及其求法。最大值、最小值问题。函数图形的凹向及其判定法。拐点及其求法。水平与垂直渐近线。函数图形的描绘举例。弧微分。曲率的定义及其计算公式。曲率圆与曲率半径、曲率中心。**曲率中心的计算公式。**渐伸线与渐屈线。用牛顿切线法求方程的近似解。 一元函数的积分学 不定积分:原函数与不定积分的定义。不定积分的性质。基本积分公式。换元积分法。分部积分法。有理函数、三角函数的有理式及简单的无理函数的积分举例。积分的用法。 定积分及其应用:定积分的定义。定积分存在定理的叙述。定积分的性质。定积分的中值定理。定积分作为变上限的函数极其求导定理。牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。定积分的换元法与分部积分法。定积分的近似积分法(矩形法、梯形法、抛物线法)。两种广义积分的定义。**两种广义积分的审敛法，** Γ函数及其递推公式。定积分在几何学中的应用(面积、弧长、已知平行截面面积求体积等)。定积分在物理学中的应用举例。 向量代数与空间解析几何 向量代数:向量概念。向量的加减法。向量与数量的乘法。投影定理。空间直角坐标系。向量的分解与向量的坐标。向量的模。单位向量。方向余弦与方向数。向径。两点间的距离。向量的数量积。两向量的夹角。两向量平行与垂直的条件。*混合积。 平面与直线:平面的方程(点法式、一般式、截距式)。直线的方程(参数式、对称式、一般式)。夹角(平面与平面、平面与直线、直线与直线)。平行与垂直的条件(平面与平面、平面与直线、直线与直线)。 曲面与空间曲线:曲面方程的概念。球面方程。旋转曲面(包括圆锥面)。母线平行于坐标轴的柱面方程。空间曲线作为两曲面的交线。空间曲线的参数方程。螺旋线。空间曲线在坐标面上的投影。 二次曲面:椭球面、抛物面、双曲面。 多元函数的微分学 多元函数:多元函数的定义。点函数的概念。区域。二元函数的几何表示。二元函数的极限与连续性。有界闭域上连续函数性质的叙述。 偏导数与全微分:偏导数的定义。二元函数偏导数的几何意义。高阶偏导数。混合偏导数可以交换求导次序的条件(叙述)。全微分的定义。全微分存在的充分条件。二元函数泰勒公式的叙述。*全微分在近似计算中的应用。多元复合函数的求导法则。全导数。隐函数的求导公式。方向导数。**梯度。 偏导数的应用:空间曲线的切线与法平面。曲面的切平面与法线。多元函数的极值及其求法。最大值、最小值问题。条件极值。拉格朗日乘数法。 多元函数的积分学 二重积分:二重积分的定义。二重积分存在定理的叙述。二重积分的性质。二重积分的计算法(包括极坐标)。二重积分在几何学中的应用(立体体积、曲面面积)。二重积分在物理学中的应用举例。 三重积分:三重积分的定义及其性质。三重积分的计算法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。三重积分的应用举例。 曲线积分:曲线积分(对弧长及对坐标)的定义。曲线积分的性质。曲线积分的计算法。曲线积分的应用举例。 曲面积分:曲面积分(对面积及坐标)的定义。曲面积分的性质。曲面积分的计算法。曲面积分的应用举例。 各类积分的联系:平面曲线积分与二重积分的联系——格林(Green)公式。曲面积分与三重积分的联系——高斯(Gauss)公式。*空间曲线与曲面积分的联系——斯托克斯(Stokes)公式(不证)。平面曲线积分与路径无关的条件。二元函数的全微分求积。**散度。**旋度。 无穷级数 常数项级数:无穷级数及其收敛与发散的定义。无穷级数的基本性质。级数收敛的必要条件。*柯西审敛原理。几何级数。调和级数。P级数。正项级数的比较审敛法和比值审敛法。交错级数。莱布尼兹定理。绝对收敛和条件收敛。 幂级数:幂级数概念。阿贝尔(Abel)定理。幂级数的收敛半径与收敛区间。幂级数的四则运算、和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数。函数展开为幂级数的唯一性。函数(、 sinx、 cosx、 ln(1+x) 、 (1+x)等)的幂级数展开式。幂级数在近似计算中的应用举例。欧拉(Euler)公式。 *函数项级数:函数项级数的一般概念。一致收敛及一致收敛级数的基本性质。 傅立叶(Fourier)级数:三角级数概念。三角函数系及其正交性。函数的傅立叶系数。函数的傅立叶级数。函数展开为傅立叶级数的充分条件(叙述)。奇函数和偶函数的傅立叶级数。函数展开为正弦级数或余弦级数。任意区间上的傅立叶级数。 常微分方程 常微分方程的一般概念:微分方程的定义。阶。解。通解。初始条件。特解。 一阶微分方程:变量可分离的方程。线性方程。用变量置换法解一阶方程举例。全微分方程。 可降阶的高阶微分方程:、、 线性微分方程:线性微分方程的解的结构。二阶常系数齐次线性微分方程。二阶常系数非齐次线性微分方程。**欧拉方程。*常系数线性微分方程组解法举例。 附:高等数学教学大纲说明书 一、 课程的作用和任务 高等数学在高等工科院校的教学中是一门重要的基础理论课，为培养适应四个现代化需要的高级工程技术人才服务。通过这门课程的学习，要使学生系统地获得微积分(包括向量代数与空间解析几何)与常微分方程的基本知识，必要的基础理论和常用的运算方法，并注意培养学生比较熟练的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力、几何直观和空间想象能力，从而使学生受到数学分析方法和运用这些方法解决几何、力学和物理等实际问题的初步训练，为学习后继课程和进一步扩大数学知识奠定必要的数学基础。 二、 课程的基本 1(正确理解下列基本概念和它们之间存在的内在联系: 函数，极限，无穷小，连续，导数，微分，不定积分，定积分，偏导数，全微分，重积分，曲线积分，曲面积分，级数的敛散性，微分方程。 2(正确理解下列基本定理和公式并能正确应用: 极限的主要定理，拉格朗日定理，泰勒定理，定积分作为变上限的函数及其求导定理，牛顿-莱布尼兹公式，格林公式。 3(牢固掌握下列公式: 基本初等函数的导数公式，基本积分公式，函数、 、 sinx 和 cosx的幂级数展开式。 4(熟练运用下列法则和方法: 函数的和、差、积、商的求导法则与复合函数的求导法则，换元积分法和分部积分法，二重积分的计算法，变量可分离的一阶微分方程的解法，一阶线性微分方程和二阶常系数微分方程的解法。 5(会运用微积分和常微分方程的方法解决一些简单的几何、力学和物理的问题。 三、 课程内容的重点、深度和广度 函数、极限、连续 重点:函数的概念。极限的概念。无穷小。极限的四则运算。函数的连续性。 对于中学学过的有关函数的内容，只须加以复习提高，不必再作详细讲解。但对于函数符号f(x)的意义和用法，应有足够的说明和训练。还应适当介绍分段函数，举例说明建立函数式的方法。 关于极限的定义只用“”、“”语言来描述。不定式求极限的训练主要放在罗必塔法则中进行，这里不宜作过多过难的练习，对于=。只须证明为正整数的情况。基本初等函数的连续性可以不要证。振荡间断点可以不讲。对于连续函数在闭区间上的性质，只要求几何说明。 导数与微分 重点:导数的概念。导数的几何意义。初等函数导数的求法。微分的概念。 正确理解导数作为变化率的概念，微分是函数增量的线性主部的概念，以及函数局部线性化的思想。熟练掌握初等函数的求导法，明确初等函数的导数仍是初等函数这一事实。 中值定理和导数的应用 重点:拉格朗日定理。泰勒公式。罗必塔法则。函数增减性的判定法。函数的极值及其求法。最大值、最小值问题。 三个中值定理采用分析证明或几何说明可以灵活掌握。极值点的判定限于用一阶导数与二阶导数。 对于罗必塔法则，可只证x?a时的型。 不定积分 重点:原函数与不定积分的概念。不定积分的性质。基本积分公式。换元积分法。分部积分法。 在讲有理函数的积分时，对于化有理真分式为部分分式的问题，可以只提出结论而不加证明，但须通过例题把方法讲清楚，在适当的地方介绍一下递推公式。 定积分及其应用 重点:定积分的概念。定积分的中值定理。定积分作为变上限的函数及其求导定理。牛顿—莱布尼兹公式。 要求学生学会正确使用定积分的换元积分法。 在定积分的应用中，应把重点放在培养学生运用微元分析法建立积分表达式的能力上，定积分在物理学中应用的具体例子可根据需要选择。 向量代数与空间解析几何 重点:向量概念。向量的坐标。向量的数量积。向量的向量积。平面的点法式方程、直线的对称式方程、曲面方程的概念。空间曲线的参数方程。 空间解析几何应以向量为主要工具，注意培养学生对向量的运用和空间图形的想象能力。 要求熟悉标准二次曲面的方程与图形、标准二次曲面以及它们所围的简单立体。关于圆锥面，可以只讲顶点在原点且以坐标轴为轴的圆锥面。关于旋转曲面可以只讲以坐标轴为旋转轴的旋转曲面。 多元函数的微分学 重点:多元函数的概念。偏导数与全微分概念。多元复合函数的求导法则。多元函数极值存在的充分条件(叙而不证)。 由方程组确定的隐函数的求导公式可以不讲。 重积分 重点:二重积分概念。二重积分计算法。三重积分的计算法。 二重积分化为累次积分的公式，以及二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，都只作几何说明，不作分析证明。三重积分与此类同。重积分的应用着重于运用微元分析法，具体例子可以根据需要选择。 曲线积分于曲面积分 重点:曲线积分的概念及其计算法。格林公式。曲线积分与路径无关的条件。曲面积分的概念及其计算法。 曲线积分要讲平面曲线与空间曲线两种情况，但以平面曲线为主。 梯度、散度、旋度可供不单独学场论的专业选用。 无穷级数 重点:无穷级数收敛和发散的概念。正项级数的比值审敛法。级数的绝对收敛和收敛的关系。幂级数的收敛半径与收敛区间。泰勒级数。函数的幂级数展开式。函数的傅立叶级数。函数展开为正弦级数或余弦级数。 绝对收敛和条件收敛包括它们的概念，级数的绝对收敛与收敛的关系，绝对收敛级数的性质可灵活掌握。 函数幂级数的四则运算、和的连续性、逐项微分于逐项积分均不证。 常微分方程 重点:微分方程的概念。解。通解。特解。变量可分离的微分方程。一阶线性微分方程。二阶线性常系数微分方程。 变量置换法解一阶方程。可用齐次方程和贝努力方程为例，着重说明通过变量置换求解方程的思想。 线性微分方程的解的结构包括齐次与非齐次两种情况，对于非齐次方程要讲明自由项为两项之和时，其特解等于自由项为各项时的特解之和。 关于二阶常系数非齐次线性方程，包括自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积几种。微分方程的应用，可穿插在有关内容中讲。