否命题与命题的否定

否命题与命题的否定 一、识别否命题与命题的否定 1(命题的否命题:既否定命题的条件又否定命题的结论，命题“若p 则q ”，则其否命题是“若非p ，则非q ”。 2(“非m ”叫做命题m 的否定，对命题 怎样否定呢,保留其条件，否定其结论，即命题 是“若 p，则q ”，那么命题“非m ”是:若p ，则非q 。由此可知命题的否定与原命题的条件相同，结论相反;命题的否定与原命题的的真假相反; 。 二、区别否命题与命题的否定 1(注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。命题的否定为“非 ”，记作 ，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。 2(“非”是否定的意思，一个命题m经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非m ”，从集合的角度可以看作是 在全集 中的补集 。“非”的含义有四条: ?“非m ”只否定 的结论; ?m与“非m ”的真假必须相反; ?“非m ”必须包含原结论的所有对立面; ?“非m ”必须使用否定词语。 三、实例帮您理解否命题与命题的否定 对于这两个问题，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。 若 m是一个命题，则非m 是m 的否定，它是对整个命题进行否定。 命题“若p 则q ”的否命题是“若非p 则非q ”，即对命题的题设与结论同时否定，例如: ?命题:(所有)质数不都是奇数(真);否定形式:(所有)质数都是奇数(假);否命题:有些质数是奇数(真)。 ?命题:面积相等的三角形一定是全等三角形(假);否定形式:面积相等的三角形不一定是全等三角形(真);否命题:面积不相等的三角形一定不是全等三角形(真)。 四、“或”、“且”连结的命题的否定形式 “p 或q ”的否定是“非p且非 q”;“p且q”的否定形式是“非p 或非q ”。它类似于集合中的“并 、交 ”，如“实数a与b 均为零”的否定是“实数a 与 b中至少有一个不为零”，而不是“实数 a与b 都不为零”;“实数 a与 b中至少有一个为零”的否定是“实数a 与b 均为零”。 五、命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系 原命题 否定形式 否命题 真 假 与原命题的真假无关与逆命题真假相同 假 真 与原命题的真假无关与逆命题真假相同 六、命题中关键词的否定 把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词的否定，见下表: 关键词 大(小)于 是 有 全部 任何，所有的 至少有一个 至多有一个 任意 否定 不大(小)于 不是 无 不全部 不都 某些，有几个 一个也没有 至少有两个 存在 七、含有一个量词的命题的否定 含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论: 全称命题 : ，它的否定 : 全称命题的否定是存在性命题。 含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论: 存在性命题 : ，它的否定: : 存在性命题的否定是全称命题 八、典型例题剖析 例1写出命题“若 ? 或 ? ，则 ? ”的否命题 错解一:否命题为“若 ? 或 ? ，则 ” 错解二:否命题为“若 或 ，则 ”。 错解剖析:这两种结论都是错误的，在写否命题时，首先要分清是“否命题”还是“命题的否定”。“否命题”是对条件与结论分别否定，而“命题的否定”是只对结论的否定。即若原命题为 ，那么它的否命题是非 非 ，而命题的否定是 非 。其次要注意对“且”与“或”的否定。一般来说，“且”的否定是“或”，而“或”的否定是“且”。 正解:原命题的否命题为: 若 且 ，则 。 例2写出下列命题的否定，并判断其真假 (1) : R， ? ;(2) :所有的正方形都是矩形;(3) : R， ? ;(4) :至少有一个实数 ，使 。 解:(1) : R， 。(假) 这是由于 R， ? 恒成立; (2) :至少存在一个正方形不是矩形。(假) (3) : R， 。(真) 这是由于， R， ? 成立。 例3已知命题 :存在一个实数 ，使得 ，写出 。 分析:命题 有两种答案:(1)存在一个实数 ，使得 ? ;或(2)不存在一个实数 ，使得 。这两个答案哪一种正确, 解:由 。故原命题 是真命题。又 时， ，所以分析中答案(1)也是真命题。而 与 的真假性相反，所以(1)是错误的。 答案(2)是正确的。事实上，我们不妨把命题 改写成:若一个不等式是 ，则存在一个实数 使这个不等式成立。由此可知，答案(2)才是否定了命题 的结论，得到了“ ”。 例4写出命题“若 ，则 ”的否定和否命题。 解:命题“若 ，则 ”的否定为“若 ，则 ? ”;否命题为:若 ，则 ? 。