高中数学 椭圆专题(经典例题 考题 练习)附答案

高中数学椭圆专一．相关1．椭圆的概念平面内与两定点、的距离的和等于常数大于的点的轨迹叫椭圆。这两定点叫F1F2(|F1F2|)做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。集合＝＋＝，＝，其中＞，＞，且，为常数。P{M||MF1||MF2|2a|F1F2|2ca0c0ac}(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。2．椭圆的方程和几何性质x2y2y2x2标准方程a2＋b2＝1(a＞b＞0)a2＋b2＝1(a＞b＞0)图形－a≤x≤a－b≤x≤b范围－b≤y≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点A(－a,0)，A(a,0)A(0，－a)，A(0，a)顶点1212，－，，－，性B1(0b)B2(0b)B1(b,0)B2(b,0)质轴长轴的长为；短轴的长为A1A22aB1B22b焦距＝|F1F2|2cc离心率e＝a∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b23．椭圆中常用的4个结论x2y2(1)设椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。已知过焦点的弦，则△的周长为。(3)F1ABABF24a(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。一、细品教材．选修－例改编若，－，点到，距离之和为，则点1(11P341)F1(3,0)F2(3,0)PF1F210P的轨迹方程是()x2y2x2y2y2x2x2y2y2x2A.25＋16＝1B.100＋9＝1C.25＋16＝1D.25＋16＝1或25＋16＝1．选修－组改编设椭圆的两个焦点分别为，，过作椭圆长轴的垂线2(11P42AT6)F1F2F2交椭圆于点，若△为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是PF1PF2()22－1A.2B.2C．2－2D.2－1走进教材1．A;2．D二、双基查验x2y2．设是椭圆＋＝上的点，若，是椭圆的两个焦点，则＋等于1P491F1F2|PF1||PF2|()A．4B．8C．6D．18x2y22．方程5－m＋m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5)B．(－5,3)C．(－3,1)∪(1,5)D．(－5,1)∪(1,3)x2y243．椭圆9＋4＋k＝1的离心率为5，则k的值为()1919A．－21B．21C．－25或21D.25或2114．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为2，则椭圆的标准方程为________。．已知，是椭圆的左，右焦点，点在椭圆上，且满足＝，∠5F1F2CP|PF1|2|PF2|PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为__________。双基查验答案x2y231．C;2．C;3．C;4．4＋3＝1;5．3椭圆的概念及其性质考点一椭圆的定义及应用【典例】北京东城期末过椭圆2＋2＝的一个焦点的直线与椭圆交于，1(1)(2016·)4xy1F1A两点，则与和椭圆的另一个焦点构成的△的周长为BABF2ABF2()A．2B．4C．8D．22x2y2，是椭圆＋＝的两个焦点，为椭圆上一点，且∠＝，则△(2)F1F2971AAF1F245°AF1F2的面积为()7775A．7B.4C.2D.211【变式训练】(1)已知A－2，0，B是圆x－22＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________。(2)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点。求|PA|＋|PF|的最大值和最小值。考点二椭圆的标准方程及其应用【典例2】(1)若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()x2x2y2x2x2y2A.5＋y2＝1B.4＋5＝1C.5＋y2＝1或4＋5＝1D．以上答案都不对y2设，分别是椭圆：2＋＝的左、右焦点，过点的直线交椭圆于(2)F1F2Exb21(0b>0)F1F23过的直线交于，两点，若△的周长为，则的方程为F2lCABAF1B43C()x2y2x2x2y2x2y2A.3＋2＝1B.3＋y2＝1C.12＋8＝1D.12＋4＝1y2x2(2)过点(3，－5)，且与椭圆25＋9＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为_____________。考点三椭圆的简单几何性质……多维探究一：与椭圆有关的最值或范围问题【典例】已知点，是椭圆2＋2＝的左，右焦点，点是该椭圆上的一个动3F1F2x2y2P点，那么→＋→的最小值是|PF1PF2|()A．0B．1C．2D．22二：求离心率的值或范围x2y2【典例4】(1)已知O为坐标原点，F是椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点。P为C上一点，且PF⊥x轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()1123A.3B.2C.3D.4x2y2(2)(2015·福建高考)已知椭圆E：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，4直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点。若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于5，则椭圆E的离心率的取值范围是()3333A.0，2B.0，4C.2，1D.4，1椭圆的概念及其性质答案吧考点一椭圆的定义及应用【典例1】(1)B；(2)C；4【变式训练】(1)x2＋3y2＝1；(2)最大值6＋2，最小值6－2考点二椭圆的标准方程及其应用3y2【典例2】(1)C；(2)x2＋2＝1【变式训练】y2x2(1)A(2)20＋4＝1考点三椭圆的简单几何性质……多维探究角度一：与椭圆有关的最值或范围问题【典例3】C角度二：求离心率的值或范围【典例4】(1)A；(2)A；模拟测试x2y2x2y21．曲线25＋9＝1与曲线25－k＋9－k＝1(k<9)的()A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等x2y2．椭圆＋＝的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线交椭圆于，两点，21671F1F2F1xAB则△的面积为ABF2()212121A.2B.4C.8D．2113．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的4，则该椭圆的离心率为()1123A.3B.2C.3D.44．已知圆M：(x＋5)2＋y2＝36，定点N(5，0)，点P为圆M上的动点，点Q在NP→→→→上，点G在线段MP上，且满足NP＝2NQ，GQ·NP＝0，则点G的轨迹方程是__________。．设，为椭圆的两个焦点，以为圆心作圆，已知圆经过椭圆的中心，且与椭5F1F2F2F2圆相交于点，若直线恰与圆相切，则该椭圆的离心率为。MMF1F2________模拟测试答案x2y21．D；2．A；3．B；4．9＋4＝1；5．3－1椭圆的综合问题考点一直线与椭圆的相交弦长问题【典例1】椭圆两顶点A(－1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点。3当|CD|＝22时，求l的方程。x2y25【变式训练】已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0,4)，离心率e＝5，直线l交椭圆于M，N两点。(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式。考点二中点弦问题x2【典例2】已知椭圆2＋y2＝1。(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程；(2)过N(1,2)的直线l与椭圆相交，求被l截得的弦的中点的轨迹方程；11(3)求过点P2，2且被P点平分的弦所在直线的方程。y211【变式训练】(2016·南昌二模)已知椭圆：9＋x2＝1，过点P2，2的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为()A．9x－y－4＝0B．9x＋y－5＝0C．2x＋y－2＝0D．x＋y－5＝0考点三最值与范围问题x2y2【典例3】(2017·大庆模拟)P为椭圆16＋15＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2→→＝4的任意一条直径，则PE·PF的取值范围是()A．[0,15]B．[5,15]C．[5,21]D．(5,21)x2y2【变式训练】椭圆＋＝的左、右焦点分别为，，是椭圆上任一点，则→→431F1F2P|PF1|·|PF2|的取值范围是()A．(0,4]B．(0,3]C．[3,4)D．[3,4]考点四由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质x2y2【典例4】(2016·全国卷Ⅱ)已知椭圆E：t＋3＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA。(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围。x2y2【变式训练】已知椭圆＋＝的左，右焦点分别为，，且＝，直a2b21(a>b>0)F1F2|F1F2|6线y＝kx与椭圆交于A，B两点。若△的周长为，求椭圆的标准方程；(1)AF1F2162①若＝，且，，，四点共圆，求椭圆离心率的值；(2)k4ABF1F2e②在①的条件下，设，为椭圆上一点，若直线的斜率∈－，－，试求直P(x0y0)PAk1(21)线的斜率的取值范围。PBk2椭圆的综合问题答案考点一直线与椭圆的相交弦长问题【典例1】2x－y＋1＝0或2x＋y－1＝0402【变式训练】(1)9；(2)6x－5y－28＝0；考点二中点弦问题【典例2】44(1)x＋4y＝0－3b>0)的离心率为e＝2，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为和，则点，在x1x2P(x1x2)()A．圆x2＋y2＝2内B．圆x2＋y2＝2上C．圆x2＋y2＝2外D．以上三种情形都有可能x2．直线与椭圆＋2＝交于，两点，线段的中点为，设直线的斜率3m2y1P1P2P1P2Pm为≠，直线的斜率为，则的值为。k1(k10)OPk2k1k2________x2y235．设椭圆C：a2＋b2＝1(a>b>0)过点(0,4)，离心率为5。(1)求椭圆C的方程；4(2)求过点(3,0)且斜率为5的直线被C所截线段的中点坐标。模拟测试答案1x2y2361．D；2.A；3.－2；4.(1)25＋16＝1(2)2，－5