2015届高考数学理考点巩固训练：16　导数在函数最值及生活实际中的应用

2015届高考数学理考点巩固训练：16　导数在函数最值及生活实际中的应用 考点巩固训练16 导数在函数最值及生活实际中的应用 一、选择题 321(已知函数f(x),2x,6x，m(m为常数)在[,2,2]上有最大值3，那么此函数在[,2,2]上的最小值是( )( A(,37 B(,29 C(,5 D(以上都不对 2(设f′(x)是函数f(x)的导函数，y,f′(x)的图象如图所示，则y,f(x)的图象最有可能是( )( 3(已知定义域为R的函数f(x)满足:f(4),,3，且对任意x?R总有f′(x),3，则不等式f(x),3x,15的解集为( )( A((,?，4) B((,?，,4) C((,?，,4)?(4，，?) D((4，，?) 34(已知函数f(x),x，bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为4，则函数g(x),3sin 2x，bcos 2x的最大值是( )( A(1 B(2 C(2 D(3 f,x,25(函数f(x),x,2ax，a在区间(,?，1)上有最小值，则函数g(x),在区间x(1，，?)上一定( )( A(有最小值 B(有最大值 C(是减函数 D(是增函数 326(已知函数f(x),,x，ax,4在x,2处取得极值，若m，n?[,1,1]，则f(m)，f′(n)的最小值是( )( A(,13 B(,15 C(10 D(15 13x32，，7(在，2上，函数f(x),x，px，q与g(x),，在同一点处取得相同的最小值，，，222x 1，，那么f(x)在，2上的最大值是( )( ，，2 13A( B(4 4 5C(8 D( 4 二、填空题 328(函数y,x，3x,24x，12的极小值是__________( 39(已知函数f(x),x,12x，8在区间[,3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M,m,__________( (设函数y,f(x)在(a，b)上的导数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导数为f″(x)，10 若在(a，b)上，f″(x),0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”(若函数f(x)113432,x,mx,x为区间(,1,3)上的“凸函数”，则m,__________( 1262 三、解答题 11(统计明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千 133米/时)的函数解析式可以表示为:y,x,x，8(0,x?120)(已知甲，乙两地相128 00080 距100千米( (1)当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升, (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少,最少为多少升, 11,a3212((天津高考)已知函数f(x),x，x,ax,a，x?R，其中a,0( 32 (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若函数f(x)在区间(,2,0)内恰有两个零点，求a的取值范围; (3)当a,1时，设函数f(x)在区间[t，t，3]上的最大值为M(t)，最小值为m(t)，记g(t),M(t),m(t)，求函数g(t)在区间[,3，,1]上的最小值( 参考答案 一、选择题 1(A 解析:f′(x),6x(x,2)， ?f(x)在(,2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数， ?当x,0时，f(x),m最大， ?m,3，f(,2),,37，f(2),,5( 2(C 解析:由y,f′(x)的图象易知当x,0或x,2时，f′(x),0，故函数y,f(x) 在区间(,?，0)和(2，，?)上单调递增;当0,x,2时，f′(x),0，故函数y,f(x)在 区间(0,2)上单调递减( 3(D 解析:方法一(数形结合法): 由题意知，f(x)过定点(4，,3)，且斜率k,f′(x),3( 又y,3x,15过点(4，,3)，k,3， ?y,f′(x)和y,3x,15在同一坐标系中的草图如图， ?f(x),3x,15的解集为(4，，?)，故选D( 方法二:记g(x),f(x),3x，15， 则g′(x),f′(x),3,0， 可知g(x)在R上为减函数( 又g(4),f(4),3×4，15,0， ?f(x),3x,15可化为f(x),3x，15,0， 即g(x),g(4)，结合其函数单调递减，故得x,4( 24(B 解析:?f′(x),3x，b， ?f′(1),3，b,4，?b,1( ?g(x),3sin 2x，cos 2x π,,,2sin2x，?2( ,6, 25(D 解析:?f(x),x,2ax，a在区间(,?，1)上有最小值，?a,1( f(x)a?g(x),,x，,2a， xx 2a,ax则g′(x),1,,( 22xx ?x?(1，，?)，a,1， 2?x,a,0，即g′(x),0( ?g(x)在(1，，?)上是增函数( 26(A 解析:求导得f′ (x),,3x，2ax，由函数f(x)在x,2处取得极值知f′(2) ,0，即,3×4，2a×2,0，?a,3( 322由此可得f(x),,x，3x,4，f′(x),,3x，6x，易知f(x)在(,1,0)上单调递减， 在(0,1)上单调递增， ?当m?[,1,1]时， f(m),f(0),,4( min 又f′(x),,3x2，6x的图象开口向下，且对称轴为x,1， ?当n?[,1,1]时， f′(n),f′(,1),,9( min 故f(m)，f′(n)的最小值为,13( 3x37(B 解析:因为g(x),，， 22x 1，，且x?，2，则g(x)?3， ，2， 当且仅当x,1时，g(x),3( min 又f′(x),2x，p， ?f′(1),0，即2，p,0，得p,,2， 2?f(x),x,2x，q( 又f(x),f(1),3， min ?1,2，q,3，?q,4( 122，，?f(x),x,2x，4,(x,1)，3，x?，2( ，2，?f(x),f(2),4( max 二、填空题 28(,16 解析:y′,3x，6x,24， 令y′,0，得x,2或x,,4( 易知当x,2时，取得极小值f(2),,16( 29(32 解析:令f′(x),3x,12,0， 得x,,2或x,2， 列表得: x ,3 (,3，,2) ,2 (,2,2) 2 (2,3) 3 f′(x) ， 0 , 0 ， 单调递 单调递 单调递 极大 极小 f(x) 17 ,1 值24 值,8 减 增 增 可知M,24，m,,8，?M,m,32( 11343210(2 解析:由函数f(x),x,mx,x， 1262 1132得f′(x),x,mx,3x， 32 2f″(x),x,mx,3( 若f(x)为区间(,1,3)上的“凸函数”， 2则有f″(x),x,mx,3,0在区间(,1,3)上恒成立， 由二次函数的图象知， ,f″(,1),1，m,3?0，,, f″(3),9,3m,3?0，,, ,m?2，,,即得m,2( ,m?2，, 三、解答题 10011(解:(1)当x,40时，汽车从甲地到乙地行驶了,2.5(小时)， 40 133,,要耗油×40,×40，8×2.5,17.5(升)( 128 00080,, 100(2)当速度为x千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， x设耗油量为h(x)升， 依题意得 131003,,h(x),x,x，8? ,128 00080,x 1800152,x，,(0,x?120)， 1 280x4 x800h′(x),, 2640x 33,80x,(0,x?120)( 2640x 令h′(x),0得x,80( 当x?(0,80)时，h′(x),0，h(x)是减函数; 当x?(80,120)时，h′(x),0，h(x)是增函数( 80时，h(x)取到极小值h(80),11.25( 所以当x, 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值( 答:当汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地的耗油量最少为11.25升( 212((1)解:f′(x),x，(1,a)x,a,(x，1)(x,a)( 由f′(x),0，得x1,,1，x,a,0( 2 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表: x (,?，,1) ,1 (,1，a) a (a，，?) f′(x) ， 0 , 0 ， f(x) 极大值 极小值 故函数f(x)的单调递增区间是(,?，,1)，(a，，?);单调递减区间是(,1，a)( 解:由(1)知f(x)在区间(,2，,1)内单调递增，在区间(,1,0)内单调递减，从而(2) f(,2)<0，,,1f(,1)>0，函数f(x)在区间(,2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0,a,( ,3 ,f(0)<0，, 1,,所以，a的取值范围是0，( ,3, 13(3)解:a,1时，f(x),x,x,1(由(1)知f(x)在[,3，,1]上单调递增，在[,1,1]3 上单调递减，在[1,2]上单调递增( ?当t?[,3，,2]时，t，3?[0,1]，,1?[t，t，3]，f(x)在[t，,1]上单调递增， 在[,1，t，3]上单调递减( 1因此，f(x)在[t，t，3]上的最大值M(t),f(,1),,，而最小值m(t)为f(t)与f(t3 ，3)中的较小者(由f(t，3),f(t),3(t，1)(t，2)知，当t?[,3，,2]时，f(t)?f(t ，3)，故m(t),f(t)，所以g(t),f(,1),f(t)(而f(t)在[,3，,2]上单调递增，因此 5154,,f(t)?f(,2),,，所以g(t)在[,3，,2]上的最小值为g(,2),,,,,( 33,3,3?当t?[,2，,1]时，t，3?[1,2]，且,1，1?[t，t，3]( 下面比较f(,1)，f(1)，f(t)，f(t，3)的大小( 由f(x)在[,2，,1]，[1,2]上单调递增，有f(,2)?f(t)?f(,1)，f(1)?f(t， 3)?f(2)( 511又由f(1),f(,2),,，f(,1),f(2),,，从而M(t),f(,1),,，m(t),f(1)3335,,( 3 4所以g(t),M(t),m(t),( 3 4综上，函数g(t)在区间[,3，,1]上的最小值为( 3