光在maxwell鱼眼中的传播速度

光在maxwell鱼眼中的传播速度 光在maxwell鱼眼中的传播 蔡勋明 一、球对称介质中的折射率与光线传播方程 考虑一种以折射率函数 2 (1) nrnra()/(1(/)),，0 征的媒质， 式中的表示从一固定点O算起的距离，和都是常数。称之为鱼眼。在nar0球队称介质中，光线为平面曲线，位于通过原点的平面上，且光线方程可以写成以下形式: rdr ,,c,222(),rnrrc rc为常数。将上两式结合，并令 ,,，。可以得到: cK,aan0 2,Kd(1)，,,, (2) ,,2222,，K(1),,, 进一步变形可得到: 22KdK(1)1，,,,,[arcsin()] (3) 22222d,,,，,KK(1)14,,, 22cra,sin(),,,,如是:。可得通过一固定点的单参数的光线族: Pr(,),000222aranc4,0 2222rara,,0 (4) ,rrsin()sin(),,,,,,00 其中 rr,,,,为积分常数。无论值等于多少，这个方程均被，所满足。其中 ,,11 2a r,,，,,,,。 110r0 ppppp可见，来自任意点的所有光线均相交于到O连线上的一点;和分别在O点的00011 2两边，并且OPOPa ,。因此鱼眼是一种绝对成像仪器，其中的成像是一个反演。可知，01 ra,ra,,,,,和ra,,，,,,,是满足(3);因此每一条光线与固定圆相交于直径 的相反两端点。 笛卡尔坐标系中光线方程的表示: xryr,,cos,sin,,为了得出光线的笛卡尔坐标方程，令;则有 2222，式中 (sin)(cos)xbybab，，,,，,, c222 yxxyacossin(),,,,，,222aanc,40 或 a2222222 ; banc,,4(sin)(cos)xbybab，，,,，,,02c 表明每一条光线都是一个圆。 图1 二、Maxwell鱼眼中光的传播速度 光线在Maxwell鱼眼中的传播速度(相速度) 2考虑真空中光速为c，则介质中的光速为ccn,/，可得。crcran()(1(/))/,，0000以图1为例，我们可以计算从P0到P1点沿不同路径到达评点所需时间，即从光源P0出发的光线沿上下两条路径到达P1点所用时间总是相同的。即从P0发出的光线沿不同路径到达P1点的光程总相同。 此处可以从麦克斯韦鱼眼光线方程结合计算机计算如下: 22ra,由(2)表达式，可知K, 于是可以解得如下表达式: ,rsin(),,, 222rKKa,,，,，[sin()(sin())4]/2,,,, ，任取其中常数，由光程积分运算表达式可知: ,2dr222nrd，(), 其中nrnra()/(1(/)),，，计算上图1中P0点到P1点各0,1,d, ,na，/2种不同路径中的光程结果均相等，可以证明为 0 严格证明如下: 球对称折射率分布中任意两光点之间的光程可以用下式来求 2rnr1 Ldr,,222r0nre, 上式中已引入球分布中光线为平面曲线和积分不变量e两性质。由上式求光程应注意分母 , r为零的奇异点。改点为光线前进中的转折点，设为。实际上为极值矢径LL,,,/212 ,222r(极大或极小)，在前后，dr异号，积分分段进行。由分母，一般可以求出nre,,0 ,, rr与e有关的两种不同解和，它们分别与光线由P0到达P1的两个不同路径相对应。 12 2麦克斯韦鱼眼中，n为对称中心的折射率，所有光线都穿过以分布nrnra()/(1(/)),，00 中心为球心，半径等于a的球面直径的两端点，轨迹为圆弧，圆心在物P0和象P1共轭点连 2线的中垂面上。物像共轭点满足对的球面反r演，即，其中r，分别为P0和ra,rra ,0101 P1距对称中心的距离。P0和P1之间的光线构成一球面族，所有P0点发出的光线均可以等光程的到达P1点。证明过程: 2,114,,e2a,1n,1r,由 设，，可得:，由麦克斯韦透镜nrnra()/(1(/)),，1,2002e 2na10中光线曲率半径与e有关的常数，。可以看出上述两转折点处的矢量半径R,,2||2||ee ,,,,1rr，,和恰rr为光线轨迹圆的直径，即极值矢量，在通过曲率中心的直径上，满足1212||e ,,2，设光程积分中的被积函数为，则对应不同光线路径的光程L1和L2应rra*1,,fr()12 ,,rr11rr21为，。Lfrdrfrdr1()(),,Lfrdrfrdr2()(),,，,,,,,,rr01rr02 2222，可积分求得即麦克斯LL,,,/2dnrdrrnrdrrra,,，,,,,2/(1)2,1且 1201 韦透镜共轭点之间光程为常数，一般为。 ,na，/20 故从麦克斯韦鱼眼中物点到共轭点之间的平均光速度来讲，为常数，与路径无关。