指数型母函数(上)

指数型母函数(上) 母函数 九、指数型母函数(上) 设 (94) a•,a••,•a•,•？•,a••,•？012n 是一个给定的数列，我们称形式幂级数 2n a，ax，ax，？，ax，？012n 为它的母函数. 在引进形式幂级数的运算法则以后，我们看到，这样一个母函数的概念在解决一系列的问中起了关键性的作用. 但是在解决另外一些问题时，下面介绍的指数型母函数概念将起重要的作用. 定义9 对于给定的数列(94)，我们称形式幂级数 ,aaaa23nn3n2n (95) ,，，，，？，x，？xaaxxx,01••••nn!2!3!!0n, 为数列(94)的指数型母函数，这里. 0!•,1 以前讨论的母函数和指数型母函数的差别，就在于前者直接用作幂级数的系数，而an an后者则是用作为幂级数的系数. n•! 因为指数型母函数仍是一个形式幂级数，所以关于它们的加法、乘法、除法等运算还是按照形式幂级数的相应运算来做，不必重新定义. 设数列，的指数型母函数分别为 {a}{b}nn ,aaaa23nn3n2n (95) ,，，，，？，x，？xaaxxx,01••••nn!2!3!!0n, 为数列(94)的指数型母函数. 因为指数型母函数仍是一个形式幂级数，所以关于它的加法、乘法、除法等运算还是按照形式幂级数的相应运算来做，不必重新定义. 设数列，的指数型母函数分别为 {a}{b}nn ,,bannnn， (),(),x•g••x,xfx,,•!!nn00nn,, 容易验证 ,cnn， (96) ()(),xfxgx,•!n0n, nk其中 . c,Cab,,nnknk ,0k 证明很简单，根据形式幂级数的乘法规则， nncab1!•nnknk,,,aa,,kn,k!!(,)!!!(,)!n•knknknkk,,00k n1k••••,Caa•,,nknk,n•!k,0 消去n!，即得的达式. 在下面的讨论中经常要用到(96). cn 为什么要称(95)为指数型母函数呢, 我们研究一下每项都是1的数列 {a},{1•,1••,1••,•？•,1••,•？}•,n 它的指数型母函数为 2n,1xxn， 1,，，，？，，？xx,•!2•!n•!nn0, 这个母函数在下面的讨论中将起重要作用，我们专门用一人记号来记它，即 e(x) 2nxx (97) (),1，，，？，，？exx•n•2!!不难证明下面的 定理11 . e(x)e(y),e(x，y) 证明 按照定义 nnn,,,()xyx，y(),(),()， •e•••e••ex,y,x，y,,,,n•!n•!n•!n0n0n0,,, 把改写成 e(y) n,1y,,n. ()eyx,,,,•!nx,,n0, 于是根据(96) n,,,,,,,c11y,,nnnn,,,,()()， exey,x,xx,,,,,,,,,•!•!•!nnnx,,n0n0n0,,,,,,, knnyy1,,,,kn这里 ， c,C,1，,(x，y),,,,,nnnxx,,,,x,0k 代入上式，即得 n,(，)xy. (98) ()(),,e(x，y)exey,•n!n0, 定理证毕. xxyx，y对于指数函数，我们显然有. 现在f(x),af(x)f(y),a,a,a,f(x，y) 从定理11看到，具有上述指数函数的性质. 这就是称(95)为指数型母函数的原因. e(x) 2在定理中，取，就得到，即 y,x(e(x)),e(2x) 2nn,,,,2xn,,. ,x,,,,n!!••n00nn,,,, 取，得=1，即 e(x)e(,x)y,,x 1,e(,x)， (99) e(x) n,1(1),n或者 . x,,n,•!nxn0,,n•!n0, 这个式子在下面的讨论中也常要用到. 作为指数型母函数的一个应用，我们证明一个有趣的结果. 定理12 设是一个给定的数列，令 {a}n 12n， (100) b,a,Ca，Ca,？，(,1)an0n1n2n则必有 12n， (101) a,b,Cb，Cb,？，(,1)bn0n1n2n n证明 用乘的指数型母函数，并利用(96)得 e(x){(,1)a}n nn,,,,,,,aa(,1)(,1)1nnnnn,,,,exxxx(),,,,,,,,n•n•n•!!!,,,n0n0n0,,,, n,,kk,,Ca(,1),nk,,,nk,0 •••••••••••••••x,,,,n•!,n0,, ,,,, ,bnn•••••••••••••••,x•.,n•!,n0 这最后一个等号是根据(100)，于是由(96)和(99)得 n,,(,1)ab1nnnn,xx,,!()!••nexnnn00,, n,,,,,,b(,1)nnn,,,,••••••••••••,xx ,,,,,,!•!nnn0n0,,,,,, ,cnn••••••••••••,x••••••••••.•••••••••••••••(102),n•!n0, nn,knknkk这里 ， c,Cb(,1),(,1)(,1)Cb,,nnknk ,,00kk 比较(102)两边的系数即得 nkk ， (n,0•,1•,•2•,•？)a,(,1)Cb,nnk ,0k 这就是所要证明的 (100)和(101)称为组合变换的互逆公式. 对于给定的数列，通过组合变换(100)，{a}n产生新的数列. 自然要问，再经过一次组合变换，将变成什么,定理12告诉我们，{b}{b}nn 再变一次又变回到原来的了. 下面是应用这对互逆公式来解决问题的例子.{a}n