光在maxwell鱼眼中的传播速度
光在maxwell鱼眼中的传播
蔡勋明
一、球对称介质中的折射率与光线传播方程
考虑一种以折射率函数
2 (1) nrnra()/(1(/)),,0
征的媒质, 式中的表示从一固定点O算起的距离,和都是常数。称之为鱼眼。在nar0球队称介质中,光线为平面曲线,位于通过原点的平面上,且光线方程可以写成以下形式:
rdr ,,c,222(),rnrrc
rc为常数。将上两式结合,并令 ,,,。可以得到: cK,aan0
2,Kd(1),,,, (2) ,,2222,,K(1),,,
进一步变形可得到:
22KdK(1)1,,,,,[arcsin()] (3) 22222d,,,,,KK(1)14,,,
22cra,sin(),,,,如是:。可得通过一固定点的单参数的光线族: Pr(,),000222aranc4,0
2222rara,,0 (4) ,rrsin()sin(),,,,,,00
其中 rr,,,,为积分常数。无论值等于多少,这个方程均被,所满足。其中 ,,11
2a r,,,,,,,。 110r0
ppppp可见,来自任意点的所有光线均相交于到O连线上的一点;和分别在O点的00011
2两边,并且OPOPa ,。因此鱼眼是一种绝对成像仪器,其中的成像是一个反演。可知,01
ra,ra,,,,,和ra,,,,,,,是满足(3);因此每一条光线与固定圆相交于直径
的相反两端点。
笛卡尔坐标系中光线方程的表示:
xryr,,cos,sin,,为了得出光线的笛卡尔坐标方程,令;则有
2222,式中 (sin)(cos)xbybab,,,,,,,
c222 yxxyacossin(),,,,,,222aanc,40
或
a2222222 ; banc,,4(sin)(cos)xbybab,,,,,,,02c
表明每一条光线都是一个圆。
图1
二、Maxwell鱼眼中光的传播速度
光线在Maxwell鱼眼中的传播速度(相速度)
2考虑真空中光速为c,则介质中的光速为ccn,/,可得。crcran()(1(/))/,,0000以图1为例,我们可以计算从P0到P1点沿不同路径到达评点所需时间,即从光源P0出发的光线沿上下两条路径到达P1点所用时间总是相同的。即从P0发出的光线沿不同路径到达P1点的光程总相同。
此处可以从麦克斯韦鱼眼光线方程结合计算机计算
如下:
22ra,由(2)表达式,可知K, 于是可以解得如下表达式: ,rsin(),,,
222rKKa,,,,,[sin()(sin())4]/2,,,, ,任取其中常数,由光程积分运算表达式可知:
,2dr222nrd,(), 其中nrnra()/(1(/)),,,计算上图1中P0点到P1点各0,1,d,
,na,/2种不同路径中的光程结果均相等,可以证明为 0
严格证明如下:
球对称折射率分布中任意两光点之间的光程可以用下式来求
2rnr1 Ldr,,222r0nre,
上式中已引入球分布中光线为平面曲线和积分不变量e两性质。由上式求光程应注意分母
,
r为零的奇异点。改点为光线前进中的转折点,设为。实际上为极值矢径LL,,,/212
,222r(极大或极小),在前后,dr异号,积分分段进行。由分母,一般可以求出nre,,0
,,
rr与e有关的两种不同解和,它们分别与光线由P0到达P1的两个不同路径相对应。 12
2麦克斯韦鱼眼中,n为对称中心的折射率,所有光线都穿过以分布nrnra()/(1(/)),,00
中心为球心,半径等于a的球面直径的两端点,轨迹为圆弧,圆心在物P0和象P1共轭点连
2线的中垂面上。物像共轭点满足对的球面反r演,即,其中r,分别为P0和ra,rra ,0101
P1距对称中心的距离。P0和P1之间的光线构成一球面族,所有P0点发出的光线均可以等光程的到达P1点。证明过程:
2,114,,e2a,1n,1r,由 设,,可得:,由麦克斯韦透镜nrnra()/(1(/)),,1,2002e
2na10中光线曲率半径与e有关的常数,。可以看出上述两转折点处的矢量半径R,,2||2||ee
,,,,1rr,,和恰rr为光线轨迹圆的直径,即极值矢量,在通过曲率中心的直径上,满足1212||e
,,2,设光程积分中的被积函数为,则对应不同光线路径的光程L1和L2应rra*1,,fr()12
,,rr11rr21为,。Lfrdrfrdr1()(),,Lfrdrfrdr2()(),,,,,,,,,rr01rr02
2222,可积分求得即麦克斯LL,,,/2dnrdrrnrdrrra,,,,,,,2/(1)2,1且 1201
韦透镜共轭点之间光程为常数,一般为。 ,na,/20
故从麦克斯韦鱼眼中物点到共轭点之间的平均光速度来讲,为常数,与路径无关。