关于曲线y=a^x与y=loga^x交点问题的探讨

关于曲线y=a^x与y=loga^x交点问的探讨 关于曲线y=a^x与y=loga^x交点问题的探 讨 毒 _ +c:+.(?.+.2)…'?+…Ck++,l口3k'? 据二项式定理,该展开式中总的项数为 (+2)+(+1)+...+2+1: : ?12旦盟:I一=———————————————一''^一-?3' 因此,对任何正整数n,(n,+n+n)的展开 式中项数为==c: 我们还可以进一步研究该式与二项式定理之间 的联系. 由于(口.+a2+12,3)的展开式中共有c+:项,展 开(.l+.2+.),就有(口l+.2+.3+口)=c: (口.+?2+a,)+c(.+口2+.3)一口t+…+c:.:? 进一步展开,易见所有的项数应为: (-F-+?n+1) + 【+寻?】+…+? 圭(k2+萼+1) : (川+2)n+??+(n+1) 一 !?121?兰!!?兰2 —6 : 盟: 一1I… 一般地,式(o.+口2+?3+…+?)展开后的项 数共有 证m2时,(口.)的展开式有P2=n+1 项: m:3时,已证得(D.+o+o,)展开式中有 :项. 假设m=k时,(口.+口:+…+.)展开式中的 项数为P.=(k— I)=Ct-+.t—1. 则当m=+1时,就有 (凸l+口2+…+^+o^+1) =[(口l+口2+…+口^)+口^+1]" = c:(口l+…+口^)+C(口l+…+口^).口^+ +???+C:(口1+…+口^)一口:+l +…+c:一'(n.+…+CI.^)口:::+c:口:+,? 该展开式的项数为 ck + - ^ I — l _+Ck- +. | 一 2 +ck + - ^ t 一 3+…ct^+ -t I+c:一+c: = C:+c+c:::+c:: +?-?+Ck … - ! . 3+Ck … = I 一 2 +Ck-+l I — I = c:+.+c:::+c::: +…+Ck n . 十 1 . , +Ct ^ - +I t . 2 +Ct H - 十 I . 1 :c:++ck+-I+…+c::.,+ck+-.I.+c::. =P^+ 可见对Vm?N且m?1,(口I+D2+…+D) 展开式中的项数为 P=(m一 1)! 关于曲线y=x与Y=log交点问题的探讨 蒙国锋 (甘肃省会宁县第二中学730700) 我们知道函数,,=厂()与,,=厂'()的图像未必 相交,相交时交点也不一定都在直线Y=上?本文 就曲线y=.与y=l.gax(a>0且口?1)的交点情况 作一粗浅探讨. 1当D>1时 =C…m-. 引理1当口:eT1时,曲线y口与直线,,= 相切0 当.>.?时,曲线,,=o与直线y=相离; 当1<口<e}时,曲线,,=口与直线,,=相交千 ,; 两点. 证明设曲线Y=n与直线Y=相切于点P (0,Y0),则有 唧i(.),I….;1,'即i.:.1.:1. 解得口=ei. 即当.=e了时,曲线Y=口与直线Y=相切; 根据"底数.越大,函数Y=.的图像越靠近Y 轴"可知 当口>e时,曲线Y=口与直线Y=相离; 当l<口<e时,曲线Y=口与直线),=相交于 两点. 根据互为反函数的两个函数图像关于直线Y= 对称及引理I可得出如下结论. 结论I当口>e?时,曲线Y=口与Y=log无 交点; 当.=e?时,曲线Y=口与Y;log.相切于一 点,且这个切点在直线Y=上; 当1<口<e?时,曲线Y=口与Y=log.相交于 两点,且两交点都在直线Y=上. 2当0<a<1时 当0<口<1时,受一些常见简单情况形成的负 迁移的干扰,似乎两曲线Y=.与Y=log的交点 只有一个,且在直线Y=上,事实上并非如此,例 编 回如,曲线,,(1)与,,log.~除了相交于直线 上的一点外,易知点M(4,)及点?(丁1 , ?)也 是它们的交点,且M,N两点不在直线Y=上.那么 它们到底有多少个交点,且与底数.有何关系呢? 引理2如果点P(.,Y.)是曲线Y=口与Y= log.的交点,那么P(Y.,.)也是它们的一个交点. 证明由P(0,Y0)是曲线Y=口与Y=log.的 交点,可得{yo.ax0'利用对数式和指数式的转化L,,0l0g.Xo, 可得flogd'这就是说点P,(,.)也是曲线,,【‰口.. =口与log.的交点. 由引理2可知,曲线Y=口与Y=log若存在直 线Y=以外的交点,则它们必成对出现,且关于直 线Y=对称. 殴A(m,/1.),B(/'t,m)(其中m?/1.)是曲线Y=口 与,,=log的两交点,则有{' 由上式可得.==.即m=n 这就可以把问题转化为:此时函数Y; 着函数值相等的两点. (木) 存在 下面先用导数来说明一下函数Y=在区问 (0,1)上的单调性. (下转3O页) 竞(月刊)2006年第4期(总第164~) 辑《数学教学研究》编辑部 (西北师范大学) 名誉主编 主编 常务副主编 责任编辑 电子邮箱 陆润林郑宪祖丁传松 王仲春 杨鼎文 刘建安张安元侯芳兰 sxjxyjbjb@DWDU,edu.cn 印刷 发行 订阅 报刊代号 邮政编码 出版日期 联系电话 西北师范大学印刷厂 兰州市邮政局 全国各地邮局(所) 54.---——50 730070 2006年4月30日 (0931)7970555 定价:3.O0元 30数学教学研究2006年第4期 =2一sirlx,则原函数可看成由函数',=一(#+丁4)+ 2和t=2一sinx复合而成. - . 'sinxe[一1,1],.?.t=2一sinxe[I,3], .结合圈3可以看出, 当t=2时.,,…=一2;当t =1时,,,=一3.当0=3 时,',=一2?,所以',= 一 3.故,,:.(,+?)+2 e[一3,一2],所以原函数 的值域为[一3,一2]. .l . 'x ,,!一 D 1? 工 图3 本题求最小僵通常司以采用基本不等式法求 解.但求最大值及利用基本不等式求最小值当等号 取不到时,必然要用到函数图像结合单调性进行求 解,说明上述的适用范围要比基本不等式来得 更广泛. 3.s可化归为指数(对数)函数的复台函数求值域 例6求函数y=log.~的值域. 解函数',=log士=10g?-2)+解函数',=l_=一:10[(一2)+ :],则原函数可以看成由),=log~t与t="+, 再一二?,' "=一2复合而成. 由,>0.可知>2.根据,次函数图像 可知l'=x一2>0 结合,="+的图像,可知t="+?2; " 结合对数函数,,=log~t的图像可知 ,,;log~_tlog~2=一1. 所以原函数的值域为(一*.一1]. 当然.求函数值域问题是一个综合问题.单纯利 用以上方法要求解所有函数的值域问题显然是不可 能的.但利用上面方法可以解决高中阶段绝大多数 的函数求值城问题.通过复合函数观点求值域.重要 的是为求值域的教学提供了一种新思路,并在很大 程度上降低了学生学习值域的门槛,而且由于解题 过程中始终渗透了化归思想,可以极好地锻炼学生 的数学思维. {-.考文献 1 []王迪?从探宛),灭型函数的值城谈起 【2] [3] [4] [5] [J].数学教学,2005,(3). 陈历强.求函数值域的"通法"和"特法"[J]. 中学数学教与学,2001.(3). 徐敏.求函数值城时尤应注意定叉城[】].中 学数学,2004,(12). 王洪江.函数值域书法综述[J].中学数学研 究,2001,(1).. 熊齐圆.新旧教材在求函数值城问题上的对比 [J].数学教学通讯,2005,(6). (上接第44页) 设函数,,=,则有',=(1+lnx),令,,=0, 可解得.?.易知当e(0,?)时,Y<0,当e?^ (?,J)时?',>0-于是可知函数',=? 在区间(0,?)上单调递减,在区间(.1)上单口? 诃递增,在一处有极小值. 另P~,limx';l,limx.=1. 据可知,函数,,=在区间(0.1)上存在着函 数值相等的两点,然而此时.又取何值呢? 由(?)可知口=,,l音,并且m=,l",,,lE(0, . 1 --- ),这是一个求条件极值的问题?通过构造拉格朗 日函数可得,此时oe(0.()'),即当口e(0, (?))时,曲线',.与',log.有关于直线,,= 对称的两交点,此时两曲线相交于兰点.综上可得如 下结论: 结论2当0<口<(?)'时,曲线',=口与',= log有三个交点.其中一个交点在直线y=上,另 两个交点关于直线yz对称; 当(?).?.<l时.曲线,,=.z与,,:l.sd只有 一 个交点,并且在直线',=上.